Transcript So_phuc_DT

Chöông 0
SOÁ PHÖÙC
Soá phöùc
1. Dạng đại số của số phức
z = a+ib C
Im(z)
(phần ảo của z)
Re(z)
(phần thực của z)
z = ib: số thuần ảo
Trục ảo
z
b
a
Số phức
Trục
thực
1. Dạng đại số của số phức
z  a  ib
Tính chất:
1. Dạng đại số của số phức là duy nhất
a  a '
a  ib  a ' ib '  
b  b '
a  0
a  ib  0  
b  0
2. Các phép tính trên C thực hiện như trên R với lưu ý
i2 = - 1.
Số phức
1.1 SỐ PHỨC LIÊN HỢP
z  a  ib
Số phức liên hợp của z là
z  a  ib
z0 z 0
z z
Tính chất
b
z
a
-b
z
Liên hợp của tổng tích
thương là tổng tích thương
của các liên hợp.
zz
zz
Re( z ) 
,Im( z ) 
2
2i
Số phức
1.2 MODULE CỦA SỐ PHỨC
z  a  ib
z  a 2  b2
Module của z là số thực không âm:
z0 z 0
Tính chất:
z.z '  z . z '
z
z

z' z'
Re( z )  z , Im( z )  z
b
z
z 
z  z '  z  z ' (BĐT tam giác)
z  z  z.z
2
a
2
VÍ DUÏ
1) Cho z = 3 – 2i, z’ = 1 + 5i. Tính : z.z’, z/z’, z2
2) Tìm caùc soá thöïc x, y thoûa maõn x(i + 1) + y(i – 1)= 3 + i
3) Tìm module vaø lieân hôïp cuûa z = 3 – 2i
1 i
(3  4i) z 
1 i 3
4) Tìm module cuûa z bieát
5) Tìm soá phöùc z neáu
4
z  2z  1  0
2
Soá phöùc
3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
r  z  a 2  b2
M
y
r
a
b
  arg( z ), cos   , sin  
r
r

x
z  r (cos   i sin  )
  [0,2 ) hay   ( ,  ]
Dạng lượng giác của z.
Giá trị chính
Chỉ có những z 0 mới được biểu diễn theo dạng lượng
Soá phöùc
giác
Ví dụ
Tìm dạng lượng giác của các số phức sau:
1/ z  1  i 3
5 / z  sin

7
 i cos
2 / z  1 i
3 / z  1 i
4/ z i
6 / z  1  cos

7
7
 i sin
3 i
7 / z  1
2
Soá phöùc


7
TÍNH CHẤT
z = r(cos + isin), z’ = r’(cos’ + isin’)
zz’ = rr’[cos( +’) + isin(+ ’)]
(Tích = Tích module, tổng argument)
z/z’ = (r/r’)[cos( - ’) + isin( - ’)]
(Thương = Thương module, hiệu argument)
(cos + isin)n = cosn + isinn
(Công thức Moivre)
Số phức
(n  Z)
VÍ DỤ
6) Tìm module và argument của


z  2  2 3 1  i 
8

1  i 3
z
14
1  i 
22
5) Tính cos3x, sin3x theo sinx và cosx
Số phức
CĂN BẬC N CỦA SỐ PHỨC
u là căn bậc n của z  u n  z
4  2
1  i
1  1
3  4i    2  i 
Mọi số phức khác 0đều có 2 căn bậc 2 đối nhau.
Soá phöùc
Tìm căn bậc n của số phức dạng lượng giác
Mọi số phức khác 0 đều có n căn bậc n
z  r  cos  isin  
n
    k 2
z  r cos 
  n
n

   k 2
  i sin 

 n



k  0,1,2,...,  n  1
Căn số phức
Căn số thực dương
Các căn bậc n của z là đỉnh của đa giác đều ngoại tiếp
n
đường tròn tâm 0 bán kính r
Soá phöùc
Ví dụ
1. Tìm các căn bậ n của các số phức
3
1 i
4
i
3
1
2. Giải các pt dưới đây:
z2  z 1  0
z 4  3iz 2  4  0
Soá phöùc
ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ
Mọi phương trình bậc n, Pn(z) = anzn + …+ a1z + a0 = 0
đều có n nghiệm kể cả nghiệm bội).
Nếu các ai R, i = 0, …, n và Pn(z) = 0 có 1 nghiệm
z0 = a + ib thì z0 = a – ib cũng là nghiệm của pt trên.
Soá phöùc
Ví dụ
Giải các phương trình sau
1. x 3  1  2i  x 2   5  2i  x  5  0
Biết pt có 1 nghiệm: x= 2+i
2. x 3  7 x 2  17 x  15  0
Biết pt có 1 nghiệm: x= 2+i
Soá phöùc
5. DẠNG MŨ CỦA SỐ PHỨC
Công thức Euler:
e i  cos  i sin 
z  r  cos   i sin    re
i
Số phức
Dạng mũ của số phức.
Biểu diễn hình học các tập hợp số phức
A   z  C : z  1  i  1



i
B   z  2e :      
4


2
1
2
1
2



i
B   z  Soárephöùc : 0  r  2,      
4

