Transcript 第一章数值模拟的基本理论和方法

计算机在材料科学中应用
－ 计算机模拟部分 －
任课教师: 杨弋涛
上海大学材料学院材料工程系
教学背景
• CAD, CAE, CAM是材料科学领域的技术前沿
和活跃的研究领域。
• 在铸造领域里,铸件凝固过程计算机模拟是最
核心的内容之一。
• 在铸造工业上具有重要的实用意义
铸造过程的回顾
• 什么是铸造过程? 简单的一句话概括,即液态金
属浇入铸型并在铸型中经凝固和冷却,得到铸件。
• 充型过程可能引起的铸造问题有卷气,夹渣,浇
不足,冷隔,砂眼等
• 凝固过程可能引起的铸造问题有缩孔,缩松等
• 冷却过程和铸造应力,裂纹等产生联系
计算机模拟的作用
• 有助于认识一些铸造缺陷的形成
• 优化工艺参数,协助提高产品质量
• 缩短试制周期,降低成本
Return
教学的主要目的
一.了解该数值模拟的理论基础
二.建立数值模拟在金属材料科研中应用的
基本概念
三.掌握模拟工具软件的使用流程。
教
材
主要内容
• 数值模拟的基本理论和方法
• 数值模拟在材料科学研究中的应用
• 模拟前的预备工作
• 模拟软件的使用方法与结果分析
• 铝合金的半固态压铸成形过程的模拟
• CAE在生产实践中的应用
• 配套的网络课程(主要解决动画显示)
http://202.121.199.249/ytyang/Network
-ngmn/
凝固模拟
流动模拟
Φ970钢锭的充型过程(温度场显示)
浇注时间约
1180秒
Φ970钢锭的凝固过程
凝固时间约
8641秒
第一章 数值模拟的预备知识
(基本理论和方法)
第一节 传热解析
第二节 流动解析
第三节 凝固解析
第一节 传热解析
传热3形态
• 热传导 固体或液体的原子,分子,电子的运动所致
• 热辐射 电磁波或光所致
• 对流(或热传达) 流体的移动所致
热传导的傅立叶(Fourier)定律
T
q  
x
q---热流密度「W/m2」,T---温度「K」,
x---坐标「m」,∂T/∂x---温度梯度,
λ---热传导率「W/(K·m)」。
辐射传热
• 来自黑体表面的热辐射和绝对温度的4次
方成正比
q=const(T24-T14)
对流传热
固体表面温度Ti 流体总体温度Tb
q=h(Tb-Ti)
h---对流换热系数
1维传热的基本问题
热能守恒
时间t至(t+△t)之间某个区域内所积蓄的热量Q
=△t之间流入的热量Qin-△t之间流出的热量Qout
一维热传导的微分方程 的推导
Q=(时刻t+△t时的热量)-(时刻t时的热量)
=ρCpVTt+△t-ρCpVTt (比热单位J/kgK)
考虑线性关系
qb =qa+△q= qa +△x·tgθ= qa +△x·(△q/△x)
若是单位面积
Qin-Qout=1·qa△t-1·qb△t=-△x·(△q/△x)·△t
代入热能守恒方程
C pV
T
t  t
T
q
 ( )x
t
x
t
因为V=1·△x、考虑无限小单元(△x→0)、无限小
时间增量(△t→0)
T
q
C p

t
x
此处代入傅立叶(Fourier)定律
T

T
C p
 (
)
t x
x
即热传导微分方程式
如果热传导率λ为常数时 ,热传导微分方程式可
改写为
T
T
C p
 2
t
x
2
T
T

  2 , 
t
x
C p
2
α被称为热扩散率或导温系数
初期条件的描述
t=0 时 T=T0(常数)
或
t=0 时 T=T(x)
边界条件的描述
Δt间隔积蓄的热量ρCpV(Tt+Δt-Tt)
=(Δt间隔从边界流入的热量qsAΔt)-(Δt间隔从边界由
于热传导流出的热量,-λAΔt「∂T/∂x」x=Δx)
对于单位断面积(A=1,V=1·Δx), Δx趋于无限小时,左边
忽略不计,上式可改写为
x=xs(边界), q+λ(∂T/∂x) =0
有限差分法基本概念的导入
• 仅有初期条件和边界条件,用计算机还无
法解上述的热传导微分方程。这是因为
计算机只能处理离散后的数值。所以,每
个时间增量Δt用跳跃式的点来计算,点
与点之间的位置采用内插法或外插法求
解。为此首先要对微分方程以及边界条
件进行差分处理。从微分方程式导出差
分式的最常用方法是有限差分法(亦称泰
勒展开)。
泰勒展开
T
Ti 1  Ti  x
x
x 2  2T
i 
2! x 2
x 3  3T
i 
3! x 3
i
 
