Transcript logika-eloadas

Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi
Elérehetőség:
• aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/
• [email protected]
Fogadó óra:
hétfő 10-12 2.620 szoba
Jegyzet:
Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda:
A MATEMATIKAI LOGIKA
ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA
Előadás:
1. Tesztsor
- sok kérdés, 2-esért ki lehet
hamarabb szállni
2. Szóbeli vizsga
Gyakorlat:
2 zh (logika, számelmélet)
•A
vizsgák előfeltétele a gyakorlati jegy
megszerzése.
• A gyakorlatok látogatása kötelező.
• 3 igazolatlan hiányzás esetén a
gyakorlati
jegy
megszerzése
nem
lehetséges.
Az emberi gondolkodás vizsgálata
A logika a következtetés, a bizonyítás,
és az érvelés tudománya
Gondolkodási formák
• a természetes nyelvben
• a filozófiában
• matematikában (naiv logika)
• a matematikai logikában
A szaktudományok feladata a valóság egyegy területének megfigyelése, adatgyűjtés
(tények,
állítások
formájában),
és
következtetések levonása.
A matematikai logika
• Formalizálja azt a nyelvet, amin a
matematikai állításokat megfogalmazzuk
• Szabályokat állít fel, hogy az állításokból
új állításokra következtessünk
• Állításformákat elemez
• Bizonyítási módszereket fejleszt ki
Bevezetés
A 0. rendű logika (Itéletkalkulus)
• Szintaxis
• Szemantika
• 0. rendű logikai törvények
• Szemantikus következmény
• Normálformák
• Szintaktikus megközelítés (Bizonyításelmélet, Rezolúció)
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)
• Szintaxis
• Szemantika
• 1. rendű logikai törvények
• Szemantikus következmény
• Szintaktikus megközelítés (Bizonyításelmélet, Rezolúció)
A logika története három nagy korszakból áll:
• Ókori görög logika (i.e. 4-3. század)
• Késő középkori logika (13-14. század)
• Modern logika (19. századtól napjainkig)
A középkorban leginkább a nyelv és a valóság kapcsolatát
vizsgálják, míg a modern kori logika leginkább a
matematikához kapcsolódik.
A legbiztosabb tudás forrása a tapasztalat, de a tudásnak a
túlnyomó része nem ebből származik.
A következtetés azt jelenti, hogy tudok bizonyos dolgokat,
és ezek miatt következtetünk új ismeretekre.
Jól megalapozott tudás és helyes következtetés
eredményeképpen új jó tudáshoz jutunk.
A logika története ott kezdődik, ahol elkezdenek
gondolkodni a helyes következtetési formákról.
Görög filozófia: Parmenidésznél (i.e. 6. század)
találkozunk az első érveléssel egy verses költemény
formájában.
Zénónhoz (i.e. 5. század) köthetjük az apóriákat,
vagyis az olyan érveket amelyekből nincs kiút. Ezek
az érvek többségében a mozgáshoz kapcsolódnak:
Akhilleusz és a teknős:
Akhilleusz és a teknős versenyeznek, a teknős kap egy méter
előnyt. Ekkor Akhilleusz sosem éri utol a teknőst, hiszen
először megtesz egy métert,de addigra a teknős odébbmegy,
ledolgozza ismét a hátrányát, de addigra a teknős ismét
odébbmegy, és így tovább a végtelenségig.
Szofisták i.e. 5. században jelentek meg, akik pénzért
tanítanak.
Érvekkel foglalkoznak,és az a jó szofista, aki a vitában
felül marad. Szabályokat alkotnak, és szabályos
vitákat tartanak. Összetett állításokkal is foglalkoznak.
Szókratész (480-399) fellépett ellenük, mert úgy
gondolta, hogy a beszélgetés célja az igazság, nem
pedig a haszonszerzés. Az igazsághoz nem fűződhet
érdek.
Arisztotelész (i.e 4. század) – kategórikus szillogizmus
‚Csak azért, mert bizonyos dolgokat tudok, új dolgokat tudhatok
meg következtetéssel.’
Állítások (csak egyszerűekkel foglalkozik):
Pl.: a(E,H) : Minden ami E, az H.
x(E(x)  H(x))
Következtetési szabályok:
Pl.: Barbara: a(E,H), a(G,E)
a (G,H)
Ha minden ember (E) halandó (H),
és minden görög (G) ember (E),
akkor az összes görög (G) halandó (H).
BONYOLULT LOGIKAI ÁLLLITÁSOK ANALIZISÉVEL
LÁTJA BE AZOK IGAZSÁGÁT.
Sztoikusok (i.e 2. század)
Nem ragaszkodtak a kategorikus állításokhoz.
Pl.: Minden ember halandó.
x(E(x)  H(x))
János ember.
E(János)
János halandó.
H(János)
Eukleidesz (i.e 4. század) – szintézis, a geometria atyja
Alapfelvetésekből (axiómák) kiindulva logikai eszközökkel
bonyolult állításokat bizonyított be.
• Ugyanazon dologgal egyenlő dolgok egymással is
•
•
•
egyenlők.
Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor
egyenlőket kapunk.
Két egyenes nem fog közre területet.
Párhuzamossági axióma: Bármely egyeneshez, bármely
rajta kívül fekvő ponton át legfeljebb egy olyan egyenes
fektethető a síkon, amelynek az adott egyenessel nincs
közös pontja. –független a többitől
