Transcript twcz_2_-_teoria_linii_transmisyjnych - Studia

WYKŁAD TWCZ
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
1
WYKŁAD TWCZ
Linie transmisyjne - teoria
prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Politechnika Warszawska
Instytut Systemów Elektronicznych
ul. Nowowiejska 15/19, 00-665 Warszawa
e-mail: [email protected],
tel: (48-22) 8253709
fax: (48-22) 8252300
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
2
WYKŁAD TWCZ
Obwód zastępczy odcinka Δz linii transmisyjnej
i(z +Δz,t)
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
3
WYKŁAD TWCZ
Prawo Kirchhoffa dla napięć:
 i(z,t)
- u(z + z,t) = 0
t
Prawo Kirchhoffa dla prądów:
u(z,t) - R z i(z,t) - L z
i(z,t) - G z u(z + z,t) - C z
 u(z + z,t)
- i(z + z,t) = 0
t
Po podzieleniu przez Δz i założeniu, że Δz → 0 :
u(z,t)
i(z,t)
= - R i(z.t) - L
z
t
i(z,t)
u(z,t)
= - G u(z.t) - C
z
t
Równania telegrafistów
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
4
WYKŁAD TWCZ
W stanie ustalonym, dla sinusoidalnych u(z,t) oraz i(z,t) :
U(z.t) = U(z) ejωt oraz
I(z,t) = I(z) ejωt
dU(z)
= - (R + jL) I(z)
dz
dI(z)
= - (G + jC) U(z)
dz
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
5
WYKŁAD TWCZ
Rozchodzenie się fal napięciowych i fal
prądowych w linii transmisyjnej
2
2
d U(z)
 U(z) = 0
2
dz
2
2
d I(z)
-  I(z) = 0
2
dz
 =  + j =
=
(R + jL)(G + jC)
-  2 LC + RG + j (RC + LG)
γ - stała propagacji
α – stała tłumienia
β – stała fazowa
Równania falowe dla U(z) i I(z) w linii
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
6
WYKŁAD TWCZ
Rozwiązanie:

o
+ -z
o
z
U(z)= U e +U e
I(z) = I +o e-z + I -o ez
U0+, I0+, U0-, i I0- - zespolone amplitudy fal napięciowych
i fal prądowych dla z = 0
I(z) =
I(z) =
+
o

R + jL
o
U
U z
-z
e
e
Z0
Z0
[ U +0 e-z - U 0- ez ]
Z0 =
R + j L
=
R + jL
G + jC

Impedancja charakterystyczna
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
7
WYKŁAD TWCZ
Impedancja charakterystyczna:
+
-
Uo
Uo
Z0 = + = - Io
Io
Rzeczywiste napięcie wzdłuż linii transmisyjnej:
u(z,t) = Re {U(z,t)}
-z
+
o
u(z,t) = |U | e
o
z
+ |U | e
cos( t - z +  )
+
cos( t + z +  )
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
-
8
WYKŁAD TWCZ
Długość fali w linii transmisyjnej:
g =
2

Prędkość fazowa fali w linii transmisyjnej (prędkośc
poruszania się punktu fali o stały kącie fazowym):

v p = = g f

Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
9
WYKŁAD TWCZ
Bezstratna linia transmisyjna
R=0
G=0
Stała propagacji – czysto urojona ! – brak tłumienia
 =  + j = j  LC
 = 0 oraz  =  LC
Impedancja charakterystyczna – czysto rzeczywista !
Z0 =
L
C
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
10
WYKŁAD TWCZ
Rozwiązanie falowe dla linii bezstratnej:
U(z) = U +o e-jz + U -o e jz
+
o
o
U
U
-jz
jz
I(z) =
e
e
Z0
Z0
2
1
Długość fali:
g =
Prędkość fazowa:

=
vp =



f LC
1
LC
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
11
WYKŁAD TWCZ
Parametry obwodowe linii
transmisyjnej
Dwuprzewodowa linia z falą TEM
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
12
WYKŁAD TWCZ
Napięcie między przewodami linii: (fala napięciowa
poruszająca się w kierunku +z wzdłuż linii)
U ( z)  U0 e
 jz
Prąd płynący w przewodach linii: (fala prądowa
poruszająca się w kierunku +z wzdłuż linii)
I ( z)  I 0e
 jz
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
13
WYKŁAD TWCZ
Średnia w czasie energia magnetyczna magazynowana
w odcinku linii o jednostkowej długości:
Teoria pola:
Wm=

4
*
HH
 ds
S
Średnia w czasie energia magnetyczna magazynowana
w indukcyjności L linii o jednostkowej długości:
L | I 0 |2
Teoria obwodów: W m =
4
Indukcyjność własna na jednostkę długości linii:
L [H/m] =

