Transcript Neutronové reakce

RF
2. NEUTRONOVÉ REAKCE
Úvod
2.1. Interakce neutronů s jádry
2.1.1. Chování neutronů v jaderném reaktoru
2.1.2. Typy neutronových reakcí
2.1.3. Neutronové účinné průřezy
2.2. Pravděpodobnost srážky
2.2.1. Pravděpodobnostní funkce
2.2.2. Střední volná dráha
2.3. Hustota neutronových interakcí
2.4. Hustota toků neutronů
RF
Úvod
• Z jaderných reakcí má z hlediska teorie jaderných
reaktorů největší význam interakce jádra s neutrony.
• Neutrony nenesou elektrický náboj, proto nemusí při
přibližování se k atomovému jádru překonávat
odpuzující sílu a mohou proniknout k jádru mnohem
blíže. Z tohoto důvodu mohou i tepelné neutrony, které
mají malou kinetickou energii (En = 0,025 eV) vyvolat
jadernou reakci.
Budeme se nyní zabývat blíže interakcemi neutronů
s jádrem a také interakcemi velkého počtu neutronů
s velkým počtem jader.
RF
2.1. Interakce neutronů s jádry
Experimentální potvrzení existence neutronů bylo poprvé
získáno Chadwikem /L17/ při bombardování berylia
rychlými částicemi alfa:
Neutrony vznikající při této reakci dopadaly na
parafínový terčík a vyrážely z něj protony, které byly
identifikovány pomocí svého náboje.
RF
2.1.1. Chování neutronů v jaderném reaktoru
Známe-li
pravděpodobnosti
jednotlivých
interakcí
neutronů s jádry, můžeme určit rozložení hustoty neutronů
v reaktoru i rychlosti všech reakcí, ke kterým dochází
v důsledku těchto interakcí.
Neutrony uvolňované při štěpení mají poměrně vysokou
průměrnou energii (2 MeV) a mají libovolný směr.
Neutron se pohybuje z místa, kde došlo ke štěpení po
přímé dráze až do té doby, než se srazí s jádrem nebo
unikne ze systému. V reaktorové fyzice se předpokládá, že
oblast vně systému je vakuum, takže nedochází k zpětnému
rozptylu neutronů do systému.
RF
Obr.2.1 - Schéma dráhy neutronu v reaktoru:
1 - počátek dráhy
2 - rozptyl
3 - absorpce
4 - únik z reaktoru
RF
Změna kinetické energie neutronu mezi jednotlivými
srážkami je určena rychlostí v každém jednotlivém
přímočarém úseku dráhy a má tvar stupňovité funkce. Při
každém rozptylu se energie neutronu mění skokem (viz
obr.2.2).
Obr.2.2 - Změna energie neutronu při rozptylu
RF
2.1.2. Typy neutronových interakcí
K nejdůležitějším interakcím neutronů
v teorii jaderných reaktorů patří tyto reakce:
• štěpení jaderného paliva (235U,
tzv. reakce (n,f),
233U,
• Absorpce neutronů - reakce (n,γ), (n,a),
• Rozptyl neutronů - reakce (n,n), (n,n').
s
jádry
239Pu),
(n,p),
RF
Neutronové reakce se uskutečňují ve většině případů přes
složené jádro (80 - 90% reakcí):
X  Y 1n  ...
A1
Z 1n 
A
 Z 
A1
*
Z 
A 3
( Z  2) He
- štěpení, reakce (n,f)
- radiační záchyt, reakce
(n,)
4
2
- reakce (n,a)
A( Z  1)11H
- reakce (n,p)
