Wykład 3 Gaz doskonały, równanie stanu Przemiana izotermiczna gazu doskonałego Praca wykonywana przez gaz doskonały w stałej temperaturze Praca wykonywana przez gaz doskonały przy stałej objętości i stałym ciśnieniu Ciśnienie gazu w ujęciu kinetycznej teorii gazu, prędkość średnia kwadratowa cząsteczek gazu, średnia droga swobodna

1

1 mol to liczba atomów w próbce węgla C12 o masie 12 g Liczba atomów (cząsteczek) w molu to stała Avogadra N A = 6,02 .

10 23 mol -1 Liczba moli w próbce dowolnej substancji n n



N N A gdzie N to liczba atomów (cząsteczek) w tej próbce Mamy także: n



M pr M



M pr m



N A gdzie M pr to masa próbki, M to masa molowa, a m to masa cząsteczkowa (masa jednej cząsteczki) Skorzystaliśmy z faktu, że: M



m



N A

2

Gaz doskonały ( zaniedbywalne oddziaływania pomiędzy cząsteczkami i pomijalne wymiary cząsteczek) Eksperyment pokazuje, że wszystkie gazy rzeczywiste przy dostatecznie małej gęstości można opisać jednym równaniem: p



V



n



R



T nazywanym równaniem stanu gazu doskonałego, gdzie p to ciśnienie, V objętość, n liczba moli gazu, T temperatura, a R to stała gazowa R



8 , 31 4 mol J



K Równanie stanu gazu doskonałego obowiązuje zarówno dla gazów jednoskładnikowych jak i mieszaniny gazów

3

Wprowadzając stałą Boltzmanna k, zdefiniowaną jako k



R N A



8 , 31 J 6 , 02

 

mol



10 23 mol K



1

 

1 , 38



10



23 J K równanie stanu gazu doskonałego przyjmie postać: pV



nRT



nN A kT



NkT gdzie N to liczba atomów (cząsteczek) w badanej próbce gazu pV pV

 

nRT NkT Mamy zatem równanie stanu gazu doskonałego w dwóch postaciach. Pamiętamy, że n to liczba moli a N to liczba atomów (cząsteczek) w próbce gazu Liczba cząsteczek dwóch różnych gazów zajmujących taką samą objętość, w tej samej temperaturze i o tym samym ciśnieniu, będzie taka sama

4

Przemiana izotermiczna gazu doskonałego Jeśli podczas przemiany utrzymujemy stałą temperaturę to przemianę taką nazywamy przemianą izotermiczną; sprężaniem (lub rozprężaniem) izotermicznym p



1 V



nRT hiperbola Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc Czerwony odcinek na środkowej izotermie opisuje rozprężanie izotermiczne ze stanu początkowego i do stanu końcowego f Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc

5

Praca wykonywana przez gaz doskonały w stałej temperaturze Podczas rozprężania izotermicznego gaz doskonały wykonuje pracę W



V ko nc



pdV V po cz pV



nRT Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc W



nRT V ko nc



V po cz dV V



nRT ln V konc V pocz Dla rozprężania W > 0 dla sprężania W < 0 Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc

6

Praca wykonywana przez gaz doskonały przy stałej objętości i przy stałym ciśnieniu W



V ko nc



pdV V po cz W



p V ko nc



dV V po cz



p



V konc



V pocz

 

p



V Dla przemiany izobarycznej (przy stałym ciśnieniu) przed całkę można wynieść p. Dla przemiany izochorycznej (przy stałej objętości): W



V ko nc



pdV V po cz



0

7

Sprawdzian Gaz doskonały, którego początkowe ciśnienie wynosi 3 jednostki ciśnienia, zajmuje objętość równą 4 jednostkom objętości. W tabeli podano wartości ciśnienia i objętości gazu (w tych samych jednostkach) na zakończenie pięciu różnych procesów. Dla którego z procesów punkty odpowiadające stanowi początkowemu i końcowemu leżą na tej samej izotermie?

p V a 12 1 b 6 2 c 5 7 d 4 3 e 1 12

8

Zadanie W cylindrze znajduje się 12 l tlenu o temperaturze 20 o C pod ciśnieniem 15 atm. Następnie gaz ogrzewamy do temperatury 35 o C i sprężamy do objętości 8,5 l. Jakie jest końcowe ciśnienie gazu wyrażone w atmosferach?

