Transcript phân bố cực và quan sát trạng thái

PHÂN BỐ CỰC
HỒI TIẾP TRẠNG THÁI
Cho hệ thống bậc n
x  Ax  bu
Gỉa sử tất cả các biến trạng thái đều đo được, ta dùng luật điều khiển tuyến
tính dạng
u(t) = -k1x1 - k2x2 -…- knxn = - kx
k là ma trận hằng số, độ lợi hồi tiếp
Phương trình trạng thái hệ kín là
Đa thức đặc trưng hệ kín
x  Ax  bkx  ( A  bk ) x
det(sI-A+bk)
Chọn các giá trị của k để các nghiệm cực của đa thức nằm ở các vị trí phù
hợp thuộc nửa mặt phẳng trái, lúc đó hệ thống sẽ ổn định, x(t) tiến về 0 bất
kỳ giá trị ban đầu x0. Ta gọi là hệ thống điều chỉnh
Trong hệ thống điều chỉnh tín hiệu đặt là r = 0
PHÂN BỐ CỰC
Ma trận trạng thái dạng đồng hành thứ nhất
Gỉa sử các cực mong muốn là 1 , 2,, …n
Ta có |sI-A+bk| = (s- 1)(s- 2)…(s- n) = 0
(1)
Nếu chọn ma trận A dạng đồng hành thứ nhất
s
0

sI  A  bk  ::
0

0
0 
0 
 
  : k1
0 
 
1 
k2
..
0
0
..
s
0
..
::
0
::
0
::
..
0
0
..
k n 1
0  0
0  0
 
::   ::
0  0

s   a0
 s
 0

k n    ::
 0

a0  k1
1
0
::
0
::
1
::
::
::
0
 a1
0
 a2
..
..

0 

:: 
0 

 an 1 
..
0
1
0
s
1
..
::
::
::
0
0
..
a1  k 2
a2  k 3
..


0

::


1

s  an 1  k n 
0
PHÂN BỐ CỰC
Ma trận trạng thái dạng đồng hành thứ nhất
Định thức ma trận:
s n  (an1  kn ) s n1  (an2  kn1 ) s n2  ..  (a1  k2 ) s  (a0  k1 )  0, (2)
Cân bằng (1) và (2) ta được các giá trị của ki
Trường hợp ma trận A không phải dạng chính tắc điều khiển ta phải giải n
phương trình bậc nhất để tìm k
Trường hợp u là vectơ p thành phần thì k là ma trận p hàng n cột, do
đó có p tập hợp giá trị k để chọn lựa
1 0  0 
Ví dụ :
0
x   0

 1

0
2
1   0  u
  
3
 
1

Các cực mong muốn là : -3, -4, -5
Phương trình đặc trưng mong muốn s3 +12s2+47s+60 = 0
K thỏa các phương trình k1+1=60, k2-2= 47, k3-3 = 12
k1 = 59, k2 = 49, k3 =15
PHÂN BỐ CỰC
Ví dụ:
PHÂN BỐ CỰC
Ví dụ:
x1  x2
Hệ thống có phương trình trạng thái
x 2  u
y  x1
0
A
0
Phương trình trạng thái hệ kín
Đa thức đặc trưng hệ kín
1
0 
,
b

1 
0

 
 0
x  ( A  bk ) x  
 k1
s2 + k 2 s + k 1 = 0
Chọn các cực hệ kín là – 4  j4, k thỏa phương trình
s2 + k2 s + k1 = s2 + 8s +32
Suy ra k1=32, k2=8
1 
x

 k2 
PHÂN BỐ CỰC
Công thức Ackermann
1/ Điều kiện cần và đủ để tìm được k là hệ thống phải điều khiển được,
nghĩa là ma trận U=[b Ab…An-1b] có hạng n
2/ Tính đa thức đặc trưng mong muốn
(s) = sn + a1 sn-1 +..+ an-1 s + an
3/ Tính k bằng công thức k = [0 0…0 1]U-1 (A)
Công thức trên thuận tiện khi giải bằng máy tính vì tính toán nhiều trên ma trận
Ví dụ:
0
A
0
1
0 
,b   
0

