Mô tả - Truong THPT Chuyen Hoang Le Kha
Download
Report
Transcript Mô tả - Truong THPT Chuyen Hoang Le Kha
Bài toán 1
1 cos x 3 1 cos x 1 cos x 0
2
1 cos x 1 cos x
2
1
2 2cos x 1 cos x 1 cos x
2
3
1 4 32
3
2 3 27
3 1 cos x 1 cos x 0
2
max y 3 cos x 1 x
2
k
Bài toán 2
Cho x, y, z thỏa 3 x 3 y 3 z 1
Chứng minh rằng
9x
9y
9z
3x 3 y 3z
y
z
x
y z
zx
x y
3 3
3 3
3 3
4
Ta cần chứng minh
Từ giả thiết ab + bc +ca = abc và bất đẳng thức cuối,
ta cần chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM
Bài toán 3
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x
+ y + z = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x2 y z y 2 z x z 2 x y
P
yz
zx
xy
P
x2 y z
y2 z x
yz
zx
2
2
4x2 4 y 2 4z 2
1 x 1 y 1 z
2
x2 1 x
x
1 x
4
2
z2 x y
x y
2
2
Nếu không quy mỗi số hạng về hàm theo x, y, z thì
P
x2 y z
y2 z x
yz
zx
2
2
4x2
4 y2
4z2
yz zx x y
2
2
z2 x y
x y
2
4( x y x) 2
2 x y z 2
2( x y z )
2
Bài toán 4
Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện
x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
P
x y y z x z y z
Cách giải nào sai?
Cách 1
P
4
1 y
2
4
1 z
2
2
1 2
2
2 1 y 1 z
4
32
32
2
2
9
2 y z (3 x)
2
Cách 2
P
1
1
x y y z x z y z
2
4
y z x y x z 1 x 1 x
4
4
2
1 x
Bài toán 5
Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
yz
xy
zx
P
x 2 yz y 2 zx z 2 xy
Kĩ thuật Cauchy ngược dấu
1 x 2 yz x 1
x
1
2 x 2 yz
x 2 yz 2 x 2 yz
1
x
1
2 x y z
yz
Bài toán 6
Cho các số thực dương a, b, c có a + b + c = 3.
Chứng minh rằng
a
b
c
3
2
2
2
1 b 1 c 1 a
2
Ta có
a
a (1 b 2 ) ab 2
ab 2
a
2
2
1 b
1 b
1 b2
ab 2
ab
a
a
2b
2
Tương tự cho 2 số hạng còn lại
Chú ý rằng ab bc ca
a b c
3
2
Bài toán 7
Cho a, b, c là ba số thực thỏa x + y + z = 3
Chứng minh rằng
2 x4 2 y 4 2 z 4 3 3
Xét hàm số
PTTT tại t = 1
Ta chứng minh
f (t ) 2 t
2
1
y
t
3
3
4
2
1
2t
t
0
3
3
4
6 3t 4 2t 1 (1)
Với t < -1/2 thì (1) hiển nhiên đúng
Bài toán 7
Ta chứng minh
2
1
2t
t
0
3
3
4
6 3t 4 2t 1 (1)
Với t < -1/2 thì (1) hiển nhiên đúng
2
2
2
1
2
Với t , 1 2 t 1 t 1 t 1 2 0
2
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên (1) được CM
2
3
Vậy ta được P
x y z 3 3
3
3
y
f x =
g x =
2+x 4
2
3
x+
1
3
2
1
x
Bài toán 8
Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi thỏa
4
4
4
mãn a b c 3 . Tìm GTLN của biểu thức
1
1
1
F
4 ab 4 bc 4 ca
Ta có
a 2 b2
1
2
ab
2
2
2
4 ab 8 (a b )
2
2 2
x
(
b
c
)
Đặt
2
2 2
y
(
c
a
) 0 x y z 12
z (a 2 b 2 ) 2
1
Xét hàm số f (t )
, t 0;12
8 t
1
5
t
và
Tiếp tuyến tại t = 4 là y
144 36
1
5
1
1
1
2
t
( t 2) (4 t ).
0,
144
8 t 144 36
8 t
t (0;12)
Bài toán 9
Bài toán 10 (KD – 2012)
Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 +
2xy 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 +
y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
Nhận xét: Giả thiết và kết luận đều có tính đối xứng đối
với 2 biến nên có thể đặt s = x + y, p = x.y
Gt ( x y ) 2 8( x y ) 0 0 x y 8
3 2
2
s 4 p 6 p s
2
A ( x y )3 6 xy 3( x y ) 6
3
( x y ) ( x y ) 2 3( x y ) 6
2
3 2
3
Xét hàm số f ( s ) s s 3s 6,0 s 8
2
3
Bài toán 11 (KB – 2012)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện
x y z 0, x 2 y 2 z 2 1
Tìm GTLN của P x 5 y 5 z 5
1
2
xy ( x y )
x y z 0
2
2
2
2
x y z 1 2 x y 2
3
3
P x y z x y x y
5
5
5
5
5
5
5 xy x 3 + y 3 10 x 2 y 2 x y
5
1
5 3 5
3
( x y ) ( x y ) t t , t x y
2
2
2
4
Cách giải sau lấy từ đáp án của Bộ GD&ĐT
Bài toán 12 (KA – 2012)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện
x y z 0 . Tìm GTNN của biểu thức
P3
x y
3
yz
3
zx
6x 6 y 6z
2
2
2
x + y + z = 0 nên z = - (x + y) và có 2 số không âm hoặc
không dương. Do tính chất đối xứng ta có thể giả sử xy 0
P3
x y
3
x y
3
2 yx
3
2 yx
3
2 x y
12( x 2 y 2 xy )
3
2 x y
12[( x y ) 2 xy ]
2 y x 2 x y
3
x y
2.3
2
12[( x y ) 2 xy ]
2 y x 2 x y
3
3
x y
x y
2.3
2
12[( x y ) 2 xy ]
3 x y
2.3
2 3 x y
2
Đặt t x y 0 xét f (t ) 2.( 3)3t 2 3t
f ' t 2.3( 3) .ln 3 2 3
3t
2 3( 3.( 3)3t ln 3 1) 0
f đồng biến trên [0; +) f(t) f(0) = 2
Mà 30 = 1. Vậy P 30 + 2 = 3, dấu “=”
xảy ra x = y = z = 0. Vậy min P = 3.
Cách giải sau lấy từ đáp án của Bộ GD&ĐT
Bài toán 13 (HSGTN – 2012)
Cho a, b, c laø 3 soá döông thoûa maõn ñieàu kieän a + b + c = 2.
Chöùng minh raèng:
27(ab bc ca abc) 28
Sau đây ta xét cách giải bằng phương pháp dùng hàm số
28
27(ab bc ca abc) 28 A ab bc ca abc
27
A c a b ab 1 c
a b
2
2
(
2
c
)
2
c 2 c
1
c
2
c
c
1 c
4
4
4 A c3 c2 4 f (c), 0 c 2
c 0
f '(c) 3c 2 2c 0
2
c
3
112
28
4A
A
27
27
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c
3
Bài toán 14
Bài toán 15