Transcript 七年级数学用乘法公式分解因式1

比一比：
50  49 
2
2
99  1 
2
2
500  499 
2
2
999  1 
2
2
999999  1 
2
2
从前有一位张老汉向地主租了一块 “十字型”
土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块相同
面积的长方形土地。同学们，你能帮助张老汉算出
这块长方形土地的长和宽吗？
b米
b米
a米
a
米
计算引入：
1).（2+a)(a-2);
2).(-4s+t)(t+4s)
看谁做得最快最
正确！
3).(m²+2n²)(2n²- m²)
4). (2a +b-c)(2a-b+c )
以上式子都可以用什么乘法公式简便计算？
计算结果的多项式有什么共同点？
平方差公式：
整式乘法
(a+b)(a-b) = a² - b²
a² - b² = (a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式反
过来就是说：
两个数的平方
差，等于这两
个数的和与这
两个数的差的
积
将边长为a的正方形一角剪去一个边长为b
的小正方形，观察你剪剩下的部分。
（1）你能将它剪成两部分然后拼成一
思考：
个新的图形吗？
（2）你能根据先后两个图形的关系说明
一个等式吗？
b
a
学 一 学 ：a2-b2=(a + b)(a - b)
例：
16a2- =(4a)2- =(4a+1)(4a-1)
下列多项式能否用
平方差公式分解因式？
1
12
（1）4x2+y2
(3) -4x2-y2
(5) a2-4
√
(2) 4x2-(-y)2 √
(4) -4x2+y2
√
(6) a2+3
能用平方差公式分解因式的多项式的特征：
1、由两部分组成；2、两部分符号相反；
3、每部分都能写成某个式子的平方。
下列各式可以分别看成哪两式的平方差：
(1) 4－x2＝( 2 )2－ ( x )2
(2) a2b4－9c2＝( ab2
)2－ ( 3c
(3) 1.21－81c2＝( 1.1 )2－ (
2
)
9c
(4) 4(a＋b)2－(a＋c)2 ＝( 2a＋2b )2－
(
a＋c )2
)2
试一试：
(1) x2-1=(x+1)(x-1)
(2)m2-9 =(m+3)(m-3)
(3)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(4) 25x2-4=(5x+2)(5x-2)
(5) 0.01s2-t2
(6) 121-4a2b2
=(0.1s+t)(0.1s-t)
=(11+2ab)(11-2ab)
（7） a6-81=(a3+9)(a3-9) （8）–x2+25=(5+x)(5-x)
(9) 16a2-9b2
=(4a+3b)(4a-3b)
(10) - 4a2b2+c2
=(c+2ab)(c-2ab)
例1.把下列各式分解因式
(1)16a²- 1
(2) -m²n²+4x²
9
1
(3) - 25 x²- （- 16 y4 ）
(4) –9x² + 4m
2
(5)x2y4-9
平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)
例2.把下列各式因式分解
解：
1) ( x + z )²- ( y +4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
z )²
2) 4( a + b)² - 25(a - c)²×[(x+y+z)- (x-y-z)]
解：1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]
=2 x ( 2 y + 2 z)
3) 4a³ - 4a
解：
=(x+y+2z)(x-y)=4 x ( y + z )
4)2.原式=[2(a+b)]²-[5(a-c)]²
(x + y + z)² - (x – y – z )²
解：
=[2(a+b)+
5) 0.5a²2 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)]
3.原式=4a(a²-1)=4a(a+1)(a-1)
=(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)
当公式中的a、b表示多项
式时，要把这两个多项式看成
两个整体，分解成的两个因式
要进行去括号化简，若有同类
项，要进行合并。
选一选：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（
A. 4X²+y²
B.4 x- (-y)²
C.-4 X²-y³
2) -4a² +1分解因式的结果应是（
D
D
）
D.- X²+ y²
）
A. -(4a+1)(4a-1)
B.
-( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a
D.
-(2a+1) (2a-1)
+1)(2a+1)
3.x2-64因式分解为(
).
D
(A)(x-16)(x+4);
(B) (x-32)(x+32);
(C) (x+16)(x-4);
(D) (x-8)(x+8).
