Transcript Кути у просторі. Урок геометрії в 10 класі


Дві прямі, які перетинаються у просторі визначають одну площину, тому означення
кута між прямими, які перетинаються у просторі переноситься і в стереометрію.
М
а
в
Означення . Менший з кутів, утворених при перетині двох прямих, називають
кутом між прямими.
Із означення слідує, що кут між двома перетинаючими прямими не може
перевищувати 900 ,тобто
0
0
a ,b   0 ; 90 
Якщо прямі паралельні, то величина кута між ними дорівнює 00.
Якщо прямі перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 900.
Приклад 1. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Знайти кути між прямими: 1) CC1 і BC1;
BC1 і CB1; 3) AA1 і CC1; 4) A1C1 і BC1.
2)
Розв’язання
1) C C1 , BC 1  BC1C=450 (за властивостями діагоналей квадрата);
2) B C1 ,C B1  C1ОC=900 (за властивостями діагоналей квадрата);
3) A A1 ,CC 1  00, тобто AA1║CC1;
4) A1 C1 , BC1  A1C1B=600 (за властивостями рівностороннього трикутника ΔA1C1B);
D1
Відповідь: 1) 450; 2) 900; 3) 00; 4) 600.
A1
C1
В1
О
О
C
A
B
C1
B
C
Означення. Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які
перетинаються і відповідно паралельні мимобіжним:
a ,b  a ,b
a, b, b║b', Ta, b'
а
T
в'
в
Зверніть увагу, що площина, яка утворилася прямими a і b паралельна прямій b
(за ознакою паралельності прямої і площини).
Приклад 2. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Знайти кути між прямими: 1) CC1 і АB;
і CB1; 3) AD1 і BA1; 4) AC1 і BB1; 5) AC1 і BD.
D1
Розв’язання.
C1
A1
2) AD1
1) C C1 , AB  C C1 , DC =900 (за означенням
квадрата);
2) A D1 ,C B1  B C 1 ,C B1  90 (за властивістю
діагоналей квадрата);
0
M
D
O
C
A
B
0
3) A D1 , B A1  B C 1 , B A1  60
(за властивістю
рівностороннього трикутника ΔA1C1B);
4) AC1 , BB1  AC 1 ,CC 1 = AC1С.
У ΔACC1, С=900 : СС1=а, АС= a 2,
AC1= a 3
cos  C 1 
5)
a
a 3

3
3
  C 1  arccos
3
 54 42 
3
AC 1 , BD  O M , BD   M O B , де ОBD, AC і М – середина СС1.
ΔBMD – рівнобедрений з основою BD, МО – медіана, а отже висота, тобто
MOB=900.
0
Означення. Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її
проекцією на площину.
 ,m  n ,m  
, где m∩=K, m∩n=K, n ,
Pm, Fn, PF.
т
P


K
F
Зверніть увагу, що поняття кута між мимобіжними прямими і кута між прямою і
площиною зводяться до поняття кута між прямими, які перетинаються.
Приклад 3. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Знайти кути між : 1) BC1 і (АBC);
(CBB1); 3) AC1 і (AA1D1).
D1
Розв’язання.
2) A1C1 і
1) B C 1 ,  A B C   B C 1 , BC  45 (за
властивістю діагоналей квадрата);
0
C1
A1
2) A1 C 1 ,  C B B1   A1 C 1 , B1C 1  45 (за
властивістю діагоналей квадрата);
2
3) AC 1 ,  A A1 D1   AC 1 , AD1  arctg
.
2
0
a 2
C
A
B
Відповідь: 1) 450; 2) 450; 3)
arctg
2
2
.