Transcript GiOI_HAN_HAM_SO_phan_2_

GiỚI HẠN HÀM SỐ
(phần 2)
Vô cùng bé – vô cùng lớn
ĐỊNH NGHĨA
• (x) là vô cùng bé khi x  xo nếu giá trị của
(x) rất bé khi x gần xo.
 lim  ( x )  0
x  x0
• (x) là vô cùng lớn khi x  xo nếu giá trị của
|(x)| rất lớn khi x gần xo.
 lim  ( x )  
x  x0
TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG BÉ
1. Tổng, hiệu, tích các VCB là VCB.
2. c  0, (x) là VCB  c(x) là VCB.
3. lim f ( x )  a  f ( x )  a   ( x ),
x  x0
với (x) là VCB khi x  xo.
SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ
(x) và (x) là 2 VCB khi x  xo, đặt
 (x)
K  lim
x  x0  ( x )
1. K=0, (x) là VCB bậc cao hơn (x),
ký hiệu: (x) = o((x)) .
2. K 0, : (x) và (x) đồng bậc.
K= 1: (x) và (x) tương đương: (x) ~ (x)
SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ
(x) và (x) là 2 VCB khi x  xo, nếu tồn tại n>0
sao cho:
 (x)
K  lim
 0,  
n
x  x0   ( x ) 
(tức là (x) đồng bậc với [(x)]n )
Thì (x) được gọi là VCB bậc n đối với (x)
VÍ DỤ

 ( x )  3 x 3  2 x 4
1/ 

 ( x )  x
 ( x )  ln(cos x )
2/
 ( x )  x
Các vcb tương đương cơ bản
Khi x 0
sin x
x
1  cos x
tan x
x2
2
x
arcsin x
arctan x
x
x
1 2
sinh ~ x , cosh  1 ~ x
2
ln(1  x ) x
e 1 x
x
a  1 x ln a
x

(1  x )  1  x
Nguyên tắc thay tương đương VCB
1. Chỉ được thay tương đương qua tích các VCB
 ( x ) 1 ( x ),  ( x )
1 ( x ) khi x  x0
  ( x )   ( x ) 1 ( x )  1 ( x )
2. Nguyên tắc ngắt bỏ VCB bậc cao: tổng các VCB
khác cấp tương đương với VCB bậc thấp nhất
3. (x) ~ 1(x), khi xxo, lim f ( x )  a  0
x  x0
f (x)   (x)
a   (x)
a  1 ( x )
Nguyên tắc thay tương đương VCB
VD: khi x  0, tìm 1 tương đương với axp
x 2  2 x 3  3x
sin x 3  2 x 2
( x  1)  ln( x  1)
e
(e x  1)  sin x

3
2x
e
x2

1  2 x 5  1 (e x  1)  tan 3 x
4. Nguyên tắc thay tương đương trong tính giới hạn
 ( x ) 1 ( x ),  ( x )
1 ( x ) khi x  x0
 (x)
1 ( x )
 lim
 lim
x  x0  ( x )
x  x0  ( x )
1
VD:
sin x  3x 2
1/ lim
x 0 ln(1  x )
x2
(e  1)arctan x
2 / lim
x 0
ln(cos x )
Nguyên tắc thay tương đương VCB
5. Phép thay qua hiệu 2 VCB
 ( x ) 1 ( x ),  ( x )

 ( x )   ( x )
1 ( x )
khi x  x0
  ( x )   ( x ) 1 ( x )  1 ( x )
(chỉ thay tương đương qua hiệu nếu 2
VCB ban đầu không tương đương)
Cách thực hiện
Thay  và  qua các tương đương trung gian
(chẳng hạn xp khi x0), đến khi không còn thay
được nữa, nếu hiệu triệt tiêu thì  và  là 2 VCB
tương đương  không thay qua hiệu trong
trường hợp này
VÍ DỤ
1/ arctan x  sin x 2
2 / tan x  sin x
3 / (e x  1)( x  1)  sin x
4 / x  ln( x 2  1)  sin x
Lưu ý
1. Không chuyển vế trong tương đương cơ bản.
2. Không thay tương đương qua hàm số ngoại
trừ hàm lũy thừa dương(chỉ thay tương
đương cho VCB, VCL.)
3. Tính triệt tiêu trong tương đương tổng hiệu
chỉ xét cho từng cặp hàm
p
Tìm các hằng số a và p sao cho  ( x ) ax , khi x  0
1 /  ( x )  sin( x 2  tan 2 x )
2 /  ( x )   x  1 sin x  tan x
3 /  ( x )  sin x  tan 2 x
4 /  ( x )  ln 1  sin 3 (e x  1) 
5 /  (x)  x  2  2
6 /   x   1  x  1  2x
3
2
7 /   x   es inx  e t anx
2
So sánh bậc các VCB
 ( x )  e x sin( x 2  2 x )
1/ 
khi x → 0
3
2
  ( x )  1  3x  1
 ( x )  arctan x
2/
x ( x 1)