4.
(A)
64a8-b2因式分解为(
(64a4-b)(a4+b);
C
).
(B)
(16a2-
b)(4a2+b);
(C) (8a4-b)(8a4+b);
(D) (8a2-b)(8a4+b).
做一做
分解因式：
(1) 16a  9b
2
(2)
2
1 2 2
2
 a b c
4
（4） 25x2－4
（5）121－
4a2b2
（6）－
＋4x2
2
(3) (2n  1)  (2n  1)
2
1
9
例3.把下列各式分解因式
①
x4 - 81y4
2a³ - 8a
1.解:原式= (x²+ 9y²) (x²- 9y²)
②
= (x²+ 9y²) (x+ 3y) (x- 3y)
2.解:原式=2a(a2-
4)
=2a(a+2)(a-2)
平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)
对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？
1.先提取公因式
2.再应用平方差公式分解
3.每个因式要化简，并且分解彻底
练一练：
1、分解因式:
(1) 25x2-4 =(5x+2)(5x-2)
(2) 4x3 -x =x(4x2-1) =x(2x+1)(2x-1)
(3) a4 -81 = (a2+9)(a2-9)= (a2+9)(a+3) (a-3)
(4) 4x3y - 9xy3 = xy(4x2-9y2)
=xy(2x+3y)(2x-3y)
(5) 4( a + b )²- 25( a -c )²=[2(a+b)]²-[5(a-c)]²
=[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b) - 5(a-c)]
=(7a+2b-5c)(2b -3a+5c)
(6) 4a² - 16b² =4 (a²- 4b²)= 4 (a+ 2b) (a- 2b)
练一练：
2、把下列多项式分解因式：
（1） 4x3y－9xy3
（2） 27a3bc－3ab3c
（3）（2n+1）2－（2n－1）2
（4） x4-16
(5) a  81b
4
4
(6) 8a  2a
3
(7) 27a bc  3ab c
3
3
做一做
如图，在一块边长为 acm 的正方形的四
角，各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩
余部分的面积。如果a=3.6，b=0.8呢?
a
b
那你和你表
妹今年分别
等一下，我能够 几岁了？
算出来！
今年，我的年龄
和我表妹年龄
的平方差是87。
聪 明 的同 学 ，你 们 能
算出来吗？
例4、用平方差公式进行简便计算:
（1）38²-37²
（2）213²-87²
（3）229²-171²
（4）91×89
1 2
1 2
(5) (81 )  (78 )
2
2
（6）把9991分解成两个整数的积。
9991  10000  9  100  3
 (100  3)(100  3)
2
2
 103  97
解决开头问题：
50  49 
2
2
99  1 
2
2
500  499 
2
2
999  1 
2
2
999999  1 
2
2
谈谈有何收获
分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法
（如平方差公式）
(3)务必检查是否分解彻底了
比一比
分解因式
（1）a3-9a
1 2
3 3  x
3
（5）a5-16ab4
（2）2x3y3-8xy
（4）x2(x-y)+(y-x)
64x  z 
2
 25 y  z 
2
拓展提高：
1、分解因式：a  b  c  a  b  c
2
2
2、计算：25 × 2652－1352 × 25
3、求(2+1)(22+1)(24+1)……(232+1)+1的个位数字；
4、若248-1能被60与70之间的两个整数整除,这两个整
数分别是
与
；
5、已知,x+ y =7,x-y =5,求代数式 x 2- y2-2y+2x
的值.
6、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
拓展提高：
1、英国数学家狄摩根在青年时代,曾有
人问他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说：
“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是
141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄
吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的
年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？
拓展提高：
2、把一块纸板形状如图，请剪一个面积和
这块纸板相等的长方形纸板，求出这个长方形
纸板的长和宽，并画出图形。
2b
2b
a2-b2=(a+b)(a-b)
b
a
2a
b
2a
3、观察下表，你还能继续往下写吗？
1
1=12-02
3
5
7
……
3=22-12
5=32-22
7=42-32
……
你发现了什么规律？能用因式分解来说
明你发现的规律吗？