Lobacsevszkij, Bolyai, Gauss : a párhuzamossági axióma
tagadása alapján egy új geometriát építettek fel: hiperbolikus
geometriát
Egy axiómarendszerrel szemben azok a legfontosabb követelések merültek fel, hogy
legyen
• Ellentmondásmentes (konzisztens): levezethető-e egy állítás és annak tagadása is
• teljes: minden állítást vagy igazolni, vagy cáfolni lehessen
• eldönthetőség: az elmélet bármely állításáról eldönthető, hogy levezethető-e vagy
sem
Eredmények (17. század és utána):
Leibniz: automatikus tételbizonyítás megalapozása
Tarski: Az elemi geometria eldönthető
Zermelo-Fraenkel féle halmazelméletben a Kiválasztási axióma sem nem
bizonyítható, sem nem cáfolható
Kurt Gödel nemteljességi tételei:
• minden elég erős formális elméletben van eldönthetetlen állítás
• formális elmélet nem tudja igazolni a saját konzisztenciáját.
Church és Turing egymástól függetlenül: Negatív válasz az eldönthetőségi
problémára
G. Boole: algebrai módszerekkel vizsgálta a logikát
De Morgan: a matematika különböző területeinek logikai megalapozása
Ezek a tételek azt is jelentik, hogy a logika kevés ahhoz, hogy minden tudáshoz
keretet adjon.
Elektronikus berendezések tervezése és analizálása:
itéletkalkulus, többértékű logika
Titkosítás: Bool függvények elmélete
Adatbázis kezelés
Programozás elmélet
Bonyolultságelmélet
Párhuzamos és konkurens rendszere
Számítástudomány
Logikai programozás
Mesterséges Intelligencia
Egyéb alkalmazások: magasabb rendű logikák,
típuselméleti logika, fuzzy logika, stb.
• Logika (és a matematikai logika) tárgya az emberi
gondolkodás vizsgálata.
• A gondolkodás fontos része a mindennapi életnek.
• A gondolkodás fontos része bármely (humán- vagy
természet-) tudománynak
• Minden tudomány az eredményeit szóban és írásban
is megfogalmazza
• A félreértések elkerülése végett egy formális nyelvet
dolgoztak ki, mely a köznapi nyelvnek csak a fontos
elemeit tartalmazza
•
NYELV=ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA
NYELV=ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA
ABC:Szimbólumok tetszőleges nemüres halmaza
Pl.: V={0,1}
Szavak: Egy abc elemeiből álló véges sorozat
Pl.: 01010001
V*: V abc elemeiből alkotott szavak halmaza
Pl.: {0,1,00,01,10,11, …}
V abc feletti formális nyelv (L): V* egy tettszőleges részhalmaza
Pl.: {0,1,00,11,000,111}
Kérdés: Van-e olyan szabályrendszer, amivel L elemei megadhatóak?
Szintaxis (Nyelvtan, L nyelvé): Olyan szabályok összessége, mely megadja,
hogy melyek az L nyelv kifejezései (szavai)
Szemantika (Jelentés, L nyelvé): Megadja, hogy mi az L- beli szavak jelentése
A gondolkodás egyik közismert formája a
következtetés.
A logika célkitűzése.
• Gondolkodási folyamatok vizsgálata során
• A helyes következtetés törvényeinek feltárása.
• Újabb helyes következtetési módszerek kidolgozása.
KÖVETKEZTETÉS - (ekvivalens megfogalmazások)
• Adott ismeretek  új ismeret
• premisszák
 konklúzió
• feltételek
 következmény
• állítások
 állítás
A  jel a gondolkodási folyamatot jelöli, amelynek
eredménye a következmény.
Definíció:
Gondolkodásforma vagy következtetésforma egy
F = {A1, A2,…,An} állításhalmaz és egy A
állításból álló (F,A) pár.
Megjegyzések:
• Az állítás adott körülmények között lehet igaz (i)
vagy hamis (h). Ezt az értéket az állítás
igazságértékének nevezzük.
• Nem tartalmi, oksági szempontból ragadjuk meg a
következtetést,
hanem
az
igazságérték
megtartásának szempontjából.
Kritérium: Mikor helyes egy következtetés
Helyes következtetésforma egy (F,A) pár, ha
minden olyan esetben, amikor az F-ben minden
állítás igaz, a következmény állítás is igaz.
Eldöntésprobléma: Egy olyan feladat,
melynek megoldása egy eldöntendő
kérdésre adott igen, nem válasz.
Döntési eljárás: Az eldöntésprobléma
megoldására kidolgozott módszer.
Kérdés: Létezik-e olyan univerzális
döntési eljárás, mely egy általában
végtelen osztály minden elemét eldönti,
azaz egy igen / nem választ képes adni a
vele kapcsolatban felmerült döntési
problémára
• Halmaz,
A és B tetszőleges halmazok direkt vagy
Descartes szorzata AxB az összes olyan (a,b) párok
hamaza, ahol aA és bB.
•
Legyen U egy halmaz, UxU direktszorzathalmaz az U
elemeiből képezhető összes rendezett párok halmaza.
• Un-nel
jelöljük U-nak önmagával vett n-szeres
direktszorzatát, ami az U elemeiből képezhető összes n
elemű sorozatok halmaza.
Legyenek D és R (nem feltétlenül különböző)
halmazok.
Függvénynek nevezünk egy DR leképezést, (D a
leképezés
