Transcript TICH_PHAN_SUY_RONG1

TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Tích phân suy rộng loại 1
(cận vô hạn)
Cho f(x) khả tích trên [a, b],  b  a

a
b
f ( x)dx

b  a
f ( x)dx  lim
gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +)
Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân
hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ.
Giới hạn trên còn được gọi là giá trị của tpsr.
Nhận dạng tpsr loại 1
Nếu f(x) liên tục trên [a, +) hoặc chỉ có hữu
hạn các điểm gián đoạn loại 1 (lim phải, trái

a
tồn tại hữu hạn) trên [a, +) thì
f ( x)dx
là tích phân suy rộng loại 1
VD:

2
dx
2
x  x 1
 sin x
0
x
dx

0
x
dx
sin x

0
x 1
dx
2
x  2x  3
ĐỊNH NGHĨA
b
b
f ( x)dx
 f ( x)dx  alim

 a


f ( x)dx  
a

f ( x)dx  

a
f ( x)dx
Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ khi và chỉ khi
các tp vế phải hội tụ.
(chỉ cần 1 tp vế phải phân kỳ là tp vế trái phân
kỳ, không cần biết tp còn lại)
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ và tính giá trị nếu tính phân hội tụ

1/ I 

0
3/ I  
dx
1  x2

0
cos xdx
2/ I  
 ln x
e
x
Tính chất của tích phân suy rộng
f khả tích trên [a, b],  b  a.
1/ 

a
f ( x) dx và


f ( x)dx
  a
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)
2/

a
f ( x)dx
cùng bản chất

và
a
 f ( x)dx
  0
Tính chất của tích phân suy rộng
3/ *

a

f ( x)dx và

a

* a
f
 g  dx

a

a
f
 g  dx
hội tụ
hội tụ
f ( x)dx hội tụ và

g ( x)dx

a
g ( x)dx phân kỳ
phân kỳ
Công thức Newton-Leibnitz
f khả tích trên [a, b],  b  a, F là nguyên hàm
của f trên [a, +), khi đó

a
f ( x)dx 

F ( x) a
 F ()  F (a )
trong đó F (  )  lim F ( x)
x 
Lưu ý: các phương pháp tính tích phân xác
định vẫn sử dụng được cho tp suy rộng.
Ví dụ
1/ I  

3/ I  

1
0
x 1
dx
2
x( x  x  1)
5/ I  
7/I 

4
1
3
x 1  x2
4/ I   e
3 x
0
x2
x  x 2  4 x  3
xdx
 x  1
dx

x
x.e dx

2/ I  

2
6/ I  

0
cos xdx
dx
e  e
x
x
x2  1
x  x  1  x 2  1
8/ I  

9/ I  

dx
2
2
x

1
x
  1
1
10 / I  

0
11 / I  

1
arctan x
x

2
 1
3
dx

2 1/ x 3/ x2
e e
dx
3
x
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM
Tiêu chuẩn so sánh 1:
Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b],  b  a
Nếu

a

a
f ( x)  kg ( x), x    a
g ( x)dx hội tụ thì

a
f ( x)dx phân kỳ thì
f ( x)dx hội tụ

a
g ( x)dx phân kỳ
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b],  b  a
Đặt
f ( x)
k  lim
x  g ( x)
• 0 k  
•k=0
•k=
a

a

a

f ( x)dx, 

a
g ( x)dx
g ( x)dx hội tụ  

a
g ( x)dx phân kỳ  

a
Cùng hội tụ
hoặc phân kỳ
f ( x)dx hội tụ
f ( x)dx phân kỳ
Tích phân cơ bản
 dx
a
x

với
a0
Sự hội tụ tuyệt đối
(hàm có dấu tùy ý)
Cho f(x) khả tích trên [a, b],  b  a, nếu
hội tụ thì

a
f hội tụ. Khi đó ta nói
hội tụ tuyệt đối.
a

a

f
f
Nguyên tắc khảo sát sự hội tụ
1. Kiểm tra loại tpsr ( tính liên tục của hàm f(x) lấy tp).
2. Nếu hàm f(x) liên tục, cố gắng so sánh với tp cơ
bản (thường dùng tiêu chuẩn so sánh 2, bằng
phép thay tương đương VCB và VCL).
3. Nếu f có vài điểm gián đoạn loại 1, hoặc thay đổi
dấu trên 1 đoạn nhỏ, ngắt bỏ đoạn có chứa các
điểm gián đoạn hoặc thay đổi dấu, trên đoạn còn
lại làm giống bước 2.
4. Nếu f(x) đổi dấu xét

a
f ( x) dx
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ:
1/ I  

1
3/ I  

1
5/ I  
x 1
dx
3
x  3x  2
1 

x  cos  1 dx
x 

 cos x
1
x
2
dx
2/ I  

0
4/ I  
  1
1
6/ I  
x 1
dx
3
x  3x  2
1
  sin  dx
x
x
 cos x
1
x
dx
Tìm tất cả các giá trị của  để tp sau hội tụ.
1/ I 


