Transcript Mô tả - Truong THPT Chuyen Hoang Le Kha

Bài toán 1
 1  cos x   3  1  cos x 1  cos x    0
2
1  cos x 1  cos x 
2
1
  2  2cos x 1  cos x 1  cos x 
2
3
1  4  32
   
 3
2  3  27
 3  1  cos x 1  cos x   0
2
 max y  3  cos x  1  x 

2
 k
Bài toán 2
Cho x, y, z thỏa 3 x  3 y  3 z  1
Chứng minh rằng
9x
9y
9z
3x  3 y  3z
 y
 z

x
y z
zx
x y
3 3
3 3
3 3
4
Ta cần chứng minh
Từ giả thiết ab + bc +ca = abc và bất đẳng thức cuối,
ta cần chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM
Bài toán 3
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x
+ y + z = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x2  y  z  y 2  z  x  z 2  x  y 
P


yz
zx
xy
P
x2  y  z 

y2  z  x
 yz
 zx




 2 
 2 
4x2 4 y 2 4z 2



1 x 1 y 1 z
2
x2 1  x

x
1 x
4
2

z2  x  y
 x y


 2 
2
Nếu không quy mỗi số hạng về hàm theo x, y, z thì
P
x2  y  z 

y2  z  x
 yz
 zx




2
2




4x2
4 y2
4z2



yz zx x y
2
2

z2  x  y
 x y


2


4( x  y  x) 2

 2 x  y  z  2
2( x  y  z )
2
Bài toán 4
Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện
x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
P

 x  y  y  z   x  z  y  z 
Cách giải nào sai?
Cách 1
P
4
1  y 
2

4
1  z 
2
2
1 2
2 
 


2 1 y 1 z 


4
32
32
 2

 
2
9
 2  y  z  (3  x)
2
Cách 2
P

1

1
 x  y  y  z   x  z  y  z 
2

4
 y  z   x  y  x  z  1  x 1  x 
4

4
2
1 x
Bài toán 5
Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
yz
xy
zx
P


x  2 yz y  2 zx z  2 xy
Kĩ thuật Cauchy ngược dấu

1 x  2 yz  x 1 
x

 1 


2  x  2 yz 
x  2 yz 2 x  2 yz

1
x
 1 

2 x y  z 
yz
Bài toán 6
Cho các số thực dương a, b, c có a + b + c = 3.
Chứng minh rằng
a
b
c
3



2
2
2
1 b 1 c 1 a
2
Ta có
a
a (1  b 2 )  ab 2
ab 2

a
2
2
1 b
1 b
1  b2
ab 2
ab
a
a
2b
2
Tương tự cho 2 số hạng còn lại
Chú ý rằng ab  bc  ca 
a  b  c
3
2
Bài toán 7
Cho a, b, c là ba số thực thỏa x + y + z = 3
Chứng minh rằng
2  x4  2  y 4  2  z 4  3 3
Xét hàm số
PTTT tại t = 1
Ta chứng minh
f (t )  2  t
2
1
y
t
3
3
4
2
1
2t 
t
0
3
3
4
 6  3t 4  2t  1 (1)
Với t < -1/2 thì (1) hiển nhiên đúng
Bài toán 7
Ta chứng minh
2
1
2t 
t
0
3
3
4
 6  3t 4  2t  1 (1)
Với t < -1/2 thì (1) hiển nhiên đúng
2
2
2
1
2

Với t  , 1  2  t  1   t  1  t  1  2   0
2
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên (1) được CM
2
3
Vậy ta được P 
x  y  z   3 3
3
3
y
f x  =
g x  =
2+x 4
 
2
3
x+
1
3
2
1
x
Bài toán 8
Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi thỏa
4
4
4
mãn a  b  c  3 . Tìm GTLN của biểu thức
1
1
1
F


4  ab 4  bc 4  ca
Ta có
a 2  b2
1
2
ab 


2
2
2
4  ab 8  (a  b )
2
2 2
x

(
b

c
)

Đặt

2
2 2
y

(
c

a
)  0  x  y  z  12

 z  (a 2  b 2 ) 2

1
Xét hàm số f (t ) 
, t   0;12 
8 t
1
5
t
và
Tiếp tuyến tại t = 4 là y 
144 36
1
5 
1
1
 1
2

t 
( t  2) (4  t ).
 0,
144
8  t  144 36 
8 t
t  (0;12)
Bài toán 9
Bài toán 10 (KD – 2012)
Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 +
2xy  32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 +
y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
Nhận xét: Giả thiết và kết luận đều có tính đối xứng đối
với 2 biến nên có thể đặt s = x + y, p = x.y
Gt  ( x  y ) 2  8( x  y )  0  0  x  y  8
3 2
2
s  4 p  6 p   s
2
A  ( x  y )3  6 xy  3( x  y )  6
3
 ( x  y )  ( x  y ) 2  3( x  y )  6
2
3 2
3
Xét hàm số f ( s )  s  s  3s  6,0  s  8
2
3
Bài toán 11 (KB – 2012)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện
x  y  z  0, x 2  y 2  z 2  1
Tìm GTLN của P  x 5  y 5  z 5
1

2
xy  ( x  y ) 

x  y  z  0
2


 2
2
2
 x  y  z  1  2  x  y  2
 3
3
P  x  y  z  x  y  x  y
5
5
5
5
5
5
 5 xy  x 3 + y 3   10 x 2 y 2  x  y 
5
1
5 3 5

3
  ( x  y )  ( x  y )    t  t , t  x  y
2
2
2
4

Cách giải sau lấy từ đáp án của Bộ GD&ĐT
Bài toán 12 (KA – 2012)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện
x  y  z  0 . Tìm GTNN của biểu thức
P3
x y
3
yz
3
zx
 6x  6 y  6z
2
2
2
x + y + z = 0 nên z = - (x + y) và có 2 số không âm hoặc
không dương. Do tính chất đối xứng ta có thể giả sử xy  0
P3
x y
3
x y
3
2 yx
3
2 yx
3
2 x y
 12( x 2  y 2  xy )
3
2 x y
 12[( x  y ) 2  xy ]
2 y  x  2 x y
3
x y
 2.3
2
 12[( x  y ) 2  xy ]
2 y  x  2 x y
3
3
x y
x y
 2.3
2
 12[( x  y ) 2  xy ]
3 x y
 2.3
2 3 x y
2
Đặt t  x  y  0 xét f (t )  2.( 3)3t  2 3t
f '  t   2.3( 3) .ln 3  2 3
3t
 2 3( 3.( 3)3t ln 3  1)  0
 f đồng biến trên [0; +)  f(t)  f(0) = 2
Mà  30 = 1. Vậy P  30 + 2 = 3, dấu “=”
xảy ra  x = y = z = 0. Vậy min P = 3.
Cách giải sau lấy từ đáp án của Bộ GD&ĐT
Bài toán 13 (HSGTN – 2012)
Cho a, b, c laø 3 soá döông thoûa maõn ñieàu kieän a + b + c = 2.
Chöùng minh raèng:
27(ab  bc  ca  abc)  28
Sau đây ta xét cách giải bằng phương pháp dùng hàm số
28
27(ab  bc  ca  abc)  28  A  ab  bc  ca  abc 
27
A  c  a  b  ab 1  c
a  b


2
2
(
2

c
)
2
 c  2  c
1

c

2
c

c

1  c



4
4
 4 A  c3  c2  4  f (c), 0  c  2
c  0
f '(c)  3c 2  2c  0  
2
c 
3

112
28
 4A 
 A
27
27
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c 
3
Bài toán 14
Bài toán 15