Transcript 3.osa

Automaatjuhtimissüsteemid
ISS0021 2-2-0 E 6 EAP
Modaaljuhtimine olekuruumis
Ennu Rüstern
[email protected], TTÜ U02-316, tel. 6202104
TTÜ automaatikainstituut
Automaatjuhtimise ja süsteemianalüüsi õppetool
Modaaljuhtimine olekuruumis
Teooria (SISO süsteemide näitel):
 Olekuregulaatori arvutus (eeldus – juhitav süsteem
on täielikult juhitav)


Olekutaastaja arvutus (eeldus – jälgitav süsteem on
täielikult jälgitav)
Staatilise vea probleem juhtimissüsteemides (ehk
nn integraatorite probleem juhtimissüsteemides)
Olekuregulaatori arvutus
x  Ax  Bu
u = -Kx
● Juhitav süsteem:
● Olekuregulaator:
A – nxn
B – nx1
K –1xn
Tagasisidestatud süsteemi võrrand:
x  ( A  BK ) x
Viimase lahend
x(t )  e( ABK )t x(0).
Tagasisidestatud süsteemi (soovitud) omaväärtused
A  BK : 1 , 2 ,, n 
Eeldame, et juhitav süsteem on täielikult juhitav s.t.
juhitavusmaatriksi
Q  B
C
AB  A B
n1
astak
rank QC  n.
Defineerime lineaarteisenduse T=QC∙W, kus
 an1
a
 n2
W  
a
 1
 1
1
0


0

0
an2  a1
an  3  1


1  0
0
0
Maatriksi W elementideks on maatriksi A karaktelistliku polünoomi kordajad
det sI  A  s n  a1s n1    an1s  an
Defineerime uue olekuvektori
xˆ
järgmiselt
x  Txˆ
Juhitav süsteem teisendatud olekuruumis
1
1
xˆ  T
AT
x

T
Bu ,
ˆ
 
Aˆ
Bˆ
kus
 0
 0

Aˆ   

 0
 an
1
0
0

1

0
0
 an 1  an 2
0 
0 
0 
 0 

 
 , Bˆ    

0 
1 
 
  a1 
1 

nn. olekumudeli juhitav kanooniline kuju!
Tagasisidestatud süsteemi etteantud (soovitud) karakteristlik polünoom
(s  1 )(s  2 )(s  n )  s n  1s n1     n1s   n
Olekuregulaator teisendatud olekuruumis
u   KT
 xˆ,
Kˆ   n  n1  1 
Kˆ
ja tagasisidestatud süsteemi võrrand
xˆ  ( Aˆ  Bˆ Kˆ ) xˆ
(*)
NB! Süsteemi karakteristlik polünoom on invariantne regulaarse
lineaarteisenduse suhtes.
detsI  A  BK   detsI  Aˆ  Bˆ Kˆ  

 0

 0


 det sI   
 0




 an
 s
 0

 det 
 
an   n

 0 

 0 

  
    . n  n1  1  
 0 

0 
  


  a1  1
0 
1 
1
0
0
 an1
1
s

an1   n1
0
0

1



  


 s  a1  1  

 s n  (a1  1 )s n1    (an1   n1 )s  (an   n )
(**)
(*) ≡ (**)
a1  1  1  1  1  a1
a          a
 2
2
2
2
2
2

 

an   n   n   n   n  an
Kˆ  KT  K  Kˆ T 1
  n  n1  1  T 1
  n  an  n1  an1  2  a2 1  a1   T 1
st tagasisidemaatriksi K valikuga on tagatav suvaline suletud süsteemi
omaväärtuste paigutus (eeldusel, et süsteem on täielikult juhitav!)
Olekuregulaatori arvutusskeem
Juhitav süsteem:
x  Ax  Bu
u = -Kx
Olekuregulaator:
Tagasisidestatud süsteemi omaväärtused:
1 , 2 ,, n
1.samm - juhitavuse kontroll
Kui rank QC= n, siis 2.samm
Kui rank QC< n, siis süsteem mittejuhitav
2.samm - leiame maatriksi A karakteristliku polünoomi
detsI  A  s n  a1s n1    an1s  an  a1 , a2 ,, an .
3.samm - leiame teisendusmaatriksi T
T=QC∙W
4.samm - arvutame tagasisidestatud süsteemi (soovitud) karakteristliku
polünoomi
( s  1 )(s  2 )( s  n )  s n  1s n1     n1s   n
  1 ,  2 , ,  n
5.samm - leiame regulaatori maatriksi K
K   n  an  n1  an1   2  a2 1  a1  T 1
Kommentaarid:
1) Arvutusskeem on kasutatav ka diskreetaja juhtimissüsteemide disainil
2) Madalat järku süsteemide korral (n=2,3) on mugav arvutada
tagasisidemaatriksi K maatriksi elemendid otse polünoomvõrrandist
detsI  A  BK   ( s  1 )(s  2 )(s  n ).
↓
Olekutaastaja arvutus
● Jälgitav süsteem:
● Olekutaastaja:
xˆ
 x  Ax  Bu

 y  Cx
A – nxn
B – nx1
K –1xn
xˆ  Axˆ  Bu  L( y  Cxˆ )
on oleku x hinnang!
x  xˆ  Ax  Axˆ  L(Cx  Cxˆ )