基础微分方程的差分化
T
T

考察方程
  2 , 
t
x
C p
2
因为
T
Ti 1  Ti  x
x
x 2  2T
i 
2! x 2
x 3  3T
i 
3! x 3
T
Ti 1  Ti  x
x
x 2  2T
i 
2! x 2
x 3  3T
i 
3! x 3
若两式相加
i
 
i
 
 2T
x 2
i
Ti 1  2Ti  Ti 1 x 2  4T


2
x
12 x 4
(∂4T/∂x4)以上的项 忽略不计
T
x 2
2
同理可得
t
i
T
t

i
t
i 1
T

Ti
 2Ti  T
x 2
t
t  t
 Ti
t
t
i 1
t
i
 
T
考虑 t
i
 T  t

i
 t 
t  t
 Ti

t
t
t
 2 (Ti 1  2Ti  Ti 1 )
t
x
若已知t时刻的Tit,Ti+1t,Ti-1t ,可利用上式求Tit+Δt 。
这种方法叫前进差分法或显式解法。
Ti
T
考虑 t
T
t
i
T

t
i
t
 T  t  t

i
 t 
t  t
i

Ti
t  t
 Ti

t  t
t  t
t  t
 2 (Ti 1  2Ti  Ti 1 )
t
x
t
单凭i点的值无法求解Tit+Δt ,要建立关于T1t+Δt,
T2t+Δt,···, Tit+Δt···的连立方程式。这种方法叫
后退差分法或隐式解法。
T
t
考虑
Ti
t  t
i
1  T
 
2  t
 Ti
1 T

t
2 t
t
r
t
t
i

T

t

2x
t  t
r



t  t
(Ti 1
2
 2Ti
t  t
t  t
 Ti 1
)
边界条件的差分化
T
T2  T1  x
x
T
T3  T1  2x
x
x 2  2T
1
2! x 2
x 3  3T
1
3! x 3
(2x) 2  2T
1
2! x 2
1
 
(3x)3  3T
1
3! x 3
1
 
(∂2T/∂x2)以上的项忽略不计
T
x
即
T2  T1
1 
x
(T2  T1 )

 qs  0
x
第二节 流动解析
流体的分类(复习)
• 稳定流和非稳定流
• 层流和紊流
判据:Re=(流速•代表长度)/(粘度•密度)
• 势流和粘性流(后者含牛顿流体)
势流是无粘性、无涡度的流动
牛顿流体是流动阻力与变形速度成比例的粘性流
• 管内流动和敞开流动
质量守恒
(单位时间质量的增量)=(单位时间流入的质量)(单位时间流出的质量)
连续性方程
动量守恒
牛顿第二定律
(单位时间动量的增量)=(单位时间流入的动量)-(单位时
间流出的动量)+外力
考虑2维情况时的假定
1. 密度,粘度为常数
2. 外力有压力,粘性力,重力
又称为Navier-Stokes方程
第三节 凝固解析
(1)为掌握铸造生产效率,希望知道凝固时间。
(2)开型时间的了解
(3)收缩的预测
(4)组织偏析的预测
(5)凝固组织,性能的推测
(6)铸造应力的推测
(7)铸型条件的预测
(8)控制凝固条件
平衡状态图和平衡凝固
Al-Cu 二元合金的平衡状态图
一些基本概念
液相线和固相线,共晶线
固液共存区
固相浓度,液相浓度和平衡分配系数 (k0=CS/CL )
固相率,液相率和杠杆定律 (fS=(CL-C0)/(CL-CS) )
杠杆定律的简要推导
ρSVS+ρLVL= ρV
fS= ρSVS / ρV ， fL= ρLVL / ρV
ｆS+ｆL= 1
ρSVSCS+ρLVLCL= ρV C0
两边同时除以ρV
fS=(CL-C0)/(CL-CS)
关于冷却曲线
非平衡凝固 的概念
过冷---温度虽达到液相线温度TL但凝固并不开始,在TL以
下的某个温度TL’才开始凝固。这个温度差ΔT=TL - TL’
被称为过冷度。
溶质分布,偏析
生核与过冷
凝固开始必须有固相的核存在,温度不上升,浓度
不变的前提下能稳定存在的最小结晶就是”核”,
亦称凝固核。凝固核的形成过程称为形核过程。
形核的机理有两种,匀质形核和非匀质形核。匀
质形核是熔融合金的原子之间相互凝聚成核,这
需要很大的过冷度。通常的铸造过程几乎不产生
匀质形核而是非匀质形核。
凝固模式
形成凝固壳的树枝晶凝固
接近于纯金属的合金,凝固温度范围小的合金(如铸钢),急冷
海棉状的树枝晶凝固
凝固温度范围小的合金,缓冷(如砂型铸造)时易于发生
糊状等轴晶凝固
凝固温度范围大的合金,缓冷时易于发生
形成凝固壳的等轴晶凝固
比如共晶合金快冷
普通铸铁的凝固 共晶团(奥氏体+石墨)
球墨铸铁的凝固
第四节 CAE的基本
粗框图
CAE的基本构成
前处理
(CAD数据的导入)
求解器
(解析计算)
后处理
(显示结果)
细框图
事前准备(目标的设定, 收集相关信息)
建立模型,确定解析范围
制作待解析的数据
实施解析计算
修改待解析数据
结果输出
修改方案
结果分析
对照评定标准
不好
好
结束
有限差分法
有限元法
边界元法
第一章的习题
• 推导一维热传导的微分方程。
2

T

T
 实施差分处理。
• 对
  2 , 
t
x
C p
• 理解几种凝固模式的意义。
• 掌握CAE流程的概念,用自己理解的语言来表达。