Transcript 2-Medidas de tendencia central

Presentado por:
Juan Alejandro Ávila
Edgard Felipe Cadena
Diego Eduardo García
Juan Pablo Naranjo
Eliana Pinto
Braulio Vanegas
Estadística Aplicada 2014-2
Medidas de tendencia
Central:
Mapa mental:
1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Moda
Mediana
Media Aritmética
Media Ponderada
Media Armónica
Media Cuadrática
Media Cúbica
Media Geométrica
Pierre Simon Laplace
CONSIDERACIONES:
Valor que tiene mayor frecuencia absoluta en una
distribución
Cuando hay más
un valor con la misma frecuencia máxima, la
de de
datos.
distribución puede ser multimodal
Ej: 1,AGRUPADOS
1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 9, 9, 9 Mo=1, 5, 9
DATOS NO
 Si todos los datos tienen la misma frecuencia, no hay moda.
3, 4,
3, 4,
5
Ej: 2, 3,Ej:3,2,4,2,4,
5, 4,5.5, Mo=4
 Si dos valores adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda
es el promedio de ellas.
Ej: 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo=4
(No aplica si además de ellos hay otra moda) Ej: 9,9
DATOS AGRUPADOS
Intervalo modal: Intervalo que posee las mayor frecuencia y en
el cual se encuentra la moda
Fórmula aproximada:
DATOS AGRUPADOS
EJEMPLO DE APLICACIÓN
(Intervalos con igual
amplitud)
Intervalo
[60, 63)
[63,66)
[66,69)
[69,72)
[72,75)
Total
Fórmula
aproximada:
Frecuencia
5
18
42
27
8
100
DATOS AGRUPADOS
EJEMPLO DE APLICACIÓN 2. (Intervalos con diferente amplitud)
Calificaciones de 50 estudiantes
Calificación
[0,5)
[5,7)
[7,9)
[9,10)
Total
Primero se hallan las alturas
Luego:
Frecuencia
15
20
12
3
50
Altura
3
10
6
3
Inconvenientes:
Inconvenientes:
Ventajas:
Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones
enSulosvalor
esfuera
independiente
mayor en
parte
de alguno
los datos,
que la
datos
de la moda,denolaafectan
modo
a sulovalor.
 Almuy
depender
de las frecuencias,
para
hace
sensiblesólo
a variaciones
muestralespuede
dentrocalcularse
de una misma
variables cualitativas. Es por ello el parámetro más utilizado cuando
población.
Puede haber más de una moda o puede no darse.
al resumir una población no es posible realizar otros cálculos.
En
En variables
agrupadas,
valor depende
excesivamente
del número
distribuciones
muysu asimétricas
suele
ser un dato
poco

Es
estable
a
los
valores
extremos
de
intervalos y de su amplitud, por eso es la medida de tendencia
representativo.
central más inestable.
• Es el valor del medio que divide la
distribución de datos ordenados en
dos partes.
• Ordenados de menor a mayor.