~
x
 ( A  LC )( x  xˆ )

~
x  viga
x  ( A  LC ) ~
x,
~
~
( A LC ) t ~
x
(
t
)

e
x (0)

→ veavõrrand
Süsteemi jälgitavusmaatriks
Q0  C T
AT C T  ( AT )n1 C T 
Süsteem on täielikult jälgitav, kui Q0 astak rank Q0=n.
Jälgitava süsteemi karakteristlik polünoom:
detsI  A  s n  a1s n1    an1s  an
Defineerime lineaarteisenduse T kujul
T  (W  Q0T )1 ,
kus
 an1
a
 n2
W  
a
 1
 1
an2  a1 1
an  3  1 0 


1  0 0

0  0 0
elemendid on jälgitava
süsteemi
karakteristliku
polünoomi kordajad!
Defineerime uue olekuvektori  kujul
x  T
Jälgitav süsteem teisendatud olekuruumis
1
1
AT


T
Bu
  T


~
~

B
A

,

 y  CT
~

C
kus
0
1
~ 
A  0


0
0  0  an 
0  0  an1 

1  0  an  2  ,
 

0
1  a1 
~
C  0 0  1
 bn  anb0 


~ bn1  an1b0 
B
,



 b ab 
 1 1 0 
nn. jälgitav kanooniline kuju
Veavõrrand uues olekuruumis:
~
~
x  T
~
~
T  ( A  LC )T
~
~
1
  T ( A  LC )T
NB! A-LC karakteristlik polünoom
on invariantne teisenduse T
suhtes.
Tähistame
 l1 
 n 
l 
 
L   2  ja T 1 L   n1 

  
l 
 
 1
 n
Kuna
CT  0 0  0 1, siis
 n 
0
 
0
T 1 LCT   n1 0 0  1  
  

 
0
 1

0  0 n 
0  0  n1 


 
0 
 1 
ja
0
1

1
T ( A  LC )T  0


0
0  0
 an   n 
0  0  an1   n1 

1  0  an  2   n  2 





0
1
 a1  1 
Karakteristlik polünoom
det(sI  T 1 ( A  LC )T ) 
0
s
 1 s

  0 1



 0 0
an   n 
0  an1   n1 

s  an  2   n  2  




0  s  a1   1 
0 
 s n  (a1  1 )s n1  (a2   2 )s n2    (an   n )
Etteantud karakteristlik polünoom
s n  1s n1   2 s n2     n
 1  1  a1 
 2   2  a2 
  n  an 
  a 
  T 1 L   n1 n1 





  a 
 n   n  an 
 1 1 
  n  an   l1 
  a  l 
L  T  n1 n2    2 


 
   a  l 
 1 1   n
Olekutaastaja arvutusskeem
Jälgitav süsteem:
Olekutaastaja:
 x  Ax  Bu

 y  Cx
xˆ  Axˆ  Bu  L( y  Cxˆ )
Suletud süsteemi omaväärtused:
1 , 2 ,, n
1. samm – jälgitavuse kontroll
Kui rank Q0= n, siis 2.samm
Kui rank Q0< n, siis süsteem mittejälgitav
2. samm – leiame maatriksi A karakteristliku polünoomi
det(sI  A)  s n  a1s n1    an1s  an  a1 , a2 ,, an
3. samm – leiame teisendusmaatriksi T
T  (W  Q0T ) 1
4. samm – arvutame suletud süsteemi (soovitud) karakteristliku polünoomi
(s  1 )(s  2 )(s  n )  s n  1s n1     n1s   n 1 , 2 ,, n
5. samm – leiame olekutaastaja tagasiside maatriksi L
  n  an   l1 
  a  l 
L  T   n1 n1    2 


 
   a  l 
 1 1   n
Kommentaarid:
1) Arvutusskeem on kasutatav ka diskreetaja olekutaastajate disainil.
2) Madalat järku süsteemide korral (n=2,3) on mugav arvutada tagasiside
maatriksi L elemendid otse polünoomvõrrandist
detsI  A  LC   s n  1s n1     n1s   n .
Olekutaastaja mõju tagasisidestud süsteemis
Juhitav süsteem:
Olekuregulaator:
 x  Ax  Bu

 y  Cx
u   Kxˆ
x  Ax  BKxˆ  ( A  BK ) x  BK ( x  xˆ )
~
x  x  xˆ
x  ( A  BK ) x  BK~
x
~
x  ( A  LC ) ~
x
olekutaastaja veavõrrand
 x   A  BK
 xˆ    0
  