(
x
)

e
1

1
x
3 /  (x) 
,  (x)  x
ln x
e
khi x → 0
khi x → +
Tính giới hạn
e

1/ lim
x 0
x tan x
e
3x 2

x 3  sin 2 x
ln(1  x) 
 1
2 / lim 

x0  x( x  1)
x2 
1
1

3 / lim  2  2 
x0  sin x
x 
cos x t anx  1
4 / lim
x0 x  tan x
Tính chất vô cùng lớn
1. Tích các VCL là VCL.
2. c  0, (x) là VCL  c(x) là VCL.
3. f(x) bị chận trong lân cận xo,
(x) là VC khi x  xo
 (x) + f(x) là VCL khi x  xo.
SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG LỚN
(x) và (x) là 2 VCL khi x  xo, đặt
 (x)
K  lim
x  x0  ( x )
1. K= + , (x) là VCB bậc cao hơn (x).
2. K 0, : (x) và (x) đồng bậc.
K= 1: (x) và (x) tương đương: (x) ~ (x)
Nguyên tắc thay thế VCL
1. Chỉ được thay tương đương qua tích các VCL
2. Nguyên tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp: tổng các VCL
khác cấp tương đương với VCL bậc cao nhất
3. (x) ~ 1(x), khi xxo, lim f ( x )  a  0
f (x)   (x)
a   (x)
x  x0
a  1 ( x )
4. Nguyên tắc thay qua tổng hiệu giống VCB.
5. f(x) bị chận trong lân cận xo, (x) là VCL
khi x  xo  (x) + f(x) (x) khi x  xo.
VÍ DỤ
1. Khi x  +, m > n >0:
xm là VCL bậc cao hơn xn.
2. Khi x  +, p > 0,  > 0, a > 1:
ln p x
x
ax
3. Khi x  +,ln x  sin x
ln x
Tìm một tương đương với axp khi x → 
x  ln x
2 / x
e 2
2
1 / x 3  x12  x 5  1
5
3


3 / sin x  ln 1  e2 x  arctan x 2
Tính các giới hạn sau:
xe x /2
1/ lim
x x  e x
x sinh x
2 / lim 2
x  x  x  1
Bài tập tổng hợp
Tính các giới hạn sau:
sin x  cos x
1/ lim
x0 sin 2 x  cos3 x
1 
1
2 / lim   x 
x0 x
e 1 

1 
1
2 / lim   x 
x x
e 1 

 1  4 x 
4 / lim 
4
x0
e

5 / lim
x  
2
1  cos 2 x
  2x
1/ x
x 1 1
6 / lim
x 2
x
ln  
2
3
1/ x



7 / lim
x 
8 / lim
ln  x 2  3 x  2 
ln  4 x  x  x  1
3
2
ln 1  x  e x 
x  ex
x 
x 1
x
1
9 / lim
x 0
x 1
e
Về tính liên tục của hàm số
1. Cho hàm f(x) xác định tại xo, f liên tục tại xo nếu
lim f ( x )  f ( x0 )
x  x0
Ngược lại, f được gọi là gián đoạn tại xo.
2. f liên tục phải (trái) tại xo nếu: lim f ( x )  f ( x0 )
x  x0
f liên tục tại xo  f liên tục phải và trái tại xo.
3. Hàm số f liên tục trên [a, b]

f liên tục tại mọi x nằm trong (a, b),
f liên tục phải tại a, liên tục trái tại b.