1 
Đa thức đặc trưng mong muốn (s) = s2+8s+32
0
0 1 
U  b Ab   

1 0 
0 1 
1
U 

1 0 
 ( A)  
1
1  0

0
 1
1
0

8
1
0


32

0
8 
32

k  0
1U 1 ( A)  0
 32
8
0
1
1
1
1

32
0
0


1  32

0
 0
0
1

8 
32

PHÂN BỐ CỰC
Dùng MATLAB
>> A = [0 1;0 0];
1.2
1
>> b = [0;1];
0.8
>> p = [-4+i*4 -4-i*4];
>> k = place (A, b, p)
0.6
k=
0.4
32.0000 8.0000
0.2
>> ka = acker (A, b, p)
0
ka =
32
8
-0.2
0
>> ptttk = ss (A-b*k, [0 ; 0], [1 0], 0);
>> t = 0 : 0.1 : 10;
>> u = zeros (size (t));
>> [y,t] = lsim (ptttk, u, t, [1;1]);
>> plot (t, y)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
QUAN SÁT TRẠNG THÁI
x  Ax  bu, y  cx
Cho hệ thống
Trường hợp không đo được các biến trạng thái ta phải dùng ước lượng của biến
trạng thái
u(t )  kxˆ (t )
Các biến trạng thái ước lượng thỏa phương trình
xˆ  Axˆ  bu, yˆ  cxˆ
Nếu biết chính xác x(0) và cho
xˆ (0)  x(0)
thì chắc chắn ước lượng đúng
Tuy nhiên không thể biết chính xác x(0)
Đặt
xˆ  Axˆ  bu  m( y (t )  yˆ (t ))
~
x (t )  x (t )  xˆ (t )
Sai số ước lượng
~
x (t )  x (t )  xˆ (t )
QUAN SÁT TRẠNG THÁI
~
x (t )  ( A  mc ) ~
x (t )
Suy ra
Nếu chọn vectơ m phù hợp thì ma trận A-mc sẽ có nghiệm riêng bên mặt
phẳng trái, do đó sai lệch ước lượng sẽ tiến về 0
det(sI-A+mc)= đa thức đặc trưng mong muốn = (s)
Định thức ma trận và ma trận chuyển vị giống nhau, nên
det(sI-AT+cTmT)= (s)
Như vậy ta có thể dùng
công thức Ackermann để
tính Mt
mt=acker(A’, c’, p)
PHÂN BỐ CỰC VÀ QUAN SÁT
TRẠNG THÁI
Ghép chung phân bố cực và quan sát trạng thái
x  Ax  bu  Ax  bkxˆ
xˆ  Axˆ  bu  m( y  yˆ )
 Axˆ  bkxˆ  mc ( x  xˆ )
Kết hợp hai phương trình
 x   A
 xˆ   mc
  
 bk
  x
A  bk  mc   xˆ 
Phương trình đặc trưng hệ kín
 sI  A
det 
  mc
Cộng cột 1 cuả ma trận với cột thứ
hai định thức không thay đổi
bk

sI  A  bk  mc 

 sI  A  bk
det 
 sI  A  bk
bk

0
sI  A  bk  mc 
PHÂN BỐ CỰC VÀ QUAN SÁT
TRẠNG THÁI
Lấy hàng 2 trừ hàng 1
 sI  A  bk
det 
0

bk

0
sI  A  mc 
Cuối cùng phương trình đặc trưng hệ kín là
det(sI-A+bk) det(sI-A+mc)=0
Điều này có nghĩa cực hệ kín gồm hai tập riêng rẽ từ phân bố cực và
quan sát, đây là đặc tính phân ly của hệ thống
Ví dụ:
0
A
0
1
0 
,
b

1 , c  1
0

 
0
Chọn cực điều khiển là -4j4, cực quan sát là –10, -10
Đa thức đặc trưng bộ quan sát: (s) = (s+10)2 = s2 +20s+100

U 1  cT
AT cT

1
1

0
0
1

PHÂN BỐ CỰC VÀ QUAN SÁT
TRẠNG THÁI
0
(A )  
1
T
0  0

0
 1
m
T
 0
0
0
 20
0

1
100
1
 20
0
1
 100
0

0
0 
 20
100

0 100

1
  20
100
Phần trước ta đã tính k= [ 32 8]
Phương trình trạng thái hệ kín
 x1   0
 x   0
 2  
 xˆ1   20
 xˆ  100
 2 
y  x1
1
0
0
 32
0
 20
0
 132
0   x1 
 8  x 2 
 