Karakteristlik võrrand
BK   x 
 ~

A  LC   x 
 sI  A  BK
det 
0

det( sI  A  BK ) det( sI  A  LC )  0
 BK

sI  A  LC 
Järeldus: Olekuregulaatori ja olekutaastaja arvutused on sõltumatud.
Saadav juhtimissüsteem on järku 2n.
Järgnevalt leiame regulaator-olekutaastaja ülekandefunktsiooni.
 x  Ax  Bu
● Juhitav ja jälgitav süsteem: 
 y  Cx
● Regulaator: u   Kxˆ
● Olekutaastaja: xˆ  Axˆ  Bu  L( y  Cxˆ ) 
 ( A  LC ) xˆ  Bu  Ly
L:
U ( s )   KXˆ ( s )
sX ( s )  ( A  LC ) Xˆ ( s )  BU ( s )  LY ( s )
Xˆ ( s )  ( sI  A  LC  BK ) LY ( s )
1
U ( s )   K ( sI  A  LC  BK ) LY ( s )

1
toimib nagu regulaatorsüsteemis
xˆ (0)  0
eeldus!
Integraatorite probleem tagasisidestatud süsteemides
n(t)
w(t)
e(t)
-
WR(s)
W0(s)
y(t)
Eeldame, et n(t)=0.
W ( s )  WR ( s )  W0 ( s )

n

K  ( s  zi )

i 1
W
(
s
)

n

N
s  ( s  pk )


k 1
z
p
W (s)
1
e( s )  w( s ) 
w( s ) 
w( s )
1  W (s)
1  W ( s)

 

y(s)
Järgnevalt analüüsime vea e(t) käitumist erinevate
seadesuuruste korral.
A
1) w(t )  A  1(t )  w( s ) 
s A
s( )
A
s
e()  lim
s  e( s )  lim

s 0
s 0
1  W ( s ) 1  W (0)
N=0
A
A
K  zi 1  k p
e( ) 
1
i
p
k

k
kp
N≥1
e( ) 
1
A
0
K  zi
i
s N  pk
∥
0
k
2)
w(t )  A  t  w( s) 
A
s2
A
s( 2 )
s
e()  lim s  e( s )  lim

s 0
s 0
1  W ( s)
A
A
 lim
 lim
s 0
s  sW ( s ) s0 sW ( s )
N=0
N=1
e()  
A
A
e()  lim

s 0
 K  ( s  zi )  K  zi
 i

i
s 

pk
s
(
s

p
)

k 
  
 k
k
Kv
N≥2
e(  )  0
3)
At 2
A
w(t ) 
 w( s)  3
2
s
A
s( 3 )
A
s
e()  lim
 lim
s 0
1  W ( s ) s0 s 2W ( s )
N  0

N 1
N 2
e( )
e(  ) 
A
ka
N 3
e()  0
Kokkuvõte:
Süsteemi
tüüp
N
0
1
Seadesuurus w(t)
A∙1(t)
e(  ) 
A
1 kp
e(  )  0
A∙t
A∙t2/2
∞
∞
A
kv
∞
2
e(  )  0
0
A
ka
3
e(  )  0
0
0
N – integraatorite
arv (ehk nulliste
pooluste/omaväärtuste arv )
süsteemis
Järeldused staatilise vea probleemist
juhtimissüsteemides (1)



Vead juhtimissüsteemis (sh staatiline viga)
sõltuvad seadesuuruse iseloomust (ühikhüpe,
lineaarselt kasvav funktsioon jne), regulaatori
tüübist ja juhitavast süsteemist.
Pidevaja juhtimissüsteemides räägitakse nn
integraatorite probleemist (teatavas mõttes on see
släng).
Selgituseks: integraator on süsteem, millel on üks
nulline poolus või omaväärtus; kahekordne
integraator on süsteem, millel on 2 nullist poolust
või omaväärtust jne.
Järeldused staatilise vea probleemist
juhtimissüsteemides (2)

Juhtimissüsteemis staatiline viga on null, kui:


Seadesuurus on ühikhüpe ja juhtimissüsteemis
(regulaator + juhitav süsteem) on vähemalt üks
nulline omaväärtus (või poolus);
Seadesuurus on lineaarselt kasvav funktsioon ja
juhtimissüsteemis (regulaator + juhitav süsteem) on
vähemalt kaks nullist omaväärtust (või poolust).
Järgivsüsteemi arvutus
1) Integraatoriga juhitav süsteem
● Juhitav süsteem:
 x  Ax  Bu

 y  Cx
A – n xn
B – n x1
K –1xn
● Järgivsüsteemi struktuurskeem
w(t)
-
k1
x  Ax  Bu
--

xn
k2

kn
Eeldame, et y=x1.
x1
x2
y=Cx
y=x1
Süsteemil on tagasiside oleku järgi
x 
x 
u  0 k  k      k ( w  x )