értelmezési
tartománya,
R
az
értékkészlete.)
Leképezések minősítése:
• Ha D=U (individuum) halmaz, akkor a leképezés
egyváltozós
• Ha D= Un , akkor a leképezés n-változós
• R (az értékkészlet) adja meg a leképezés fajtáját
• ha R=, akkor egész(értékű),
• ha R={i,h} vagy {0,1}, akkor logikai vagy kétértékű
leképezésről beszélünk.
1. logikai függvény – reláció
• D tetszőleges U vagy Un ,
• R={i,h} vagy {0,1},
tehát a leképezés Un →{i,h} (Un →{0,1})
2. matematikai függvény – művelet
Olyan DR leképezés, ahol
• D=Rn., n=1, 2,..., k véges érték.
• tehát Un →U a leképezés általános alakja.
3.Logikai értékek – {i,h} vagy {0,1}
4. n-változós logikai műveletek
• {i,h}n{i,h}
• ({0,1}n{0,1}) leképezések
Szerkezeti indukció elve
Olyan definíció, ahol a definiálandó fogalmat (mondat, szó,
formula,...) egy adathalmaz (ábécé) felett két lépésben
definiálunk.
• 1. (alaplépés)-ben, az adathalmaz bizonyos elemeivel
azonosítjuk a definiálandó objektumot.
• 2. (rekurziós lépésben) a már definiált objektumokból és
az ábécé további elemeiből, megadott szabályok szerint
állítjuk elő az objektumokat.
Például az aritmetikai kifejezés(term) definíciója.
• 1. Egy x változó vagy egy aritmetikai konstans term.
• 2. Ha t1, t2 termek, akkor (t1+t2), és (t1t2) is termek
• 3. Az összes term az 1. és 2. szabályok véges sokszori
alkalmazásával áll elő.
Tárgya
Az egyszerű állítások és a belőlük logikai műveletekkel kapott
összetett állítások vizsgálata
(könyv 19 és 28-33 oldalak).
Definíció: Egyszerű állítás
•
•
Logika fontos alapfogalma
Valamely kijelentő mondat információtartalma
Definíció: Állításjel
Az egyszerű állításhoz rendelt azonosító (Pl,: E: Esik az eső.)
Definíció : Igazságérték
Egy állítás információ tartalmat jellemezzük két értékkel: igaz, hamis
értékekkel, melyeket igazságértéknek nevezünk
• Igaz egy állítás: ha információtartalma megfelel a valóságnak,
• Hamis egy állítás: ha információtartalma nem felel meg a valóságnak
Az igazságérték meghatározásának módszerei:
•
•
megfigyelés, kísérletezés, általánosítás
az egyes tudomány területeken elért eredmények vizsgálata
Definíció : klasszikus kétértékű logika
Olyan logika, melyben
• Az állítás információ tartalma egyértelműen
eldönthetőnek kell legyen: igaz vagy hamis
• Ellentmondás elve: az állítás nem lehet
egyszerre igaz is és hamis is
• Dichotómia, kétértékűség, harmadik kizárt
elve: nem lehet, hogy egy állítás sem nem igaz
sem nem hamis, az igazságértékek objektívek, és
az időtől függetlenek
• A következtetésnél leírt fő jellemzők érvényesek
A köznapi nyelvben használt kijelentések
általában nem állítások.
Állítás:
• igaz vagy hamis
• kontextustól független
• objektív
• általánosító állítások
Nem állítás:
• Nem létező individumról állítunk valamit
Pl.: Az orosz cár tegnap elutazott Moszkvából.
• Az individum meghatározása nem egyértelmű
Pl.: A sógorom ma reggel hívott telefonon
• A predikátumról szóló állítás nem egyértelmű
Pl.: Anna elég jól úszik.
• Ha a kijelentés jövő idejű
Pl.: Holnap sütni fog a nap.
• Paradoxonok (önhivatkozás)
Pl.: Minden krétai hazudik. (mondja egy krétai)
Most hazudok.
• Paraméteres állítások
Pl.: x > 5
• Kérdések
Pl.: Miért kering a Föld a Nap körül?
• Nem objektív állítás (szubjektív)
• Kontextustól függő állítások
Nem klasszikus logikák: Olyan logikák, ahol feladunk
alapelveket a következőkre vonatkozóan:
•
•
•
Állításfogalom
Igazságérték
Következtetés
Példák:
Többfajtájú: Ha a vizsgált objektumok nem homogének,
többfajtájúak
Másodrendű: a relációkat és a függvényeket is
kvantálhatjuk
Többértékű: olyan logikai szemantikák, ahol kettőnél több
igazságérték létezik.
Fuzzy: olyan logikai szemantika, ahol végtelen igazságérték
létezik
Modális: a klasszikus logika bővítése a ‚szükségszerű, hogy
igaz’, és a ‚lehetséges hogy igaz’ műveletekkel
A köznapi nyelvben és a matematikában is kötőszavak
segítségével az egyszerű állításokból összetett
állításokat (ítéleteket) képezünk.
Pl.: Ha esik az eső, akkor nem megyünk kirándulni.
E: Esik az eső, K: Kirándulni megyünk
EK
Definíció: Összetett állítás
Összetett állítás egy egyszerű állításokból álló
összetett mondat, amelynek az igazságértéke csak a
benne szereplő egyszerű állítások igazságértékeitől
függ.
Ezért az összetett állítások csak olyan nyelvtani
összekötőszavakat tartalmazhatnak amelyek logikai
műveleteknek feleltethetők meg.
A leggyakrabban használt kötőszavak a következők:
Logikai művelet
Jele
Logikai összekötők
Negáció