1   xˆ1 
 8  xˆ 2 
0 
100

QUAN SÁT GIẢM CẤP
Thay vì ước lượng x(t) từ y(t) ta có thể giả sử đã đo được thành phần x1(t)
=y(t) và phải ước lượng thành phần còn lại xe(t)
 x1 (t )  a11
 x (t )   a
 e
  e1
x 
y  1 0 1 
 xe 
Phương trình động học của xe
Phương trình động học của x1
a1e   x1   b1 
 x   b u
Aee 
 e   e 
xe  Aee xe  ae1 x1  beu
 Aee xe  ae1 y  beu
x1  y
  a11 y  a1e xe  b1u
y
  a11 y  b1u  a1e xe
Áp dụng phương pháp ước lượng như phần trước
xˆe  Aee xˆe  ae1 y  beu  m( y  a11 y  b1u  a1e xˆe )
~
xe  xe  xˆe
Đặt sai số ước lượng
~
xe  ( Aee  ma1e ) ~
xe
Phương trình trạng thái của sai số ước lượng là:
Chọn các cực phù hợp để sai số ước lượng tiến nhanh về 0
QUAN SÁT GIẢM CẤP
Ví dụ
 x  0 1  x 
0 
 x   0 0  x   1u
 2   
 2 
 x1 
y  1 0 
 x2 
1
Cho hệ thống
1
Đo được y = x1, phải ước lượng x2
Phân khối ma trận
a11 a1e 
0 1 b1  0

,    


Aee  0 0 be  1
a
 e1
Phương trình đặc trưng của ước lượng s- (0 - m) = 0
Chọn cực là 10 suy ra m = 10
Luật điều khiển phân bố cực là: u  k1x1  k2 xˆ2  32x1  8xˆ2
Trong biểu thức của ước lượng ta có số hạng đạo hàm của y, để tránh
điều này, đặt biến mới là
,
Phương trình trạng thái mới là :
xe  xˆe  my
xe,  ( Aee  ma1e ) xˆe  (ae1  ma11 ) y  (be  mb1 )u
xˆe  xe,  my
ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍN
Cho hẽ bậc hai
 2n
s ( s  2n )
_
Phương trình trạng thái

,b 
 2n 
1
 0 
 2 , c  1
 n
0
n2
s 2  2n  n2
Hàm truyền hệ kín
Cực hệ kín:
0
A
0
s1, 2  n  jn 1   2    j
Đáp ứng với hàm nấc:
y (t )  1 
e t
1 
2
sin(t  cos 1  ),0    1
 gọi là tỷ số đệm, n là tần số dao động tự nhiên
ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍN
Đồ thị đáp ứng theo , 0 <= <=1
ymax  1  e
 ảnh hưởng đáp ứng hệ kín, khi 0 < < 1 ,vọt lố tối đa là
Thời điểm xảy ra vọt lố đầu tiên là
t max 

n 1  
2


1
2
ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍN
Khi  > 0.7, độ vọt lố nhỏ hơn 5%
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Thời gian xác lập ts là thời gian để y đạt từ 0.95 đến 1.05 trị xác lập.
3.2
, 0.3    0.7
n
4.5
ts 
, 0 .7    1
n
ts 
1
ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍN
Trường hợp cực thật
Hàm truyền hệ kín:
Đáp ứng nấc:
y (t )  1 
Nếu hai cực trùng nhau
Thời gian xác lập càng nhỏ
khi cực càng âm
ab
( s  a )( s  b)
b
a
e  at 
e bt
ba
a b
y (t )  1  (1  at )e  at
ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍN
Trường hợp hệ bậc ba
Ví dụ: xét hệ có hàm truyền hở, hồi tiếp đơn vị
1.5 *107 K
1.5 *107 K
G(s) 