x 
 
  Kx  k w,
kus K  k k  k 
1
2
2
n
1
1
n
1
1
2
n
Eeldame, et seadesuurus rakendub süsteemile ajahetkel t=0
t 0
x  Ax  Bu  ( A  BK ) x  Bk w
1
Olgu w hüppefunktsioon, siis järgivsüsteem peab tagama järgmist:
t 
y ()  w()
u ( )  0
Väljakujunenud režiimis t=∞
x ()  ( A  BK ) x()  Bk w()
x (t )  x ()  ( A  BK )x(t )  x()
1
Defineerime järgivsüsteemi vea järgmiselt
x(t )  x()  e(t ),
saame veavõrrandi kujul
e(t )  ( A  BK )e(t ).
Eeldame, et juhitav süsteem on täielikult juhitav. Arvutame olekuregulaatori,
mis muudab e(t)→0 suvalise algväärtuse e(0) korral, kasutades eelpool
esitatud olekuregulaatori arvutusskeemi. Järgivsüsteemi dünaamilised
omadused anname ette suletud süsteemi omaväärtuste kujul (λ1,λ2,…,λn).
Oleku väärtus t=∞
x ()  0  ( A  BK ) x()  Bk w
x()  ( A  BK ) Bk w
1
1
1
ja juhttoime väärtus u(∞)
u()   Kx()  k w  0.
1
2) Integraatorita juhitav süsteem
● Juhitav süsteem:
u   Kx  k 

  w  y  w  Cx
● Regulaator:
w

-
 x  Ax  Bu

 y  Cx
A – nxn
B – nx1
K –1xn
I
∫

kI
B
∫
x
A
K
 x (t )   A 0   x(t )   B 
0 
(t )   C 0   (t )   0 u (t )  1 w(t )

 

  
 
C
y
 x ()   A 0   x()   B 
0 
()   C 0   ()   0 u ()  1 w()

 

  
 
 x (t )  x ()   A 0   x(t )  x()   B 
(t )  ()   C 0   (t )   ()   0 u (t )  u ()

 

  
w(t) – hüppefunktsioon!
Defineerime:
 x (t )  x(t )  x()
e
  (t )   (t )   ()
e
 u (t )  u (t )  u ()
e
Saame:
 x (t )  A 0   x (t )  B 
 (t )    C 0   (t )    0 u (t ) ,


 
  
e
e
e
e
kus
e
u (t )   Kx (t )  k  (t )
e
e
I
e
Defineerime (n+1) mõõtmelise veavektori
 x (t )
e(t )  
,

 (t ) 
e
e
saame
e  Aˆ e  Bˆ u , kus
e
ja
u   Kˆ e ,
e
kus
A 0
B


Aˆ  
, Bˆ   

 C 0 
0 
Kˆ  K
k
I

Arvutada tuleb (n+1) järku regulaator, mis muudab veavektori e(t)
koordinaadid nulliks suvalise e(0) puhul vt. olekuregulaatori
arvutus!
Modaaljuhtimine olekuruumis:
rakendusskeemid + näited
▪ AJS kvaliteedinäitajad (reguleerimisaeg/siirdeaeg,
ülereguleerimine, staatiline viga)
▪ 2.järku prototüüpülekandefunktsioon
▪ Olekuregulaator (seadesuurus Xs )
▪ Tagasiside väljundi järgi – väljundregulaator (seadesuurus Ys)
▪ Tagasiside väljundi järgi – PI regulaator
▪ Olekutaastaja, vähendatud järguga olekutaastaja
▪ Olekutaastaja ja olekuregulaator juhtimissüsteemis
▪ Järgivsüsteemi (aeg – pidev, diskreetne)
▪ Mõned MATLAB/SIMULINK skeemid
AJS kvaliteedinäitajad - nõuded siirdeprotsessile
X(t)
Ülereguleerimine
δ
1+
1 1-
est
0.90
 = 5% seadesuurusest
Seadesuurus
Staatiline viga
Reguleerimise
aeg
0.1
0
trise
t
t 
ts
AJS siirdekarakteristik – reaktsioon ühikhüppelisele seadesuurusele
2. järku prototüüpülekandefunktsioon
n 2
F ( s)  2
2
s  2  n  s  n
staatiline ülekandetegur K = 1
sumbuvus 
omavõnke(resonants-)sagedus n
1.6
1.4
n= 1
 = 0.2
0.4
1.2
1

%
0.9
0.2
0.8
1.5
0.7
4.6
0.6
9.5
0.5
16.3
0.4
25.4
0.3
37.2
0.7
=1
0.8
0.6
ligikaudne reg.aeg
=2
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
Time (second)
25
30
35
5
ts 
0   1
  n
Olekuregulaator (1)
X  AX  BU
Ann , Bnr
Y  CX
Cmn
Juhitav süsteem:
Olekuregulaator (tagasiside): U = K ( Xs - X )
Regulaator
Xs
K
+
-
X
U
B
+
s-1
X
Krn
C
Y
+
A
Juhitav süsteem
Tagasiside oleku järgi
Antud tagasisidestatud süsteemi (nõutavad) omaväärtused: 1, 2, …, n
Olekuregulaator (2)
X  AX  BK ( X S  X )
XS  0
X  ( A  BK ) X
tagasisidestatud süsteemi vabaliikumise võrrand
Vastav karakteristlik polünoom: det (sI - A + BK)
AJS soovitud omadusi tagav karakteristlik polünoom :
(s) = sn + a1sn-1 + … + an = (s - 1)(s - 2) … (s - n)