A
Z 1n
 Z  n
A
* 1
- Pružný rozptyl
rezonanční, reakce (n,n)
- nepružný rozptyl,
reakce (n,n')
• Z - atomové číslo terčového jádra
• X, Y - produkty štěpení,
• A - atomová hmotnost
• 1n - neutrony uvolněné při štěpení.
• [A+1Z]* - vzbuzený (excitovaný) stav
RF
Kromě pružného rozptylu přes vzbuzené jádro
může nastat tzv. potenciální pružný rozptyl, při
kterém terčové jádro zůstalo v základním
energetickém stavu,
A
Z n Z n .
1
A
1
V mnohých případech mohou probíhat všechny
z
uvedených
reakcí,
ale
pravděpodobnost
uskutečnění každé reakce je jiná. Například při
bombardování vzorku 235U tepelnými neutrony jsou
pravděpodobnosti, že se uskuteční štěpení, radiační
záchyt a rozptyl v poměru 60:10:1.
RF
2.1.3. Neutronové účinné průřezy
2.1.3.1. Mikroskopický účinný průřez
Ke
kvantitativnímu
popisu
interakce
neutronů
s atomovými jádry se používají účinné průřezy. Účinný
průřez pro určitou reakci vztažený na jedno jádro se nazývá
mikroskopický účinný průřez a označuje symbolem σ.
Vyjadřuje míru pravděpodobnosti, že dojde k interakci
mezi jedním jádrem, nacházejícím se v terčové ploše
1 m2 a jedním dopadajícím neutronem, který projde kolmo
touto plochou. Jednotkou mikroskopického účinného průřezu
je 1 m2.
Pozn: 1 barn = 10 -28 m2.
   (A,E)
RF
Pro účinný průřez platí adiční zákon, tj. dojde-li k několika
druhům interakcí neutronu s jádrem, můžeme určit celkový
účinný průřez např. takto:
 =  e +  i +  f +  r ;  s  e + i ; a   f +  r
σ e , σ i , σ f, σ r
σs , σa
- účinné průřezy pro pružný a nepružný rozptyl,
štěpení a radiační záchyt,
- účinné průřezy pro rozptyl a absorpci.
Účinný průřez jádra pro příslušnou reakci je
charakteristikou jádra a závisí na energii dopadajícího
neutronu, tj.
   (A,E),
kde
A - atomová hmotnost terčového jádra,
E - energie neutronu vstupujícího do interakce.
RF
Závislosti účinných průřezů na energii pro všechny prvky,
s kterými se pracuje v neutronové a reaktorové fyzice, jsou
stanovené a zpracované v tabulkách a grafech pro rychlost
neutronů 2200 m/s.
Typická závislost účinného průřezu pro absorpci neutronů
na energii je znázorněna na obr.2.3. Energetický interval
neutronů v jaderném reaktoru je značně široký, od 10-2 eV
do 107 eV. Tento energetický interval z hlediska účinných
průřezů můžeme rozdělit u mnoha jader (zvláště pro A >
100) na tři charakteristické oblasti tak, jak je vidět z obr.2.3.
RF
Obr.2.3 -
Závislost účinného průřezu pro absorpci
neutronu na energii
1. Oblast zákona 1/ν (do ~ 1 eV).
2. Rezonanční oblast (~ 1 eV až ~ 103 eV).
3. Oblast neutronů s velkou energií (~ 103 eV až ~ 107 eV).
RF
•
V první oblasti můžeme účinný průřez vyjádřit vztahem
 (  ) =  o  o nebo  (E) =  o E o , E o = m  o