2
s ( s  3408,3s  1.204.000) s ( s  400,26)( s  3008)
Hàm truyền vòng kín:
1.5 *107 K
Gk ( s )  3
s  3408,3s 2  1.204.000s  1.5 *107 K
Nghiệm phương trình đặc trưng thay đổi theo K
K=7,248 s1 = -156,21 s2 = -230,33 s3 = -3021,8
K=14.5 s1 = -186,53 +j 192 s2= - 186,53- j 192 s3 = - 3035,2
K=181.2 s1 = -57,49 +j906,6 s2= - 57,49 –j 906,6 s3 = -3293,3
K=273.7: s1= j 1097.3 s2=-j 1097.3, s3=-3408.3
Ba trường hợp đầu , nghiệm s3 gấp khoảng 10 lần hai nghiệm kia (phần thực),
đáp ứng chủ yếu là do s1 và s2, các cực âm gần trục ảo hơn gọi là cực chủ yếu
ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍN
Trường hợp hệ bậc ba
Nhìn chung thêm một cực âm vào phương trình đặc trưng hệ kín làm
giảm vọt lố và thời gian xác lập khi cực đó càng gần trục ảo
Nhìn chung thêm một cực âm vào hàm truyền hệ hở làm tăng vọt lố và
thời gian xác lập khi cực đó càng gần trục ảo
Nhìn chung thêm một zero âm vào phương trình đặc trưng hệ kín làm
tăng vọt lố và giảm thời gian xác lập khi zero đó càng gần trục ảo
Nhìn chung thêm một zero âm vào hàm truyền hệ hở làm giảm vọt lố
và giảm thời gian xác lập khi zero đó càng gần trục ảo
PHÂN BỐ CỰC VỚI TÍN HIỆU VÀO
Cho hệ thống
x (t )  Ax(t )  bu(t )
y(t )  cx(t )
Dùng điều khiển đặt cực u(t) = - kx(t) để y(t) → r, t → ∞ với r = hằng số
Khi y đạt giá trị r thì x đạt giá trị xác lập xs. y = cxs = r
Ta có thể coi như vấn đề điều khiển là duy trì hệ thống ở giá trị xs ứng
với luật điều khiển là us
~
Đặt các biến mới
u (t )  u (t )  us
~x (t )  x(t )  x
s
~y (t )  y(t )  y
s
Suy ra
~x (t )  x (t )  Ax  b(u~  u )
s
 A( ~x  x )  b(u~  u )
s
s
 A~x  bu~  Axs  bus
Mà
0  Axs  bus
Nên
~x (t )  A~x  bu~
u~  k~x
u(t )  us  k ( x(t )  xs )
u(t )  kx(t )  us  kxs
PHÂN BỐ CỰC VỚI TÍN HIỆU VÀO
Tính us+kxs và u(t)
0  Axs  bus  Axs  bkxs  bkxs  bus
 ( A  bk) xs  b(us  kxs )
xs  ( A  bk) 1 b(u s  kxs )
r  cxs  c( A  bk) 1 b(us  kxs )
us  kxs  [c( A  bk) 1 b]1 r  Nr
u (t )  kx(t )  Nr
PHÂN BỐ CỰC VỚI TÍN HIỆU VÀO
Ví dụ:
0 1
0
A
,
b


1, c  1
0
0


 
k  32 8
0, r  r1
 0 1  0 
1 0 1


N  [1 0[ 

32
8
]
]





0 0 1
1
1
 1
1  0 1
 0
  1



 [1 0[ 
]