det (sI - A + BK) = (s)
?
n - võrrandit, r  n – tundmatut, probleem !
Olekuregulaator (3)
Tagasisidemaatriksi K arvutatakse polünoomvõrrandist
det (sI - A + BK) = (s),
kus K on r x n maatriks ja polünoomvõrrand on n järku st
ainult n võrrandit r x n tundmatu leidmiseks.
Probleemi lahendamiseks esitame maatriksi K kahe maatriksi
p ja q korrutisena, kus p on r-elemendiline veeruvektor ja p
on n-elemendiline reavektor. Valides vektori p elemendid
vabalt on polünoomvõrrand lahendatav st n võrrandit ja n
tundmatut.
NB! Vektori p elemendid on tõlgendatavad juhitava süsteemi sisendite
kaaludena, soovitav vahemik [ 0,1]. Näiteks, väärtus 1 tähendab, et selle
sisendi kaudu soovime süsteemi juhtida, väärtus 0 tähendab, et antud
sisendit ei ole otstarbekas või vajalik juhtimisel kasutada.
Olekuregulaator – näide (1)
 1 
  7 1

X (t )  
 X (t )   Z U (t )

12
0


 0
Y (t )   1 0  X (t )
 7  Z0 
 1
Kontrollime juhitavust:
QC  B AB  
 12 
 Z 0
det QC  12  Z 0 (7  Z 0 )  ( Z 02  7 Z 0  12) 
Juhitav süsteem:
Z0 = - 3 ; - 4  mittejuhitav
Valime Z0 = 0
Olekuregulaatori süntees:
 ( Z 0  3)(Z 0  4)
det(sI  A  BK )   ( s) K  k1 k2 
 ( s)  s 2  2 n s   n 2
  s 0   7 1 1

 s  7  k1 k 2  1


det  


k
k

det

1
2 







s 
 12
 0 s   12 0 0

 s( s  7  k1 )  12(k 2  1)  s 2  (7  k1 ) s  12  12k2  s 2  2 n s   n
2
Olekuregulaator - näide(2)
s 2  (7  k1 ) s  12  12k 2  s 2  2 n s   n
7  k1  2 n
12  12k 2   n
2
 k1  2  7
2
 k2  
 n 2  12
12
Arvestades nõudeid ts 10 s;   10% valime
prototüüpülekandefunktsiooni järgi   0.6; n  1
  1  n  3  k1  1
Tagasisidestatud süsteemi analüüs:
X  AX  BU
U  K(XS  X )
XS  X
Y CX
WX S X ( s )  ?
sX ( s)  AX ( s)  BK ( X S ( s)  X ( s))
1
sI  A  BK X (s)  BK X S (s)  X (s)  

sI

A

BK
BK

 X S ( s)
WX S X ( s )
k2 
1
4
Olekuregulaator - näide(3)
Tagasisidestatud süsteemi ülekandemaatriks
 s  7  k1
sI  A  BK   
 12
k 2  1  s  6  3 4 


s   12
s 
3
 s
1
4 
1
sI  A  BK   2
s  6 s  9  12 s  6
3
1
 s
1
4   1
4
1
sI  A  BK  BK  2





s  6 s  9  12 s  6  0 0 
 s s 1 4 
1
 2
s  6 s  9  12  3 
WX S X ( s )
L
XS=1/s  olekusiirded:
X (t ) 

s
s
s 14



2
WX S X ( s )
 s 2  6s  9
  0  0  0
s

6
s

9
X (t )  lim s
 lim
 
  12

1
s

0
s

0
12

3
s
t 
 2
  9  3  1
 2
s  6s  9 
 s  6s  9
Tagasiside väljundi järgi - väljundregulaator
Regulaator
Ys
K
+
U
-
B
+
Juhitav ja jälgitav süsteem
Y
X -1 X
s
C
+
A
Tagasiside väljundi järgi
U = K ( Ys - Y )
Krm
X  AX  BK (YS  Y )  ( A  BKC) X  BKYS
YS  0
X  ( A  BKC) X
det (sI - A + BKC) = (s)
n - võrrandit, r  m - tundmatut
Diskreetaja juhtimissüsteemid
Juhitav süsteem:
X (k  1)  Ad X (k )  BdU (k )
Y (k )  CX (k )
TAGASISIDE OLEKU JÄRGI
Ann , Bnr
Cmn
U(k) = K(XS(k) - X(k))
det (zI - Ad + BdK) = (z)
TAGASISIDE VÄLJUNDI JÄRGI
U(k) = K(YS(k) - Y(k))
det (zI - Ad + BdKC) = (z)
Tagasiside väljundi järgi – PI regulaator (1)
Eeldame, et süsteem on täielikult juhitav ja jälgitav
t
PI - regulaator: U  K1 (YS  Y )  K2 Z , Z   (YS  Y )d
0
Y  0, Z  CX
S
 X  AX  BU , Y  CX