• Variables cuantitativas
• Me
Ordenan datos de menor a mayor
𝑿𝒏
Par
Me =
𝟐
+ 𝑿𝒏+𝟏
𝟐
𝟐
Impar Me= 𝑿𝒏+𝟏
𝟐
• Resultados de un prueba aplicada por un profesor
Estudiante
Puntaje
para ciertos estudiantes
X1
1
( 2, 3, 4, 4, 1, 5, 5, 5, 4.5, 4.5, 3) X2
2
Me= 𝑿𝒏+𝟏
𝟐
Me= 𝑿𝟏𝟏+𝟏 = 𝑋6
𝟐
El valor esta posicionado en 𝑋6 cuyo valor
es 4. El valor de la mediana para este caso
equivale a 4
X3
3
X4
3
X5
4
X6
4
X7
4.5
X8
4.5
X9
5
X10
5
X11
5
Para datos agrupados
• Tabla de frecuencias
– Frecuencias absolutas y frecuencias acumuladas
Me = 𝑳𝒊𝒏𝒇 +
𝑵
−𝑭𝒊−𝟏
𝟐
𝒇𝒊
∙ 𝒂𝒊
Donde: 𝐿𝑖 Limite inferior de la clase donde se
encuentra la mediana
𝐹𝑖−1 Frecuencia acumulada que antecede al
intervalo de la mediana
𝒇𝒊 Frecuencia absoluta del intervalo donde se
encuentra la mediana
𝒂𝒊 Amplitud del intervalo
Ejemplo
Se hace una encuesta a una población acerca de su edad ,
N=31
Edad
fi
Fi
[0-10)
3
3
[10-20)
6
9
[20-30)
7
16
[30-40)
12
28
[40-50)
3
31
Proceso:
1. Calculamos N/2. Para este caso 15,5
2. Intervalo donde se encuentra la mediana 20-30
3. Aplicamos la fórmula
Me = 𝑳𝒊𝒏𝒇 +
Me = 20 +
𝑵
−𝑭𝒊−𝟏
𝟐
𝒇𝒊
15,5−9
∙
7
∙ 𝒂𝒊
10
Me = 29,286
El valor de la mediana para esta encuesta equivale a 29.286
• Los datos se disponen de menor a mayor
• La mediana no se ve influida por los valores
extremos de la variable
• Dado que en su calculo no intervienen los
valores extremos hace que se pueda obtener
fácilmente incluso en presencia de intervalos
abiertos
MEDIA ARITMÉTICA
Es el valor obtenido al sumar todos los datos y
dividir el resultado entre el número total de datos.
Ejemplo. Los pesos de seis amigos son: 84, 91,
72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
R/. 80 Kg
MEDIA ARITMÉTICA PARA
DATOS AGRUPADOS
Si los datos vienen agrupados en una tabla de
frecuencias, la expresión de la media es:
Ejemplo:
R/. 43,33
[10, 20)
[20, 30)
[30,40)
[40, 50)
[50, 60
[60,70)
[70, 80)
xi
15
25
35
45
55
65
75
fi
1
8
10
9
8
4
2
42
xi · fi
15
200
350
405
440
260
150
1 820
PROPIEDADES
1.
2.
3.
4.
OBSERVACIONES
 Se puede
cuantitativas.
hallar
 Es independiente
los intervalos.
sólo
de
las
para
variables
amplitudes
de
 Es muy sensible a las puntuaciones extremas.
 No se puede calcular si hay un intervalo con
una amplitud indeterminada.
OTRAS MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL
MEDIA PONDERADA
Aplicación de la
media aritmética en
la que cada una de
las observaciones
tiene una
importancia relativa
respecto a las demás
Aplicaciones:
• Notas
de
asignaturas
• IPC
Cálculo de la Media ponderada
×=
𝑛
𝑖=1 𝑤𝑖 ∗ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 𝑤𝑖
• xi = elemento
• wi = peso del elemento xi
Ejemplo de cálculo
• La nota final de una asignatura es una media ponderada de
las notas que han obtenido los alumnos en los cuatro
elementos evaluables que determina el profesor. El
responsable de la asignatura otorga un peso de 3 al examen
inicial, de 1 al trabajo entregable, 2 al trabajo final y 4 al
examen final. Las notas de un alumno han sido las
siguientes:
Ejemplo de cálculo
• Se suman los productos de las notas por el peso de
cada una y se divide por la suma de los pesos:
3 ∗ 5,2 + 1 ∗ 8,2 + 2 ∗ 7,4 + (4 ∗ 5,7)
𝑋=
= 6,14
3+1+2+4
MEDIA ARMÓNICA
Se calcula como el
recíproco del
promedio de los
recíprocos de cada
uno de los datos en
la muestra
Se emplea para
transformar las
variables y obtener
una mejor
distribución de los
datos
MEDIA ARMÓNICA
• Se emplea para
datos con variables o
tasas en porcentajes
• Se utiliza cuando la
unidad de evaluación
es igual al