p pocz V pocz p konc V konc



nRT pocz



nRT konc p konc V konc p pocz V pocz



T konc T pocz p konc p konc



12 15 8 , 5



p pocz V pocz T konc V konc T pocz

 

273 273

 

35 20

  

15



1 , 411



1 , 05



22 , 2 atm

9

Zadanie Jeden mol tlenu (zakładamy, że jest on gazem doskonałym) jest rozprężany izotermicznie w temperaturze 310 K od objętości początkowej V pocz = 12 l do objętości końcowej V konc = 19 l. Jaką pracę wykona gaz podczas rozprężania?

W



V ko nc



pdV V po cz



nRT V ko nc



V po cz dV V



nRT ln V konc V pocz



1 mol



8 , 31 J



mol



K

 

310 K



ln 19 l 12 l 2576



0 , 460



1184 J



Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc

10

Ciśnienie gazu w ujęciu kinetycznej teorii gazu Gaz składa się z bardzo wielkiej liczby będących w ciągłym ruchu cząsteczek. Odbicia cząsteczek od ścianki A są źródłem ciśnienia wywieranego przez gaz na tę ściankę Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc Zmiana pędu pojedynczej cząsteczki: Zmiana pędu ścianki:



2 mv x Siła działająca na ściankę od pojedynczej cząsteczki:



p x

  

mv x

 

mv x

  

2 mv x



p



t



2 mv x 2 L v x



mv 2 x L

11

Po wysumowaniu po wszystkich cząsteczkach: p



F L 2



i N

 

1 mv L 3 2 xi



1 V m i N

 

1 v 2 xi i N

 

1 v 2 xi



N v

 

x śr



nN A 1 3 v

 

śr gdzie N to całkowita liczba cząsteczek gazu, n to liczba moli tego gazu, N A to liczba Avogadry Prędkość średnia kwadratowa cząsteczek gazu: v śr , kw



śr



3



i N

 

1 v 2 xi N Ostatecznie otrzymujemy: p



V



2 3 N mv 2 śr , kw 2

12

Porównując otrzymany wynik z równaniem stanu gazu doskonałego: pV



nRT otrzymamy równanie: nRT



nN A mv 2 śr , kw 3 z którego wynika, że: v śr , kw



3 RT M gdzie M to masa molowa rozważanego gazu

13

Przykładowe prędkości cząsteczek różnych gazów w temperaturze pokojowej (300 K) gaz masa molowa [10 -3 kg/mol] wodór (H 2 ) hel (He) para wodna (H 2 O) azot (N 2 ) tlen (O 2 ) dwutlenek węgla (CO 2 ) dwutlenek siarki (SO 2 ) 2,02 4,0 18,0 28,0 32,0 44,0 64,1 v śr,kw 1920 1370 645 517 483 412 342 [m/s]

14

Energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek gazu nRT



nN A mv 2 śr , kw 3 skąd otrzymujemy: E kin , śr



mv 2 śr , kw 2



3 RT 2 N A



3 2 kT W danej temperaturze T wszystkie cząsteczki gazu doskonałego, niezależnie od swojej masy, mają taką samą średnią energię kinetyczną ruchu postępowego równą (3/2)kT. Mierząc temperaturę gazu możemy wyznaczyć średnią energię kinetyczną ruchu postępowego cząsteczek tego gazu

Mówiąc o ruchu postępowym cząsteczki gazu mamy na myśli ruch środka masy tej cząsteczki

15

Sprawdzian Mieszanina gazów zawiera cząsteczki typu 1, 2 i 3, których masy cząsteczkowe spełniają nierówność m 1 > m 2 > m 3 . Uszereguj te cząsteczki według ich: a) średniej energii kinetycznej b) prędkości średniej kwadratowej W każdym przypadku zacznij od wartości największej

16

Średnia droga swobodna Średnia droga swobodna λ to parametr równy liczbowo średniej drodze pokonanej przez cząsteczkę pomiędzy kolejnymi zderzeniami.

Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc Wybrana cząsteczka porusza się, inne są nieruchome. Zderzenie zachodzi, gdy środki dwóch cząsteczek znajdują się w odległości d mniejszej lub równej średnicy cząsteczki.

Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc

17

Liczbę zderzeń danej cząsteczki w czasie Δt można policzyć, przyjmując, że ma ona promień równy średnicy, a inne cząsteczki są punktowe, co nie zmienia kryterium zderzenia.

Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc Drogę pokonaną przez cząsteczkę w czasie Δt, nawet jeśli w tym czasie dojdzie do wielu zderzeń, można przybliżyć przez odcinek prostej o długości vΔt.

Zderzenie z „inną” cząsteczką zachodzi, gdy znajdzie się ona w walcu, pokazanym na rysunku. Liczba zderzeń to liczba „innych” cząsteczek, które znajdą się w walcu. Przybliżone wyrażenie na średnią drogę swobodną będzie zatem:

 

droga w czasie



t liczba zderze ń w czasie



t



v



t



d 2 v



t



N V



1



d 2 N V Poprawny wzór będzie miał postać:

 

1 2



d 2 N V

18

Sprawdzian W pewnym zbiorniku umieszczono 1 mol gazu A, którego cząsteczki mają średnicę 2d 0 i poruszają się z prędkością v 0 . W identycznym zbiorniku umieszczono 1 mol gazu B, którego cząsteczki mają średnicę d 0 i poruszają się z prędkością 2v 0 poruszają się szybciej). Dla którego z gazów częstość zderzeń jest większa?

(cząsteczki gazu B są mniejsze, lecz

19

Zadanie a) Ile wynosi średnia droga swobodna λ cząsteczek tlenu w temperaturze T = 300 K pod ciśnieniem p = 1 atm? W obliczeniach przyjmij, że cząsteczki mają średnicę d = 290 pm i tworzą gaz doskonały.

20

Zadanie a) Ile wynosi średnia droga swobodna λ cząsteczek tlenu w temperaturze T = 300 K pod ciśnieniem p = 1 atm? W obliczeniach przyjmij, że cząsteczki mają średnicę d = 290 pm i tworzą gaz doskonały. pV = NkT skąd otrzymujemy N/V = p/kT

 

1 2



d 2 N V



2

 

1 , 38

  

2 10 10



23



20

 

300 1 , 01



10 5

 

1 , 1



10



7 Odp. Średnia droga swobodna wynosi ok. 0,11 μm

21

Zadanie a) Ile wynosi średnia droga swobodna λ cząsteczek tlenu w temperaturze T = 300 K pod ciśnieniem p = 1 atm? W obliczeniach przyjmij, że cząsteczki mają średnicę d = 290 pm i tworzą gaz doskonały. pV = NkT skąd otrzymujemy N/V = p/kT

 

1 2



d 2 N V



2

 

1 , 38

  

2 10 10



25



20

 

300 1 , 01



10 5

 

1 , 1



10



7 Odp. Średnia droga swobodna wynosi ok. 0,11 μm b) Przyjmijmy, że prędkość średnia cząsteczki tlenu wynosi v = 450 m/s. Ile wynosi średni czas t pomiędzy kolejnymi zderzeniami cząsteczki? Z jaką częstością ν następują zderzenia?

22

Zadanie a) Ile wynosi średnia droga swobodna λ cząsteczek tlenu w temperaturze T = 300 K pod ciśnieniem p = 1 atm? W obliczeniach przyjmij, że cząsteczki mają średnicę d = 290 pm i tworzą gaz doskonały. pV = NkT skąd otrzymujemy N/V = p/kT

 

1 2



d 2 N V



2

 

1 , 38

  

2 10 10



23



20

 

300 1 , 01



10 5

 

1 , 1



10



7 Odp. Średnia droga swobodna wynosi ok. 0,11 μm b) Przyjmijmy, że prędkość średnia cząsteczki tlenu wynosi v = 450 m/s. Ile wynosi średni czas t pomiędzy kolejnymi zderzeniami cząsteczki? Z jaką częstością ν następują zderzenia?

t

 

v



1 , 1



10



7 450



1 , 1



10



7 0 , 45



10 3



2 , 44



10



10 s



0 , 24 ns

 

1



4



10 9 1 t s

23