4  x 
 3
0
2/ I  

1
3/ I  
2x  3

1
x 1
4
dx
1
 1  1
 x  ln 1  x   . x dx



3 1
2
 2


x
x e x  e x


dx

Tích phân cần nhớ
I 
 cos ax
1

x
dx
J 
 sin ax
1

x
dx
Với mọi  > 0, I và J luôn luôn hội tụ
Phương pháp khảo sát:
1. Nếu  > 1 : dùng sự hội tụ tuyệt đối
(chận bỏ cos, sin)
2. Nếu 0<  1: dùng tp từng phần với u=1/x
TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2
Điểm kỳ dị:
Cho f(x) xác định trên [a, b] \ {x0}. Nếu
lim f ( x)  
x  x0
ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b]
Tích phân suy rộng loại 2 là
b
a f ( x)dx
với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a, b]
Định nghĩa.
Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi >0 đủ nhỏ,
kỳ dị tại b
b
a


 0 a
f ( x)dx  lim
Nếu f kỳ dị tại a
b 
b
a
b
f ( x)dx

  0 a  
f ( x)dx  lim
Nếu giới hạn hữu hạn:
Ngược lại: phân kỳ.
f ( x)dx
b
a f ( x)dx hội tụ
Nếu f kỳ dị tại a và b
b
c
b
a f ( x)dx  a f ( x)dx  c
f ( x)dx
Nếu f kỳ dị tại x0  (a, b)
b
x0
a f ( x)dx  a
b
f ( x)dx   f ( x)dx
x0
(vế trái hội tụ  các tp vế phải đều hội tụ)
Công thức Newton-Leibnitz
Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi  > 0 đủ nhỏ,
kỳ dị tại b, F(x) là nguyên hàm của f(x).
b
a f ( x)dx  F (b)  F (a)
Với
F (b)  lim F ( x)
x b
Lưu ý: các pp đổi biến số và tp từng phần vẫn
dùng như tp xác định.
Ví dụ
1/ I  
dx
1
0
1  x2
0
3/ I  
2/ I  
1 ln x
0
x
x
4/ I  
dx
4
1
2
2 x
0
2 x
5/ I  
1 ln x
dx
dx
x
x x 2
e1/ x
6 / I   3 dx
1 x
0
dx
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM
Tiêu chuẩn so sánh 1:
Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b - ],
 >0, kỳ dị tại b
Nếu
b
f ( x)  kg ( x), x, a  x  b
a g ( x)dx
b
a
hội tụ thì
b
a f ( x)dx
f ( x)dx phân kỳ thì
b
a
hội tụ
g ( x)dx phân kỳ
TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Cho f(x), g(x) như tiêu chuẩn so sánh 1
Đặt
f ( x)
k  lim
x b g ( x)
• 0 k  
b
(giới hạn tại điểm kỳ dị)
b
a f ( x)dx, a g ( x)dx
Cùng hội tụ hoặc phân kỳ
Tích phân cơ bản
I  
b
a
b
dx
dx
,
J




a ( x  a )
(b  x )
Hội tụ khi và chỉ khi  < 1
kỳ dị tại b
kỳ dị tại a
Sự hội tụ tuyệt đối
(hàm có dấu tùy ý)
Cho f(x) khả tích trên [a, b - ],   0, nếu
hội tụ thì
b
a
f hội tụ. Khi đó ta nói
hội tụ tuyệt đối.
b
a
f
b
a
f
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ:
1
1/
0
dx
x 1
3/ I  
 /2
dx
sin x cos x
0
5/

x
2/ I  
dx
0 sin x
1
1 3cos5 x  2
0
x
e
7/I 
2
1
1

1
dx
4/
0 e x  ln x
6/ I  
dx
1 x
0
arctan  x  1
x  x

dx
xx 1
1
8/ I  

0
dx
x


x 1

8/
0
2

x 1  cos 2  dx

x 
10 / I  

0

arctan x
dx
3
x x
9/ I 

0


x3/ 2  1
e 1
x
11 / I  

0
x
dx
arctan x
dx

x x