numerador de una
razón
• No funciona con
valores nulos
• Datos no
agrupados:
×=
1
1
𝑛
𝑛 1
𝑖=1 𝑥𝑖
=
• xi = elemento
• n = número de
elementos
𝑛
1
𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖
Ejemplo de cálculo
La velocidad de producción de azúcar de tres
máquinas procesadoras es de 0.5, 0.3 y 0.4 minutos
por kilogramo, halle el tiempo promedio de
producción después de 4800 minutos de proceso
3
𝑋=
= 0,383
1
1
1
+
+
0,5 0,3 0,4
Cálculo de la Media armónica
• Datos agrupados:
×=
1
1
∗(
𝑛
𝑛 𝑓𝑖
𝑖=1 𝑥𝑖 )
=
𝑛
𝑛 𝑓𝑖
𝑖=1 𝑥𝑖
• xi= elemento
• fi = frecuencia del
elemento xi
• n = número de elementos
Cálculo de la Media armónica
• Datos agrupados en intervalos
×=
1
1
∗(
𝑛
𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1 𝑥𝑚𝑖 )
=
𝑛
𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1 𝑥𝑚𝑖
• xmi= marca de clase del
intervalo
• fi = frecuencia del elemento xi
• n = número de elementos
Ejemplo de cálculo
• En la tabla se muestran los datos sobre el tiempo
que tardan los estudiantes en hacer una prueba de
estadística, calcular el tiempo promedio que tarda
el estudiante en realizar esta prueba
Ejemplo de cálculo
Con ayuda de los datos
se
construye
la
siguiente tabla:
Aplicando la fórmula
se obtiene:
𝑛
𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1𝑥𝑚𝑖
=
40
0,611
= 65,47
Media Cuadrática
• Es la raíz cuadrada de la media aritmética del
cuadrado de una serie de datos.
• Para datos sin agrupar
2
n
xi
RMS  
i 1 n
• Para datos agrupados
RMS 
k

i 1
2
i
fi x
n
Aplicaciones
• Cuando se quiere trabajar con la magnitud de
las variables.
• Ciencias biológicas y medicas
• Longitudes relacionadas a áreas
• Determinación del valor eficaz de un
parámetro sinusoidal en electricidad
• Velocidad de un gas
Ejemplo 1
Se conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm
respectivamente.
Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares
propuestas.
Sean r1= 6, r2 = 8, r3 = 11 y r4 = 15.
Se aplica la media cuadrática
y para los valores respectivos resulta el valor del radio:
lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería
Ejemplo 2
• Un profesor pide a sus alumnos que realicen un experimento
en el laboratorio. Espera que los alumnos obtengan 5 litros
de ácido clorhídrico. Anota en una tabla una columna con las
cantidades de ácido obtenidos por cada alumno y en la otra
el error por falta o exceso de la cantidad esperada, de la
siguiente manera:
Media Cúbica
• Es una medida derivada de la media
cuadrática
• Consiste en obtener el valor del lado que
tiene el cubo media de un conjunto de n
cubos.
3
n
xi
xc  3 
i 1 n
Ejemplo
• Se conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8,
10 y 12.
• Hállese la medida de un cubo que represente el volumen
promedio de los cubos dados.
Sean a1 = 8, a2 = 10 y a3 = 12
• En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3
• y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:
• resultado diferente a la media aritmética de las medidas de
las aristas que sería
Astrónomo
físico y
matemático
francés
PIERRE SIMON
LAPLACE
Considerado
el newton de
Francia
Teoría analítica
de las
probabilidades
Ley de
LaplaceGauss
Ecuación
de
Laplace
libros de
estadística
Descubrimientos
Transformada
de Laplace
Formula
curiosa de
probabilidad
Ensayo
filosófico sobre
la probabilidad
MEDIA GEOMETRICA
X=
X=
∏𝑥𝑖
1
𝑛
∏𝑥𝑖 α1
= 𝑥1 ∗ 𝑥2 … ∗ 𝑥𝑛
1
𝑛
1
𝑛
= 𝑥1α1 ∗ 𝑥2α2 … ∗ 𝑥𝑛α1
1
α𝑖
PROPIEDADES
• El logaritmo de la media geométrica es igual a la media
aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.