*
HH
ds
2 
| Io| S
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
14
WYKŁAD TWCZ
Średnia w czasie energia elektryczna magazynowana
w odcinku linii o jednostkowej długości:
We=
Teoria pola:

4
*
EE
 ds
S
Średnia w czasie energia elektryczna magazynowana
w pojemności linii o jednostkowej długości:
Teoria obwodów:
|U o |2
We = C
4
Pojemność własna na jednostkę długości linii:
C [F/m]=

| U o |2
*
EE
 ds
S
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
15
WYKŁAD TWCZ
Moc strat wydzielająca się w odcinku linii o jednostkowej
długości (skończona rezystancja przewodów linii)
Teoria pola
Pc =
Rs
*
HH
dl

2 C1 + C 2
Rs – rezystancja powierzchniowa =
1

σ – przewodność metalu, δ – głębokość wnikania,
C1, C2 – kontury metalowych przewodów w przekroju
poprzecznym linii
Teoria obwodów:
| I o |2
Pc = R
2
Szeregowa rezystancja strat linii o jednostkowej długości:
R [ / m] = Rs 2  HH* dl
| I o| C1 + C 2
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
16
WYKŁAD TWCZ
Moc strat w linii o długości jednostkowej związana ze stratami
w dielektryku wypełniającym linię:
Teoria pola:
Pd =
  
2
*
EE
 ds
S
ε = ε’ - j ε’’ = ε’ (1 – j tg δ)
Teoria obwodów:
|U o|2
Pd = G
2
Przewodność strat linii o jednostkowej długości:
G [S/m] =
  
| U o |2
*
EE
 ds
S
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
17
WYKŁAD TWCZ
Parametry obwodowe linii współosiowej:
Fala TEM:
E =
Uo
 ln
b
a
e  z
L:
D
H 
L  =
ln
d
 m  2
C:
2 
F
C  =
D
 m
ln
d
R:
RS  1
1

R  =
+ 

 D
d
 m
G:
2 
S
G  =
D
 m
ln
d
H =
I o z
e
2
Współrzędne
walcowe (rho,phi,z)
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
18
WYKŁAD TWCZ
Linia transmisyjna obciążona
Koniec linii l = 0
z=-l
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
Obciążenie
19
WYKŁAD TWCZ
Całkowite napięcie w linii (suma napięciowej fali padające
i napięciowej fali odbitej:
U(z) = U +o e-jz + U -o e jz
Całkowity prąd w linii (suma prądowej fali padającej i prądowej
fali odbitej:
I(z) =
+
o
o
U
U
-jz
jz
e
e
Z0
Z0
Na końcu linii obowiązuje związek:
ZL
skąd:
Zespolona amplituda
fali odbitej:
U
0
+
U(0)
Uo + Uo
=
=
+
- Z0
I(0)
Uo
Uo
Zespolona amplituda
Z L - Z0
+
=
U 0 fali padającej
Z L + Z0
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
20
WYKŁAD TWCZ
Napięciowy współczynnik odbicia:
Uo
Z L - Z0
L = + =
Uo
Z L + Z0
Prądowy współczynnik odbicia: I-o/I+o = - ΓL
Całkowite napięcie i całkowity prąd w linii obciążonej:
U(z) = U +o [ e-jz + L e jz ]
+
U
I(z) = o [ e-jz -  L e jz ]
Z0
Moc przesyłana w linii:

|
U
1
1
*
0 |
=
Re[
U
(
z
)
I
(
z
)]
=
(1 - | L |2)
Psr
2
2 Z0
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
2
21
WYKŁAD TWCZ
Moc fali padającej:
Moc fali odbitej:
| U +|2
= P+
2 Z0
+2
|
2 U |
| L|
= P -2 Z0
Moc odbita
Gdy ZL= Zo - linia dopasowana, ΓL = 0 i P - = 0
Straty odbicia (return loss): RL [dB] = - 20 log| L | = 10 log
P-P+
Przy dopasowaniu ΓL = 0 (nie ma fali odbitej) RL = ∞.
Gdy IΓL I = 1, RL = 0 dB (cała fala padająca odbija się
od obciążenia).
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
22
WYKŁAD TWCZ
Impedancja „widziana” w linii w kierunku do obciążenia:
U(l) U + [e jl +  L e-jl ]
= + jl
Z we =
Z0
I(l) U [e -  L e- jl ]
1+  L e- j2 l
=
Z0
1 -  L e- j2 l
lub
Z we
( Z L + Z 0 ) e jl + ( Z L - Z 0 ) e-jl
= Z0
( Z L + Z 0 ) e jl - ( Z L - Z 0 ) e-jl
= Z0
Z L cos l + j Z 0 sin l
Z 0 cos l + jZ L sin l
= Z0
Z L + j Z 0 tgl
Z 0 + j Z L tgl
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
23
WYKŁAD TWCZ
Admitancja widziana w linii:
( Y L + Y0 ) e jl + (YL - Y0 ) e-jl
Ywe = Y 0
(YL + Y0 ) e jl - (YL - Y 0 ) e- jl
cos l + j Y 0 sin l
=Y0 Y L
Y 0 cos l + jY L sin l
+ j Y 0 tgl
=Y0 Y L
Y 0 + j Y L tgl
Z we (l )  Z we (l  kg / 2), k  1,2,3,...
Ywe (l )  Ywe (l  kg / 2), k  1,2.3,...
W linii „wszystko” powtarza się co długość równą pół fali!
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
24
WYKŁAD TWCZ
Unormowana reaktancja wejściowa Xwe linii transmisyjnej
a) zwartej na końcu
b) rozwartej na końcu
Zwarta
Zwe = j Z0 tg βl
Koniec linii l = 0
Zwe = - j Z0 ctg βl
Rozwarta
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
25
WYKŁAD TWCZ
Gdy l = λ/2 :
Z we  Z L
Gdy l = λ/4 :
Z we
Z 02