U   K1Y  K 2 Z , Z  CX
Regulaator
-K1
s-1
-K2
~ X 
X  
Z 
~ Y 
Y  
Z 
U
B
+
-
+
~ ~ ~ ~
~~

 X  AX  BU , U   KY
 ~ ~~

Y  CX
Juhitav ja jälgitav süsteem
Y
X -1 X
s
C
+
Y   Z
Tagasiside väljundi järgi
A
Tagasiside väljundi järgi – PI regulaator (2)
Moodustame üldistatud süsteemi
~ ~ ~ ~
~~

 X  AX  BU , U   KY
 ~ ~~

Y  CX
~  X  ~  A 0
X   A


 C 0
Z 
~ Y  ~ C 0
Y   C

Z
0
I
 


~ X 
X  
Z 
~  B
B 
0
~
K   K1  K 2 
~
A  (n  m)  (n  m)
~
B  (n  m)  r
~
C  2m  ( n  m )
~
K  r  2m
~ ~~~ ~
~

tagasisidestatud süsteemi
X  ( A  BKC ) X
vabaliikumise võrrand
~ ~~~
det (sI  A  BKC )   ( s )
?
antud
PI - regulaatori näide (1)
Antud:
 5  1
1 1
A 
B
C  1 2


0
6
0 2
(s) = (s + 4)(s + 5)(s + 6) = s3 +15s2 + 74s + 120
Lahendus:
1. Juhitavuse ja jälgitavuse kontroll
2. PI - regulaatori arvutus
~ ~ ~~
det(sI  A  BKC )   ( s)
 5  1 0 
1
~
~
A 6
0
0  B  0



  1  2 0 
0
 k11
~ 1 2 0
C
K

0 0 1 
 k21
1
2

0
k12 
k22 
PI - regulaatori näide (2)
~ ~~~
det(sI  A  B KC )  s 3  15s 2  74s  120
  s 0 0   5  1

 det 0 s 0   6
0
 0 0 s    1  2
 

 s  5

 det   6
 1

1
s
2
0  1 1
 k11



0   0 2  
k 21

0  0 0
0   k11  k 21
0    2k 21
s  
0

k12  1 2 0 




k 22  0 0 1 

2k11  2k 21
4k 21
0
va lim e k22  2
k11  5k21  15  5

 1
 15 


K 2
12k11  k12  30k21  5k22  74  6
2 
1910



 12k12  30k22  120
k12  k 22  

2k 22  
 
0
PI-regulaatori näide (3)
3. Tagasidestatud süsteemi analüüs
X(0) = 0 
U(s) = K1[YS(s)-Y(s)] - s-1K2 [YS(s)-Y(s)] = [K1 - s-1K2][YS(s)-Y(s)]
Y(s) = C(sI - A)-1BU(s)
Y(s) = C[sI-A]-1B[K1 - s-1K2][YS(s)-Y(s)] = WUY(s)WPI(s)[YS(s)-Y(s)]
WUY(s)
WPI(s)
1 1 
[I+ WUY(s)WPI(s)]Y(s) = WUY(s)WPI(s) YS(s)
 2  s 15
WPI ( s)  

-1
19
1
Y(s) = [I+ WUY(s)WPI(s)] WUY(s)WPI(s) YS(s)
  2
 20 s 
WYsY(s)
10s 2  68s  120
WYSY ( s )  3
s  15s 2  74s  120
 s  12
WUY ( s)  
 ( s  2)(s  3)
5s  30 
( s  2)(s  3) 
Olekutaastamine
Olekuvektori hinnang
asümptootiline:
Xˆ (t )
lim[ Xˆ (t )  X (t )]  0
t 
Jälgitav süsteem: lineaarne, statsionaarne
X (t )  AX (t )  BU (t )
Y (t )  CX (t )
Ann , Bnr
Cmn

Xˆ (t )  AXˆ (t )  BU (t )  LeY (t )
eY (t )  Y (t )  Yˆ (t )  Y (t )  CXˆ (t )

Xˆ (t )  ( A  LC ) Xˆ (t )  BU (t )  LY (t )
Olekutaastaja (1)
Xˆ (0)
- algoleku hinnang
X
U
B
+
s-1
X(0)
X(t)
C
Y
+
Jälgitav süsteem
A
Xˆ (0)

Xˆ s-1
U
B
+
+
Olekutaastaja
A
eY
L
-
C
Xˆ (t )
Yˆ
Olekutaastaja (2)
ˆ
X (t )  X (t )  ( A  LC )( Xˆ (t )  X (t ))
eXˆ  ( A  LC )  eXˆ
Maatriksi A - LC omaväärtused si
Kui Re si < 0 
i = 1, …, n
lim e Xˆ  0
t 
det(sI  A  LC)   ( s)
si
x
xx
x
eig(A)
Lnxm = ?
j
s
x
xx
x
Re
AJS: olekutaastajaga olekuregulaator (1)
X  AX  BU
Juhitav ja jälgitav süsteem:
Y  CX

