Transcript ST_2014_loeng3

OLEKUMUDEL
Lineaarse, mittestatsionaarnse, pidevaja süsteemi olekumudel
dX (t )
 A(t ) X (t )  B(t )U (t )
dt
Y (t )  C (t ) X (t )  D(t )U (t )
A(nn) B(nr) C(mn) D(mr) -
olekumaatriks
sisendmaatriks
väljundmaatriks
otse(edasi)sidemaatriks
Lineaarse, statsionaarse, diskreetaja süsteemi olekumudel
X (k  1)  Ad X (k )  BdU (k )
Y (k )  CX (k )  DU (k )
Olekumudeli näide 1
Antenni mudel
Antenni keerab mootor (juhtsignaal sisendpinge V), nurga anduri järgi saab leida ka
nurga muutumise kiirusrad/s.
 - antenni nurk rad,
- antenni nurga muutumise kiirus,
J - kõikide keerlevate osade inertsmoment kg m2,
Bs - igasuguste sumbumiste summaarne koefitsient kg m2/s]
M - mootori poolt arendatav moment kg m2/s2, M = k·U(t),
U(t) - mootori sisendpinge V,
Pöördliikumist kirjeldav pöördemomentide tasakaaluvõrrand (diferentsiaalvõrrandina):
J  (t )  Bs  (t )  M (t )
Sellest võrrandist saab tuletada olekumudeli valides X1-ks  ja X2-ks 
Antenni mudeli kirjeldus olekumudelina
Üldkujul maatriksesituses:
dX (t )
 A  X (t )  B U (t )
dt
Y (t )  C  X (t )  D U (t )
Valides olekumudelis X1-ks  ja X2-ks , saame:
 X 1 (t ) 
X (t )  
,

 X 2 (t )
1 
0
 0 

X (t )  
X (t )  
U (t )


k / J 
0  B s / J 
A
J=10, Bs=46, k=7.78
B
Olekumudeli näide 2
Õhupalli mudel
0+
Olekuvõrrandid:
U0+u
v
H0+h
Olekuvõrrandi karakteristlik polünoom
det(sE-A);
Karakteristliku võrrandi det(sE-A)=0 juured on A omaväärused.
Ülekandemaatriks
H ( s)  C ( sE  A) 1 B
Diskreetaja süsteemid
Olgu meil antud pidevaja olekumudel
 x (t )  Ax (t )  Bu (t )

 y (t )  Cx(t ), x(0)
kus
A – nxn; B – nxr; C – mxn.
u (t )  u (tk )
x(t )  x(tk )
y (t )  y (tk )
tk-1
u(tk)
u(t)
D/A
tk
tk+1
y(t)
Süsteem
Kell
y(tk)
A/D
Meil on olemas olekumudel
 x(k  1)  x(k )  u (k )

 y (k )  Cx(k ), x(0)
Soovime leida sisend-väljund mudeli.
Võtame kasutusele operaatori z
y (k )
zy(k )  y (k  1)
z 1 y (k )  y (k  1)
x(k  1)  zx(k )  x(k )  u (k )
zx(k )  x(k )  u (k )
( zE  ) x(k )  u (k )
x(k )  ( zE   ) 1 u (k )

Hux ( z )
y (k )  Cx(k )  C ( zE   ) 1 u (k )



H ( z ), Huy ( z )
H(z) – ülekandemaatriks
– m x r.
Eeldame, et m=r=1 → ühemõõtmeline süsteem.
H ( z) 
B( z )
A( z )
ülekandefunktsioon
B ( z 1 )
b1 z 1    bn z n


1
A( z ) 1  a1 z 1    an z n
H ( z) 
y (k )
u (k )
y(k )  a1 y(k  1)    an y(k  n)  b1u(k  1)    bnu(k  n)
diferentsvõrrand.
Kui u(k), siis y(k) on leitav
y(k )  a1 y(k  1)    an y(k  n)  b1u (k  1)    bnu(k  n)
Näide
 x(k  1)  x(k )  u (k )

 y (k )  Cx(k ),
kus
h!
1 1
1 / 2

,     , C  1 0.

0 1
 1 
H ( z )  C ( zE  ) 1 
Siis
z 1 1 
zE    
,

z  1
 0
( zE  )
1
1 z  1 1 


z  1
( z  1) 2  0
1
1
1  z  1 1    2 ( z  1)
H ( z )  1 0
 2 

2 
2

( z  1)  0
z  1  1  ( z  1)
 
0.5 z  0.5 0.5 z 1  0.5 z 2
 2

z  2 z  1 1  2 z 1  z 2
0.5 z 1  0.5 z 2
y (k )
H ( z) 

1  2 z 1  z 2
u (k )
y (k )  2 y (k  1)  y (k  2)  0.5u (k  1)  0.5u (k  2)
y (k )  2 y (k  1)  y (k  2)  0.5u (k  1)  0.5u (k  2)
y(k )  f  y(k  1), y(k  2), u(k  1), u(k  2).
u(k)=1, k≥0
Süsteemi järk on 2.
k
y ( k  2)
y (k  1) u (k  2) u (k  1)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0.5
2
0
0.5
1
1
2
3
0.5
2
1
1
4.5
4
2
4.5
1
1
8
y (k )
y(k)
8
6
4
2
k
1
2
3
4
z-teisendus
x(k ); k  0,1,2,

X ( z )   x(k ) z k
k 0
kujutis
originaal
jada
1952 – 1958
Jury
Barker
Tsõpkin
 x(k  1)  x(k )  u (k )

 y (k )  Cx(k ), x(0)
  k

z x(k  1)  z  z x(k )  x(0) 

k 0
 k 0


k


   z x ( k )   z  k u ( k )
k 0
k
k 0

k
x
(
k
)
z
 X ( z)

k 0

k
u
(
k
)
z
 U ( z)

k 0
z X ( z )  x(0)  X ( z )  U ( z )
X ( z )  ( zE  ) 1 zX (0)  ( zE  ) 1 U ( z )
 
vabaliikumine
H ( z )  C ( zE  ) 1 
sundliikumine