Transcript Doğal sayılar

Volkan Karamehmetoğlu
1
Doğal Sayılar
Tanımlar
• Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
• Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir.
365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur.
Volkan Karamehmetoğlu
2
Doğal Sayılar
Uyarı: Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı
sayılar rakam değildir.
3
25
hem rakam hem de sayıdır.
sadece sayıdır.
• Sayma sayıları: S={1,2,3,…,n,…} kümesinin her
bir elemanına sayma sayısı denir.
Volkan Karamehmetoğlu
3
Doğal Sayılar
• Doğal sayılar: N={0,1,2,…,n,…}
kümesinin her bir elemanına
doğal sayı denir.
Soru: Sayma sayılarının doğal
sayılardan farkı nedir?
Volkan Karamehmetoğlu
4
Doğal Sayılar
• Doğal Sayılarda Arada Olma: İki doğal
sayı arasında bulunan doğal sayıların adedi,
bu iki sayının farkından 1 eksiktir.
Volkan Karamehmetoğlu
5
Doğal Sayılar
Soru: 15 ile 25 arasında kaç doğal sayı vardır?
Çözüm: 25 – 15 =10
10 – 1 = 9
Bu iki sayının aralarında 9 tane doğal sayı vardır.
Soru: 12 ile 35 arasında kaç doğal sayı vardır?
Volkan Karamehmetoğlu
6
Doğal Sayılar
• Sayı Basamağı: Bir sayıyı oluşturan rakamlardan
her birine bu sayının basamağı denir. Bir doğal
sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar
basamaklıdır.
Örnek: 2314 sayısı 4 rakamdan oluşmaktadır. O
zaman 4 basamaklıdır.
Soru: 42364123 sayısı kaç basamaklıdır?
Volkan Karamehmetoğlu
7
Doğal Sayılar
• Çözümleme: Doğal sayıyı oluşturan rakamların
bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri,
rakamların sayıda bulundukları basamaklar göz önüne
alınmadan aldıkları değerlere sayı değeri denir.
Basamak değerlerinin toplamı şeklinde gösterilişine o
sayının çözümlenmiş biçimi denir.
Volkan Karamehmetoğlu
8
1012
Doğal Sayılarda Çözümleme
a
b
c = 102a + 10b + c
100lar (birler basamağı)
101ler (onlar basamağı)
102ler (yüzler basamağı)
Volkan Karamehmetoğlu
9
Doğal Sayılar
•
•
•
•
•
•
ab = 10.a + b
abc = 100.a + 10.b + c
aaa = 111.a
ab + ba = 10.a + b + 10.b + a = 11.a + 11.b = 11.(a+b)
ab – ba = 10.a + b – (10.b + a) = 9.a – 9.b = 9.(a-b)
abc – cba = 99.(a-c) olduğunu gösteriniz.
Volkan Karamehmetoğlu
10
Z
Tam Sayılar
Tanımlar
Z = {…,-n,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,n,…} kümesinin her bir
elemanına tam sayı denir.
Volkan Karamehmetoğlu
11
Tam Sayılar
• Tam sayılar kümesi;
negatif tam sayılar kümesi : Z-, pozitif tam
sayılar kümesi: Z+ ve sıfırı eleman kabul eden:
{0} kümenin birleşim kümesidir.
Buna göre; Z =
Z- U Z+ U {0} dır.
Volkan Karamehmetoğlu
12
Tam Sayılar
• Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar
Sıfırdan büyük her reel sayıya pozitif sayı,
sıfırdan küçük her reel sayıya negatif
sayı denir.
a < b < 0 < c < d olmak üzere,
a, b negatif sayılardır.
Volkan Karamehmetoğlu
13
Tam Sayılar
 c, d pozitif sayılardır.
 İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d>0)
5 + 9 = 14>0
 İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b<0)
-3 + (-5) = -8<0
 Aynı işaretli iki sayının çarpımı ya da
bölümü pozitiftir.
5.4=20>0 veya -5.-4=20>0
20/5=4>0 veya -20/-5=4>0
Volkan Karamehmetoğlu
14
Volkan Karamehmetoğlu
15
Tam Sayılar
 Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük
ise sonuç (fark) pozitif olur.
6 – 2 = 4>0
 Eğer eksilen çıkandan küçük ise fark
negatif olur.
2 – 6 = -4<0
 Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
42 = 16>0
43 = 64>0
Volkan Karamehmetoğlu
16
Tam Sayılar
 Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift
kuvvetleri pozitiftir.
-43 =(-4.-4.-4)=-64<0
-42 =(-4.-4)=16>0
 Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için;
işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı
çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.
9-4=5
4-9=-5
Volkan Karamehmetoğlu
17
Tam Sayılar
 Bir tam sayının +1’e bölümü o sayının
kendisine eşittir.