Xˆ  AXˆ  BU  LC ( X  Xˆ )
Olekutaastaja:
Regulaator (tagasiside): U
Regulaator
Xs
K
+
 K ( X S  Xˆ )
U
Y
Süsteem
-
Olekutaastaja
Xˆ
Tagasisidestatud süsteemi (nõutavad) omaväärtused: 1, 2, …, n
AJS: olekutaastajaga olekuregulaator (2)
XS  0
X  AX  BKXˆ
eX  X  Xˆ

Xˆ  AXˆ  BKXˆ  LCX  LCXˆ )
Y  CX
 X  
 ˆ   
X  
A
LC
X  ( A  BK ) X  BKeX
eXˆ  ( A  LC )eXˆ
 BK
 X 
A  BK  LC   Xˆ 
 X   A  BK
 
eXˆ   0
X 
Y  C 0 
eXˆ 
A*
BK   X 
A  LC  eXˆ 
AJS: olekutaastajaga olekuregulaator (3)
Tagasisidestatud süsteemi karakteristlik polünoom:
det(sI  A* )  det(sI  A  BK)  det(sI  A  LC)
det(sI  A  BK )  R ( s)
det(sI  A  LC)  OT ( s)
Diskreetaja olekutaastaja +olekuregulaator
X (k  1)  Ad X (k )  BdU (k )
Objekt:
jälgitav ja juhitav
Olekutaastaja:
Y (k )  CX (k )
Xˆ (k  1)  Ad Xˆ (k )  BdU (k )  L(Y (k )  Yˆ (k ))
Olekuregulaator: U
 K ( X S (k )  Xˆ (k ))
det(zI  Ad  LC)  OT ( z )
det(zI  Ad  Bd K )  R ( z )
Finiitne olekutaastaja - näide(1)
0  1
1
Jälgitav süsteem: X (k  1)  
X
(
k
)

U (k )



1 2,5
0
Y (k )   0 1 X (k )
 C  0 1 
Q

Jälgitavuse kontroll:
O
CA  1 2,5
  

det QO  0  rank QO  2
Olekutaastaja süntees:
det(zI  Ad  LC )   ( z )
1
X (0)   
0
 ( z)  z 2
l 
L   1
l2 
  z 0 0  1  l1 

 z
 1  0 l1  
det  

  0 1  det  






 0 z  1 2,5 l2 

  1 z  2,5 0 l2  
l1  1 
z
 det 
 z 2  (l2  2,5) z  (l1  1)  z 2

 1 z  2,5  l2 
l2  2,5  0  l2  2,5
l1  1  0  l1  1
Finiitne olekutaastaja – näide(2)
Analüüs (st olekutaastamise vea analüüs):
eXˆ (k )  X (k )  Xˆ (k ) ,
eXˆ ()  ?
eXˆ (k 1)  ( Ad  LC)eXˆ (k )
k  0,1, 2,
0  1   1
0  1 0  1 0 0
Ad  LC  
   0 1  






1
2
,
5
2
,
5
1
2
,
5
0
2
,
5
1
0

  

 
 

1
eXˆ (0)  X (0)  Xˆ (0)   
1
0
eXˆ (1)  ( Ad  LC )eXˆ (0)  
1
0
eXˆ (2)  ( Ad  LC )eXˆ (1)  
1
0
eXˆ (3)    , 
0
Finiitne: 2-järku süsteem
läheb 2 taktiga paika
(st lõpliku siirdega)
0 1 0
 



0 1 1
0 0 0
 



0 1 0 Viga läheb
2 taktiga nulli !!
Olekutaastaja alternatiivne kuju
Xˆ (0) - algoleku hinnang
X
U
B
+
s-1
X(0)
X(t)
C
Y
+
Jälgitav süsteem
A
Xˆ (0)

Xˆ s-1
U
B
L
+
+
F=A-LC
Olekutaastaja
Xˆ (t )
Vähendatud järguga olekutaastaja(1)
Ideaalne oleks X=C-1Y, aga C-1 tavaliselt ei eksisteeri
1
1
C 
C  Y 
Valime lineaarteisenduse Z = T·X nii ,et eksisteerib   siis Xˆ      
T 
T   Z 
X
U
B
+
s-1
X(0)
X(t)
C
Y
Z hinnatakse
n-m järku
olekutaastajaga
+
A
Jälgitav süsteem
n-m
m
L
Z
U
J
+
+
n-m
Olekutaastaja
s-1
F
n-m
C 
T 
 