„nem”, „nem igaz”, „hogy”
Konjunkció

„és”, „mégis”, „annak ellenére”,
„bár”
Diszjunkció

„vagy”, „de”
Implikáció

„ha, … akkor”
Ekvivalencia
(kettős
implikáció)

„akkor és csak akkor”
1
2
3
4
5
6
7



8

9
10
11
12
13 14 15 16

XY
X
Y
X
Y
i
h
X
Y
XY
XY
XY
XY
i
i
i
i
i
i
h
h
h
h
h
i
h
h
i
i
i
h
i
h
h
i
h
h
i
i
h
i
h
i
h
i
i
h
i
h
h
i
h
i
i
h
i
i
h
h
i
h
i
h
h
i
i
h
h
h
h
h
i
i
h
i
i
h
h
i
i
i
h
h
i
h
A lehetséges kétváltozós logikai műveletek közös igazságtáblája.
A táblázat tartalmazza a
• 16 db. Lehetséges műveletet
• 4.db.1-változós műveletet
• 2.db. 0-változós műveletet
Ezekből a logika tárgyalásánál a {,,,} műveleteket használjuk csak.
1
2
3
4
5
6
7



8

9
10
11
12
13 14 15 16

XY
X
Y
X
Y
i
h
X
Y
XY
XY
XY
XY
i
i
i
i
i
i
h
h
h
h
h
i
h
h
i
i
i
h
i
h
h
i
h
h
i
i
h
i
h
i
h
i
i
h
i
h
h
i
h
i
i
h
i
i
h
h
i
h
i
h
h
i
i
h
h
h
h
h
i
i
h
i
i
h
h
i
i
i
h
h
i
h
5. : kizáró vagy (X és Y közül pontosan az egyik)
6.: Sheffer vonás (X és Y közül legalább az egyik nem)
7.: Peirce vonás (sem X , sem Y)