E
2
2
σ, σo, - účinné průřezy neutronů při rychlosti ν a při rychlosti νo = 2200 m/s.
•
V druhé oblasti, tzv. rezonanční, může mít účinný
průřez několik maxim, jejich počet je závislý na druhu
izotopu.
•
Třetí oblast zahrnuje neutrony s velkou energií, tj.
neutrony
střední
(~103
až
~
105
eV)
a rychlé (E > 105 eV). Tato oblast se vyznačuje tím, že
účinný průřez pro rozptyl neutronů i pro vznik složených
jader se blíží ke geometrickému průřezu jádra.
RF
2.1.3.2. Makroskopický účinný průřez
Makroskopický účinný průřez (označujeme symbolem Σ)
je mírou pravděpodobnosti toho, že dojde k interakci mezi
jedním jádrem ze všech, které se nachází v krychli o straně
1 metr a neutronem, který dopadá kolmo na jednu ze stěn
této krychle. Pro makroskopický účinný průřez platí vztah
 = N [ m ]
-1
N je hustota jader, tj. počet jader v jednotce objemu (1 m3) dané látky.
RF
Je-li ρ [kg/m3] měrná hmotnost látky tvořené jedním
prvkem, M její molární hmotnost [kg/mol] a NA Avogadrova
konstanta (NA = 6,023.1023 mol-1), potom počet jader
v jednotce objemu vypočítáme podle vzorce
NA
N =
 [ m-3 ]
M
Vztah pro výpočet makroskopického účinného průřezu
platí pro interakci neutronů s jedním druhem jader. Když
příslušnou látku tvoří několik druhů jader, určíme
makroskopický účinný průřez sčítáním parciálních
účinných průřezů pro jednotlivé druhy jader.
 =
c 
i
i
i
ci - objemové zastoupení i - tého druhu jader,
Σi - makroskopický účinný průřez pro příslušnou reakci i - tého druhu jader.
RF
V následující tab.2.1 jsou uvedeny počty jader v 1 m3
a mikroskopické účinné průřezy tepelných neutronů pro
některé materiály používané v jaderných reaktorech (podle
BNL-325, hodnoty s hvězdičkou jsou vynásobeny 105).
Tab.2.1 - Mikroskopické účinné průřezy pro
rozptyl
některých
materiálů
jaderných reaktorech
Materiál
absorpci a
používaných
σ .1028 [m2]
N.10-30 [m-3]
a
s
H
5,3*
0,33
38
B
0,1364
755
4
Be
0,01236
0,010
7,0
C
0,0803
0,0045
4,8
O
5,3*
0,0002
4,2
Al
0,0602
0,241
1,4
Yr
0,0423
0,185
8
Upřír
0,04873
7,68
8,3
RF
V tab.2.2 jsou uvedeny mikroskopické účinné průřezy
tepelných neutronů pro některé štěpitelné izotopy.
Tab.2.2 - Mikroskopické účinné průřezy tepelných neutronů
pro 233U, 235U a 239Pu
 .1028 [m2]
Izotop
a
s
f
233U
574,8+1,8
8,2
525,5+1,6
235U
678,4+1,6
8,2
577,5+1,6
239Pu
1025
-
745,9+3,3
RF
Makroskopický účinný průřez pro sloučeninu určíme ze
vztahu
NA
 =
  i  i
M
i
M - molární hmotnost sloučeniny,
νi - počet atomů i-tého druhu v jedné molekule,
σi - mikroskopický účinný průřez pro příslušnou reakci s jádry i-tého
druhu.
Podobně jako pro mikroskopický účinný průřez platí i pro
makroskopický účinný průřez adiční zákon. Je-li jádro pro
interakci s neutrony n rozdílných typů srážek, potom
celkový makroskopický účinný průřez je dán vztahem
n
 =  i
i 1
RF
2.2. Pravděpodobnost srážky
Stanovení počtu srážek mezi neutronem a jádrem v
objemové jednotce za jednotku času v kterémkoliv bodě
zkoumaného prostředí závisí na znalosti pravděpodobnosti různých interakcí mezi neutronem a jádrem.
Tyto pravděpodobnosti závisí na počtu přítomných jader a
též na relativní rychlosti neutronů.
Vzájemné reakce neutronů můžeme zanedbat
vzhledem k tomu, že pravděpodobnost srážky neutronu s
neutronem je asi o šest řádů menší než pravděpodobnost
srážky neutronu s jádrem.
RF
2.2.1. Pravděpodobnostní funkce
Obr. 2.4
Kolimovaný svazek monoenergetických
neutronů procházející polonekonečným
prostředím
Nechť n0 je počet
monoenergetických neutronů
dopadajících kolmo na
jednotkovou plochu povrchu
homogenního
polonekonečného prostředí
(viz obr.2.4). Každý neutron
se dostane do určité
vzdálenosti od hranice
prostředí dříve, než dojde
k první srážce s jádrem.
Úkol spočívá v určení
prostorového rozložení těchto
prvních srážek.
RF
Označme nyní n(x) počet neutronů, které pronikly do
vzdálenosti x a přitom se nesrazily s jádry. Dále budeme
předpokládat, že relativní počet neutronů, které prodělaly
první srážku v malém intervalu dx je konstantní a nezávisí
na poloze tohoto intervalu. Když označíme n(x) počet
neutronů, které prodělaly první srážku v intervalu dx, pak
můžeme psát
- dn(x) =  n(x) dx
kde Σ je konstanta závislá na prostředí, konkrétním typu
interakce neutronu s jádry a na rychlosti neutronu. Řešení
této rovnice s okrajovou podmínkou n(0) = n0 má tvar
n(x) = n0 exp(- x)
RF
Exponenciální funkce ve posledním výrazu představuje
pravděpodobnost, že neutron dosáhl vzdálenosti x a na této
dráze se nesrazil,
- x
w(x) = e
S ní je svázána pravděpodobnost, že neutron prodělá první
srážku na dráze x a představuje funkci rozložení prvních srážek
- x
F(x) = 1 - w(x) = 1 - e
Funkce popisující rozložení hustoty prvních srážek je dána
pravděpodobností, že neutron absolvuje první srážku
v jednotkovém intervalu v okolí bodu x. Je dána vztahem
d
f(x)
F ( x )   e x
dx
RF
Obecný tvar funkce rozložení prvních srážek a hustoty
prvních srážek pro Σ = 1 je znázorněn na obr.2.5.
Obr.2.5 - Pravděpodobnostní funkce.
1 – rozložení prvních srářek F(x),
2 - rozložení hustoty prvních srážek f(x)
RF
2.2.2. Střední volná dráha
Důležitou charakteristikou neutronu při průchodu látkou je
průměrná vzdálenost, kterou musí proběhnout než se
srazí s jádrem. Tuto vzdálenost můžeme určit jako první
moment funkce rozložení hustoty srážek