1
Xˆ
Vähendatud järguga olekutaastaja(2)
võrrandsüsteem
Kehtivad definitsioonid: J = T·B
ja
F·T = T·A - L·C
F, L, T muutujatena
(võrrandeid vähem,
kui muutujaid)
C 
T valik peab tegema   ruutmaatriksiks
T 
Kui C on kujul [ I 0 ], siis tasub T valida kujul T= [T’ I ];
T’ (n-m)xm
F saab määrata valides olekutaastajale sobivad omaväärtused
det (sI - F) =  (s)
Järgivsüsteem – tagasiside oleku järgi + integreeriv
tagasiside väljundi järgi (PI)
Juhitav süsteem: antud lineaarne statsionaarne pidevaja olekumudel
Z
Ys
+
-
Regulaator
s-1
Z
Kr
U
B
+
+
Juhitav süsteem
X -1 X
s
+
-
A
K
Regulaator
U  K X  Kr Z ,
Tagasiside oleku järgi
Tagasiside väljundi järgi
Z  YS  Y  YS  CX
C
Y
Järgivsüsteem – tagasiside oleku järgi + integreeriv
tagasiside väljundi järgi (PI)
Laiendatud olekuvektoriga süsteem
~ ~ ~ ~
~
~~
X  A X  B U  I YS , U   KX
~  X 
X  

Z 
~
K  K

~  A 0
A


C
0


 Kr

suletud süsteemi vea vabaliikumine
~ ~~ ~
~
X e  ( A  BK ) X e ,
~ X 
X  
Z 
~  B
B 
0
~  0
I  
I 
~
~
~
X e  X (t )  X ( )
laiendatud süsteem peab olema täielikult juhitav st.
0
 X ( )
 A
1 
U ()   P Y , P   C



 S
B
rankP  n  m  m  r

0
Järgivsüsteem – diskreetaja PI (1)
Juhitav süsteem: antud lineaarne statsionaarne diskreetaja olekumudel
Ys
Z(k)
+
-
U(k)
Kr
+
+
Bd
+
-
Z(k-1)
z -1
Juhitav süsteem
X(k+1)
X(k)
-1
z
+
+
C
Y(k)
Ad
K
Tagasiside oleku järgi
Tagasiside väljundi järgi
U (k )   K X (k )  Kr Z (k )
Z (k )  Z (k  1)  Ys (k )  Y (k )  Z (k  1)  Ys (k )  CX (k )
Järgivsüsteem – diskreetaja PI (2)
Laiendatud olekuvektoriga süsteem
~ ~
~
~
~
X (k  1)  Ad X (k )  BdU (k )  I Ys
 X (k  1)
~
X (k  1)  

Z
(
k

1
)


~  Ad
Ad  
 CAd
0
I 
~  X ( k )
X 

Z
(
k
)


suletud süsteemi vabaliikumine
~ ~ ~ ~
~
X (k  1)  ( Ad  Bd K ) X (k )
~~
~
U (k )   KX (k ), K  K  Kr 
~  Bd 
Bd  


CB
d

~  0
I  
I 
Järgivsüsteemi simulatsioon
Tagasiside oleku järgi
[Ys.*1.05 +/-5%
U
Ys
seadesuurus
+
-
dZ/dt
Mux
Z
1/s
Integrator_
OLEKUMUDEL
|------------------------------------------------------------|
-K2
B
PI reg
nxr
G
olekuhäiring
Xh
Tagasisisde väljundi järgi
+
+
+
dX/dt
X(t)
1
s
Y(t)
C
Mux
Y
Integrator
mxn
A
X
nxn
Tagasiside oleku järgi
Ys.*0.95]
U
Ys
seadesuurus
+
-
Mux
+
+
z(k)
- K2d
PI reg
1/z
Tagasisisde väljundi järgi
Diskr. OLEKUMUDEL
|------------------------------------------------------------|
Bd
nxr
Gd
olekuhäiring
Xh
+/-5%
X(k)
+
1/z
+
+
Unit Delay
X(k+1)
C
Y(k)
Mux
Y
mxn
Ad
X
nxn
Olekutagasiside simulatsioon
staatiliste ülekandetegurite korrigeerimisega
K0
Ys
seadesuurus
Xs
seadesuurus
[Ys.*1.05; +/-5%
Stat.korr.
rxm
+
TS
K
U
+
+
OLEKUMUDEL
|------------------------------------------------------------|
B
olekuregul.
rxn
nxr
G
Tagasiside oleku järgi
olekuhäiring
Xh
Xs
seadesuurus
Kd
+
+
olekuregul.
rxn
s
C
Mux
Mux
Integrator
Y
mxn
A
X
nxn
; Ys.*0.95] +/-5%
Bd
nxr
Gd
Tagasiside oleku järgi
X(t)
Diskr. OLEKUMUDEL
|------------------------------------------------------------|
Stat.korr.
rxm
+
TS
1
U
K0
Ys
seadesuurus
+
+
+
dX/dt
olekuhäiring
Xh
+
1/z
+
+
Unit Delay
X(k+1)
X(k)
C
Mux
Mux
Y
mxn
Ad
X
nxn