[
1
0
32 ]
 1 

32

8



  
 0 
1
 1
     32
 32 
u (t )  32x1 8 x2  32r1
Phương trình trạng thái hệ kín
x  ( A  bk) x  bNr
y  cx
PHÂN BỐ CỰC VỚI TÍN HIỆU VÀO
Dùng Matlab vẽ đáp ứng
>> a=[0 1;0 0];
>> b=[0;1];
>> c=[1 0];
>> k=[32 8];
>> N=32;
>> r=3;
>> t=0:0.1:10;
>> u=r*ones(size(t));
>> htk=ss(a - b*k, b*N, c, 0);
>> x0=[1; 1];
>> [y, t, x]=lsim (htk, u, t, x0);
>> plot(t,y)
Sai số xác lập bằng 0
PHÂN BỐ CỰC VỚI TÍN HIỆU VÀO
THAY ĐỔI
Với tín hiệu vào là hàm dốc
10
>> u=t;
9
>> [y, t, x]=lsim (htk, u, t, x0);
8
>> plot (t, y)
>> grid on; hold on;
>> plot (t, t)
7
6
5
Có sai số xác lập giữa r và t
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PHÂN BỐ CỰC VỚI TÁC ĐỘNG NHIỄU
Hệ thống đã khảo sát có sơ đồ khối sau:
r
u
N
_
+ v
+ w
1/s
1/s
y(t)
_
k2
k1
x2
x1
v và w là nhiễu tác động vào hệ thống
Y ( s) 
Sai lệch:
32R( s )  V ( s )  sW ( s )
s 2  8s  32
R( s)( s 2  8s)  V ( s)  sW ( s )
E ( s )  Y ( s )  R( s ) 
s 2  8s  32
PHÂN BỐ CỰC VỚI TÁC ĐỘNG NHIỄU
2
R
(
s
)(
s
 8s )
- Đối với tín hiệu vào r(t) e()  lim{s *
}, s  0
2
s  8s  32
r(t) =1(t), e() = 0
r(t) = t, e() = 0.25
- Đối với nhiễu v(t)
e()  lim{s *
V (s)
}, s  0
2
s  8s  32
v(t) = 1(t), e() = 1/32
- Đối với nhiễu w(t)
w(t) = 1(t), e() = 0
e()  lim{s *
sW ( s )
}, s  0
2
s  8s  32
Kết luận:
-sai số đối với tác động vào r(t) tùy thuộc loại tín hiệu và hàm truyền hở hệ
thống, thể hiện ở số tích phân (số cực ở gốc zero)
-Sai số đối với nhiễu phụ thuộc hàm truyền hở hệ thống và vị trí tác động của
nhiễu
THÊM KHÂU TÍCH PHÂN VÀO HÀM TRUYỀN
Để giảm sai số ta cần phải đưa thêm khâu tích phân vào hệ thống
Sai số r(t) – y(t) sẽ được tích phân để tạo u(t) khác không
Biến trạng thái là x, n*1. Đưa thêm biến mới là xn+1 vào hệ thống, ngoài ra
hệ thống bị tác động của nhiễu n(t)
x (t )  Ax (t )  Bu (t )  En(t )
x n 1 (t )  r (t )  y (t )
y (t )  Cx (t )
u (t )   Kx (t )  k n 1 xn 1
  Kx (t )  k n 1  ( r  y ) dt
x  Ax  BKx  Bk n 1 xn 1  En
x n 1  Cx  r
y (t )  Cx
Phương trình trạng thái
 x   A
 x    C
 n 1  
y  C
0   x   B  0   E 

u
r
n
0  xn 1   0  1  0 
 x 
0

 xn 1 
THÊM KHÂU TÍCH PHÂN VÀO HÀM TRUYỀN
Ta tính phân bố cực cho hệ thống bậc n+1
 A
A
 C
Tìm K=[k1 k2…kn] và kn+1
0
B
,B   
0

0
Phương trình trạng thái hệ kín
 x   A  BK
 x     C
 n 1  
 x 
y  C 0

 xn 1 
 Bkn 1   x  0  E 

r
n
0   xn 1  1  0 
THÊM KHÂU TÍCH PHÂN VÀO HÀM TRUYỀN
Ví dụ
x
0 1 x
0
0
 1 
 x   0
 2 
y  1
 1   
 

u

 x  1 
1  n
0
 2   
 
x 
0 1 
 x2 
Thêm khâu tích phân
 x1   0
 x    0
 2 

 x3 
 
 1
y  1
0
0  x1  0
0 
0   x 2   1  u   1  n
   
 
0 0


 x3 
 
0 

0 

 x1 
0 x2 
 

 x3 

1
0
x3  r  y
Chọn cực – 4  j4 và –2, suy ra k1= 48, k2 = 10, k3 = - 64
THÊM KHÂU TÍCH PHÂN VÀO HÀM TRUYỀN
Ví dụ
1
>> a = [0 1 0; 0 0 0; -1 0 0];
>> b = [0 ; 1; 0];
>> p = [-4+i*4 -4-i*4 -2];
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
>> K = place (a, b, p);
>> c = [1 0 0];
0.4
0.3
0.2
Tính đáp ứng với tín hiệu vào
0.1
0
>> pthk = ss (a-b*K, [0; 0; 1], c, 0)
>> t = 0:0.1:10;
>> r = ones (size (t));
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
8
9
10
0.02
0.018
0.016
>> [y, t, x] = lsim (pthk, r, t, [0 0 0]);
>> plot (t, y)
0.014
0.012
0.01
Tính đáp ứng với nhiễu
>> pthk = ss (a-b*K, [0; 1; 0], c, 0)
0.008
0.006
0.004
>> [y, t, x] = lsim (pthk, r, t, [0 0 0]);
>> plot (t, y)
0.002
0
0
1
2
3
4
5
6
THÊM KHÂU TÍCH PHÂN VÀO HÀM TRUYỀN