Transcript Презентація "Відстань між мимобіжними прямими"

Відстань між мимобіжними
прямими
Способи розв’язування задач
Творчий проект Башуцької Оксани
Означення: спільним перпендикуляром до двох мимобіжних
прямих називається відрізок з кінцями на даних прямих,
перпендикулярний до кожної з них.
A
a
ABa, ABb
B
b
Мимобіжні прямі мають єдиний спільний перпендикуляр.
Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин,
які проходять через ці прямі.
ǁ, AB , AB
A
a


b
B
Означення: відстанню між мимобіжними прямими
називається довжина їх спільного перпендикуляра.
Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які
проходять через ці прямі.
ǁ, AB , AB , (a,b)=(,)=AB
A
a


b
B
Основні способи знаходження відстані
між двома мимобіжними прямими
1)Будують спільний перпендикуляр до даних мимобіжних
прямих і обчислюють його довжину;
2) Проводять через дані мимобіжні прямі паралельні
площини і обчислюють відстань між ними;
3) Проводять через одну з мимобіжних прямих площину,
паралельну другій прямій і обчислюють відстань до цієї
площини від паралельної до неї прямої;
4) Проводять площину, перпендикулярну до однієї з даних
прямих і ортогонально проектують на неї обидві прямі.
Шукана відстань дорівнює відстані між проекціями цих
прямих.
Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляра
В ході розв’язання відшукують або будують спільний
перпендикуляр до даних мимобіжних прямих і обчислюють
його довжину
Задача 1. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між прямими ВC і DD1
B
C
1
A
1
D
1
1
B
A
(BC, DD1)=DC=a
C
D
CDBC, CDDD1 як суміжні сторони
квадратів – граней куба
CD – спільний перпендикуляр
для прямих BC та DD1
Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляра
Задача 2. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між прямими AA1 і CB1
B
C
1
A
1
D
1
1
B
A
C
D
AA1A1B1 , BCBB1 , BB1A1B1
як суміжні сторони квадратів –
граней куба
За теоремою про три перпендикуляри
CB1A1B1
A1B1 – спільний перпендикуляр
для прямих B1C та AA1
(B1C, AA1)= A1B1 = a
Спосіб 2. Побудова паралельних площин
В ході розв’язання проводять через дані мимобіжні прямі
паралельні площини  і ; тоді шукана відстань дорівнює
відстані між цими площинами.
a, b, ǁ, AB , AB, (a,b)=(,)=AB
A
a


b
B
Спосіб 2. Побудова паралельних площин
Задача 3. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналями
несуміжних граней - прямими A1 В і DC1
B
C
1
A
1
D
1
1
P
B
A
PK- спільний перпендикуляр
заданих мимобіжних прямих
K
C
D
Діагоналі A1B та C1D лежать у
паралельних площинах , а саме:
A1B(AA1B), C1D (DD1C),
(AA1B) ǁ (DD1C)
AD – спільний перпендикуляр
для даних граней
(A1B, DC1)=AD=PK=a
Спосіб 3. Побудова однієї паралельної площини
В ході розв’язання проводять через одну з даних мимобіжних
прямих b площину , паралельну другій прямій a; тоді шукана
відстань дорівнює відстані між прямою a і паралельною їх
площиною 
b, aǁ, AB , AB a, (a,b)=(a,)=AB
A
a
b

B
a1
Спосіб 3. Побудова однієї паралельної площини
Задача 4. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналлю основи
та несуміжним до неї бічним ребром - прямими A1С1 і DD1
B
1
A
C
K
1
D
1
1
B
A
C
D
Проведемо через діагональ A1C1
верхньої грані куба площину,
паралельну до бічного ребра DD1площину AA1C.
AA1(AA1C), AA1ǁ DD1, тому
DD1 ǁ (AA1C)
Так як діагоналі квадрата взаємно
перпендикулярні (A1C1  B1D1)
а також взаємно перпендикулярні
основи та побудована діагональна
площина, то КD1 – шуканий
перпендикуляр і шукана відстань,
де К – точка перетину діагоналей
основи
2
0
a
sin
45

a
(A1С1, DD1)=KD1=
2
Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
Проводять площину , перпендикулярну до однієї з даних
прямих a; і ортогонально проектують обидві дані прямі на цю
площину; тоді проекцією прямої a є точка А перетину цієї
прямої з площиною  , проекцією прямої b – деяка пряма b1
площини , а шукана відстань дорівнює відстані від точки А
до прямої b1
a , b  b1,
b1 , a=A,
b
b, m,
ǁa, mǁa
AB b1,

(a,b)=(A,b1)=AB
a
m
b1 B

A
Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
Задача 5. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між мимобіжними
діагоналями суміжних граней куба - прямими AС і DС1
Використаємо перпендикулярність діагоналей квадратів основ куба
Проведемо через діагональ BD площину, перпендикулярну до діагоналі АС,
- площину BB1D. Ортогональними проекціями на неї прямих AС та DC1
будуть точка О(перетин АС і BD) та пряма DO1
B
1
C
О1
1
A
D
1
1
К
B
A
О
Опустимо перпендикуляр ОК з
точки О на пряму О1D
ОК – шукана відстань
Так як OKO1D=OO1 OD, маємо:
a 2
OO1  a, BD  a 2 , OD 
2
2
C
D
a 2
2
  a 1,5
O1 D  a  

 2 
OK 
OO1 OD
a 2
a
 a
: a 1,5 
O1 D
2
3
Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
Задача 6. Рівні прямокутники ABCD і ABC1D1 лежать у перпендикулярних
площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD1 і С1D , якщо
АВ=15 см, ВС=20 см
C1
D1
B
Оскільки D1A і C1В – перпендикуляри до
прямої перетину двох перпендикулярних
площин, то D1A (АВС), С1В (АВС).
Побудуємо ортогональні проекції прямих
AD1 і С1D на площину АВС. Проекціями є
відповідно точка А та пряма BD. Шукана
відстань дорівнює висоті АН прямокутного
трикутника ABD (A=900)
C
H
А
D
Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
Задача 6. Рівні прямокутники ABCD і ABC1D1 лежать у перпендикулярних
площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD1 і С1D , якщо
АВ=15 см, ВС=20 см
C1
Оскільки за теоремою Піфагора ВD=25 см, то
AH 
D1
AB  AD
15  20
, AH 
 12(см )
BD
25
Відповідь: 12 см
B
C
H
А
D