• La media geométrica de un conjunto de números
positivos es siempre menor o igual que la media
aritmética
1
𝑥1 + 𝑥2. . +𝑥𝑛
𝑥1 ∗ 𝑥2 … ∗ 𝑥𝑛 𝑛 <, =
𝑛
VENTAJAS:
• Es menos sensible que la media aritmética a los
valores extremos.
• Considera todos los valores de la distribución
DESVENTAJAS:
• Es de significado estadístico menos intuitivo que la
media aritmética
• Su cálculo es más difícil y en ocasiones no queda
determinada; por ejemplo, si un valor xi = 0, entonces
la media geométrica se anula
• Solo es relevante la media geométrica si todos los
números son positivos
EJEMPLO
Una cadena de expendedores de gasolina el año pasado
aumentó sus ingresos respecto al año anterior en 21%; y han
proyectado que este año van a llegar a un aumento de 28% con
respecto al año pasado. ¿Cuánto es el promedio anual del
aumento porcentual?
Definitivamente no es..
(21% + 28%)/2 = 24,5%.
SOLUCION
El monto de la producción, al final de dos años, es
100(1,21)(1,28)= 154,88. Si en cada año se tuviera
una tasa anual de aumento de i% resulta:
• 100 → 100(1+i) → 100(1 +i)2.
Entonces:
• 100(1 +i)2 = 154,88
• (1 +i)2 = 1,54881
• 1+ i = =1,244507
• i = 0,244507 = 24,451%
APLICACION
Es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar
razones, interés compuesto y números índices.
En general podemos encontrar que La media geométrica es relevante
cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total.
• Pero además la podemos observar en:
• La altura de un triángulo rectángulo cumple 𝐴=(m∗n)^(1/2) siendo m y n
las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
• Un cateto b cumple b=(m∗a)^(1/2) , donde m es su proyección y a la
hipotenusa.
• La tangente t a una circunferencia t=(s∗k)^(1/2), s es secante y k la
parte interna.
• El lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo es la media
geométrica de los lados de este; el radio de un círculo equivalente a una
elipse es la media geométrica de los semiejes de esta. Lo mismo el caso
de la esfera con la elipsoide
• El lado (arista) d de un cubo equivalente a un ortoedro de lados a, b, c
es t=(a∗b∗c)^(1/3).
• El peso w de una sustancia que tiene pesos hallados por dos balanzas u y
v , resulta w=(u∗v)^(1/2)
Mapas mentales
Bibliografía
• http://www.vitutor.net/2/11/moda_media.html
• http://www.portaleducativo.net/terra/octavo-basico/792/Mediamoda-y-mediana-para-datos-agrupados
• Libro: Estadística descriptiva y calculo de probabilidades. Isabel
Castillo y Marta Guijarro
• Tomado de:
http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html
• 1 Unidad Didáctica, “Estadística Descriptiva”, 1.1 Parte Básica.
Tomado de:
http://biplot.usal.es/problemas/libro/1%20Descriptiva.pdf
Bibliografía
• http://www.ugr.es/~eaznar/markov.htm
• http://www.biografiasyvidas.com/biografia/m/markov.htm
• http://www.britannica.com/EBchecked/topic/365793/AndreyAndreyevich-Markov
• http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un
1/cont_126_26.html
• http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un
1/cont_124_24.html
• http://servicios.educarm.es/templates/portal/images/ficheros/eta
pasEducativas/secundaria/3/secciones/373/contenidos/9290/pon
derada