3/1=3, 100/1=100, 1234567/1=1234567
 Bir tam sayının -1’e bölümü o sayının
toplamaya göre tersine eşittir.(bir örnek
ile gösteriniz)
Volkan Karamehmetoğlu
18
Tam Sayılar
 Sıfırın sıfırdan farklı bir tam
sayıya bölümü sıfırdır.
0/5=0
 Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
Volkan Karamehmetoğlu
19
Tam Sayılar
Mutlak Değer
Sayı doğrusu üzerinde x reel sayısının
başlangıç noktasına olan uzaklığına x’in
mutlak değeri denir.
-x
0
|-x|
x
x
Volkan Karamehmetoğlu
20
Tam Sayılar
|x| =
x,
x>0 ise
0,
x=0 ise
-x,
x<0 ise
Ödev: | -5 | + | -2 | + | +8 | - | +10 |
işleminin
sonucu kaçtır?
Volkan Karamehmetoğlu
21
Tam Sayılar
Çift Sayı: nZ olmak koşuluyla 2n ifadesi
ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.
Ç={…,-2n,…,-4,-2,0,2,4,…,2n,…} biçiminde gösterilir.
Tek Sayı: nZ olmak koşuluyla 2n-1 ifadesi
ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.
T={…,-(2n-1),…-3, -1, 1, 3,…,(2n-1),…} biçiminde gösterilir.
Volkan Karamehmetoğlu
22
Tam Sayılar
T: Tek sayı
Ç: Çift sayı göstersin.
T+T=Ç
T+Ç=T
Ç+Ç=Ç
Ç+T=T
T-T=Ç
Ç-Ç=Ç
T-Ç=T
Ç-T=T
T.T=T
Ç.Ç=Ç
T.Ç=Ç
Ç.T=Ç
Volkan Karamehmetoğlu
nN  için,
Tn=T
Ç = Ç dir.
n
23
Tam Sayılar
NOT:
 Hem tek hem de çift sayı yoktur.
 Sıfır(0) çift sayıdır.
 Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan
oluşur.
Volkan Karamehmetoğlu
24
Tam Sayılar
Ardışık Sayılar: Belirli bir kurala göre
art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar
denir.
n bir tam sayı olmak üzere;
 Ardışık dört tam sayı sırasıyla;
n, n+1, n+2, n+3 tür. (4, 5, 6, 7)
Volkan Karamehmetoğlu
25
Tam Sayılar
 Ardışık dört çift sayı sırasıyla;
2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6 dır. (8, 10, 12, 14)
 Ardışık dört tek sayı sırasıyla;
2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7 dir. (5, 7, 9, 11)
 Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;
3n, 3n+3, 3n+6, 3n+9 dur. (12, 15, 18, 21)
Volkan Karamehmetoğlu
26
Tam Sayılar
Ardışık sayıların toplamı, sayı adedine
bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı
adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine
ait değildir.
Soru: 12+14+…+20 ardışık sayılarının ortanca
terimi kaçtır?
Volkan Karamehmetoğlu
27
Tam Sayılar
İşlem Önceliği
Toplama, çıkarma, bölme, çarpma ve üs
alma işlemlerinden birkaçının birlikte bulunduğu
rasyonel sayılarda işlemler belli bir sıraya
göre yapılır.
Volkan Karamehmetoğlu
28
Tam Sayılar
1)
2)
3)
4)
Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.
Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.
Çarpma-bölme yapılır.
Toplama-çıkarma yapılır.
Uyarı: Çarpma ile bölmede öncelik söz konusu
ise bu, parantezle belirlenir.
Volkan Karamehmetoğlu
29
ALIŞTIRMALAR
1)
Ardışık 4 doğal sayının toplamı 58’dir.Bu sayılardan
en büyüğü kaçtır?
2)
[3 + 2.{5 – 22 : (2 – 12.2)}+4] =?
3)
|-(-3)|-|-5|+|-8| =?
|-2|-|-4|
Volkan Karamehmetoğlu
30
Alıştırmalar
4) Ardışık 4 doğal sayının toplamı 58’dir.Bu
sayılardan en büyüğü kaçtır?
5)
abc, bca, cab üç basamaklı doğal sayılardır.
abc + bca + cab = 1443 ise abc üç basamaklı
sayısı en fazla kaçtır?
Volkan Karamehmetoğlu
31
Alıştırmalar
6) İki basamaklı rakamları asal olan en büyük
tam sayı ile üç basamaklı en küçük tam sayının
toplamı kaçtır?
7)
112 + 32 + 2101 , 2100 + 233 , 20 + 3122 + 712
yukarıdaki işlemlerden hangisinin sonucu çift
sayıdır?
Volkan Karamehmetoğlu
32
Alıştırmalar
8)
zx
x y
yz
x<0<y<z ise;
,
,
y
z
x
işlemlerinin
işaretlerini bulunuz?
9) 2 + 4 + 6 + … +12 dizisinin ortanca terimi
kaçtır?
Volkan Karamehmetoğlu
33
Volkan Karamehmetoğlu
34