Transcript ỔN ĐỊNH CỦA HỆ RỜI RẠC

ỔN ĐỊNH CỦA HỆ RỜI RẠC
• Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc
x(k+1)=Fx(k) +gu(k),
(1.1)
y(k)=cx(k)+du(k), x(0) x0
có hai nguồn kích thích là trạng thái ban đầu x0 và tín hiệu
vào u(k)
• Hệ thống gọi là ở trạng thái cân bằng x0 =0 khi cả hai trạng
thái ban đầu và tín hiệu vào bằng 0.
• ỔN ĐỊNH BIBO (bounded input- bounded output) khi
cho x0 =0, với u(k) bị chận thì y(k) cũng bị chận, k0
• Điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung g(k) (với u(k)=(k)
thỏa

 g(k)  ,
k 0
(1.2)
• Chứng minh:
tín hiệu vào u(k) có thể viết là
u (k )  u (0)(k )  u (1)(k  1)  u (2)(k  2)  ..

  u (n )(k  n ),
n 0
1 khi k  0
δ(k)  {
0 khi k  0
g(k) là đáp ứng y(k) đối với tín hiệu vào (k), đối với tín
hiệu vào bất kỳ u(k)
y(k )  u (0)g(k )  u (1)g(k  1)  u (2)g(k  2)  ..

k
k
n 0
n 0
n 0
  u (n )g(k  n )   u (n )g(k  n )   u (k  n )g(n ), k  0
y( k ) 


n 0
n 0
 u (k  n )g(n)   g(n )u (k  n )

u ( k )  M, y( k )  M  g ( n )
n 0
Nếu điều
kiện (1.2)
thỏa thì
|y(k)| hữu
hạn
• Điều kiện (1.2) cũng là điều kiện cần, ví dụ xét tín hiệu vào
bị chận u(k-j)=sign(g(j)) ta có
y( k ) 


n 0
n 0
 u(k  n)g(n)   g(n)
• Nếu (1.2) không thỏa thì y(k) không bị chận
• Đáp ứng xung là biến đổi Z đảo của Y(z), phụ thuộc các cực
của Y(z)
Gỉa sử Y(z) có cực thật z=a, bậc bội m
Y( z ) 
A1(m) z
A1( m1) z
(z  a )
(z  a )

m
z
k!(a ) k m1

m
(k  m  1)!(m  1)!
(z  a )
 .. 
m1
A11z
, (1.3)
(z  a )
Nếu a < 1 thì mỗi thành phần
của biến đổi Z đảo của (1.3) tiến
về 0 khi k  
• Trường hợp có nghiệm phức bậc bội m ở re±j, biến đổi Z
đảo là tổng các thành phần
Am
k!cos(k  m ) k
r
(k  m  1)!(m  1)!
Các thành phần tiến về 0 nếu r<1
Kết luận : hệ thống ổn định BIBO nếu các cực của hệ thống
nằm bên trong vòng tròn đơn vị mặt phẳng z
Ví dụ:
1
4
4


3 1
1
1
z2  z 
z
z
4 8
2
4
y(k )  g(k )  4(1 / 2) k 1  4(1 / 4) k 1; k  1
G (z) 
y( k )  0
Với tín hiệu vào nấc
1
 z  16z / 3 8z 8z / 3



1  z  1
1
1 z 1
2 3
z  z
z
z
4 8
2
4
16
8
y(k)  8(1 / 2) k  (1 / 4) k  1(k);
3
3
y( k )  8 / 3
Y( z) 
• Ổn định với tín hiệu vào zero x(k+1)=Fx(k)
• Ta tính được X(z)=(zI-F) -1 z x(0)=(z)x(0)
(zI  F)  z
 (z) 
,
zI  F
x (k )  Z 1 (z)x (0)
• Đa thức đặc trưng |zI-F| có bậc n , (z) có thể phân tích thành
các tổng phân số riêng, do đó x(k)0 khi mọi nghiệm của đa
thức đặc trưng (trị riêng của F) nằm bên trong vòng đơn vị
•Hệ thống ổn định nếu mọi nghiệm của đa thức đặc trưng nằm
bên trong vòng đơn vị,
không ổn định nếu có nghiệm ngoài vòng đơn vị hay có nghiệm
bội trên vòng đơn vị
ổn định biên giới nếu có nghiệm đơn trên vòng đơn vị, các
nghiệm còn lại bên trong vòng đơn vị
• Ổn định tiệm cận Lyapunov : nếu hệ thống bị rời khỏi
trạng thái cân bằng do tác đông nhiễu thì sau đó hệ thống
có khả năng quay trở lại trạng thái cân bằng
• Đa thức bậc n theo z có các nghiệm bên trong vòng tròn
đơn vị gọI là đa thức đường tròn đơn vị
TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH JURY
• Điều kiện cần và đủ: Nếu đa thức A(z)= a0+a1z+a2z2+..+anzn =
an(z-z1)(z-z2)…(z-zn)
là đa thức đường tròn đơn vị thì |a0|<|an| và
A1(z) = A0(z)-a0 D0(z)/an cũng là đa thức đường tròn đơn vị và
D0(z) = a0 zn + a1z n-1 + a2z n-2 +..+ an
Từ điều kiện này suy ra bảng Jury:
•Hai hàng đầu của bảng là hệ số của đa thức đặc trưng
theo số mũ tăng dần và giảm dần
•Tính 0 = a0/an<1
•Tính đa thức bậc n, A1(z) có dạng zp(z), p(z) bậc n-1
•Lặp lại bước trên, tính 1, các số hạng  phải nhỏ hơn 1
0 = a00/ an0
1 = a01/ an-11
a00
a10
a20
…
an0
an-10
a n-2 0
…
a01= a10- 0 an-10
a11= a20- 0 an-20
a21= a30- 0 an-30
a n-11
a n-21
a n-31
VÍ DỤ
• A(z)=-1-7z-8z2+28z3+48z4
-1
-0.02 48
-6.42
-0.14 47.98
-4.45
-0.1 47.12
29.28
0.63 46.7
-7
28
-8.17
27.85
26.76
26.76
46.7
29.28
-8
28
48
-8
-7
-1
27.85 47.98
-8.17
47.12
-4.45