x
 xf(x)dx
0

 f(x)dx

   xe
0
 x
dx 
1

0
Průměrnou vzdálenost nazýváme střední volnou drahou
a budeme ji označovat symbolem λ.
RF
Makroskopický účinný průřez můžeme tedy vyjádřit jako
reciproční hodnotu střední volné dráhy
1
 =

Z tohoto vztahu je zřejmý i fyzikální význam
makroskopického účinného průřezu, který představuje
střední počet srážek při-padající na jednotku volné dráhy.
Výraz
 x/ 
n(x) = no e
udává zeslabení svazku neutronů vlivem absorpce
neutronů ve vrstvě látky o tloušťce x. Když v tomto výrazu
položíme za x = λ, můžeme λ definovat jako vzdálenost, na
které intenzita neutronového svazku poklesne na hodnotu
1/e své původní intenzity účinkem absorpce neutronů
v látce, ve které nedochází k rozptylu. Proto se veličina
λ také někdy nazývá relaxační délkou.
RF
Předpokládejme nyní, že se neutron pohybuje
v homogenním prostředí. Pravděpodobnost toho, že
neutron nepodlehne srážce během průchodu vzdáleností x,
lze vyjádřit součinem
-( s+a )x
[ 1 - F s (x) ] [ 1 - F a (x) ] = e
Výraz
.
-(  s+ a )x
F o (x) = 1 - e
je pravděpodobnost, že neutron se buď pohltí, nebo
prodělá pružný rozptyl dříve, než projde vzdáleností x.
Odpovídající hustota srážek je
f o ( x)   o e
kde pro Σo platí Σo = Σs + Σa.
 o x
,
RF
Jestliže jádra mohou prodělávat n různých neutronových
reakcí, pak
n
t =

i 1
i
určuje celkový počet srážek, který neutron prodělá na
jednotce volné dráhy. Pro totální střední volnou dráhu
můžeme psát výraz
-1
1 1
1
1 
 t  =  + + ......+
.

t   1  2
n 
Veličina λt představuje průměrnou vzdálenost, kterou
neutron proběhne do té doby, než se uskuteční jedna z
n možných reakcí.
RF
2.3. Hustota neutronových interakcí
Předpokládejme, že ve zkoumaném systému se pohybují všechny
neutrony v libovolném směru s konstantní rychlostí ν. Průměrný
počet interakcí neutronů s jádry za čas dt v elementárním objemu
dr v okolí bodu můžeme vyjádřit následujícím způsobem




F(r, ,t) drdt = () n(r, ,t) drdt
 ()

n(r,,t)

F(r ,,t)
- průměrný počet interakcí neutronů pohybujících se rychlostí
ν na jednotku proběhnuté dráhy,
- hustota neutronů,
- hustota neutronových interakcí.
Hustota neutronových interakcí je tedy průměrný počet interakcí
neutronů s rychlostí v v jednotce objemu v bodě r za jednotku
času v časovém okamžiku t.
RF
2.4. Hustota toku neutronů
Hustotu toku neutronů definujeme následovně:


(r, ,t) =  n(r, ,t)

kde ν je rychlost neutronu a n(r,,t) je hustota neutronů.
Hustota toku neutronů představuje součet drah, které
proletí všechny neutrony v jednotkovém objemu za
jednotku času.

Hustotu neutronových interakcí F(r ,,t) potom můžeme
vyjádřit ve tvaru:


F(r, ,t) =  (  )(r, ,t).
RF
Někdy je vhodnější vyjádřit hustotu toku neutronů v
závislosti na jejich kinetické energii E a ne na jejich
rychlosti. Vztah mezi hustotou toku neutronů závislou na
energii a hustotou toku, která závisí na rychlosti, je


(r,E,t)dE = (r, ,t)d .


~
kde (r,E,t)  (E)n(r,E,t) .

(r,E,t)

(r , ,t)


~
n (r , E,t)
- hustotu toku neutronů na jednotku energie
- hustota toku neutronů
- rychlost neutronů
- hustota neutronů jakožto funkce kinetické
energie neutronů E
RF
Nyní můžeme vyjádřit hustotu neutronových interakcí F
v závislosti na energii E následujícím způsobem:
resp.:


F(r , E,t)= (E)(E)n(r , E,t) ,


F(r,E,t) =  (E)(r,E,t) .
Celkovou délku dráhy, kterou projdou neutrony s energií
v intervalu od E do E+dE v systému o objemu V, získáme
integrací


(E,t)dE =  (r,E,t)drdE .
V
Obdobně pro celkovou délku dráhy neutronů všech energií
v objemu V platí:


(t) =  (E,t)dE =  dE  (r,E,t)dr.
E
E
V