ZL
Transformator
ćwierćfalowy
Gdy ZL = Z0 , niezależnie od długości:
Z we  Z 0
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
26
WYKŁAD TWCZ
Fale stojące w linii transmisyjnej
Gdy ZL = Z0 (dopasowanie): | U(z)|= | U +o |= const
obwiednia amplitudy napięcia w.cz. w linii jest linią prostą.
Gdy linia nie jest dopasowana:
| U(l)|=| U +o ||1+ L e-2jl |= | U +o ||1+| L | e j(  -2 l) |
lub:
| U(l) |= | U +o | 1 + |  L |2 + 2 |  L | cos ( 2 l -  )
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
27
WYKŁAD TWCZ
1 ) ZL = Z0 , linia dopasowana
2 ) ZL = Z0/2
3 ) ZL = 0 , linia zwarta na końcu
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
Koniec linii
28
WYKŁAD TWCZ
Max napięcia w linii: w punktach, gdzie:
e
j(  - 2 l)
=1
+
=
|
U max U o | ( 1+| L |)
Min napięcia w linii: w punktach, gdzie:
e
j(  - 2 l)
= -1
+
=
|
U min U o | ( 1 - | L |)
Współczynnik fali stojącej, WFS:
U max 1+ |  L |
WFS =
=
U min 1 - |  L |
Dla
Z L = Z 0 (dopasowanie), WFS = 1
Dla ZL = 0 (zwarcie) i dla ZL = ∞ (rozwarcie), WFS = ∞.
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
29
WYKŁAD TWCZ
Odległość między dwoma sąsiednimi minimami (maksimami)
napięcia:
2  g  g
l=
=
=
2  2
2
pół fali !
Współczynnik odbicia w linii, w odległości l od końca (linii):
-
-jl
U e
(l) = +0 jl = (0) e-j2 l =  L e-j2 l
U0 e
Wartość Γ(l) powtarza się co l = λg/2
, co pól fali !
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
30
WYKŁAD TWCZ
WYKRES
SMITHA:
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
31
WYKŁAD TWCZ
Unormowana względem Z0 impedancja wejściowa linii:
-j2 l
(
l
)
1


(
l
)
1
+
e
Z

we
L
=

z we (l ) =
1  (l ) 1 -  L e- j2 l
Z0
gdzie:
(l )  L e
L
=
-j2l
Z L - Z0
z - 1
= L
Z L + Z0
zL + 1
Współczynnik
odbicia
Współczynnik
odbicia obciążenia
l=0
(l) =  L e-j2 l = u + j v
1+ (u + j v)
z we (l ) = r + j x =
1 - (u + j v)
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
32
WYKŁAD TWCZ
Część rzeczywista unormowanej impedancji zwe
1 - ( u2 + v 2 )
r =
( 1 - u )2 + v2
Część urojona unormowanej impedancji zwe:
x =
2v
( 1 - u )2 + v2
2
r 

 1 
2
u
+
=




v



1+ r
1 + r
u
- 1
2
1

+ v - 

x
2
2
 1
=  
 x
r - const
2
x - const
Równania okręgów !
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
33
WYKŁAD TWCZ
Okręgi x = const
Okręgi r = const
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
34
WYKŁAD TWCZ
Obwód dopasowujący ze stronikiem równoległym rozwartym
na końcu
Strojnik równoległy zwarty na końcu
Linia „główna”
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
Koniec linii
35
WYKŁAD TWCZ
Graficzna ilustracja
dopasowania yL za pomocą
obwodu z równoległym
strojnikiem zwartym na
końcu
Dwa rozwiązania !
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
36
WYKŁAD TWCZ
Graficzna procedura wyznaczenia długości strojników
reaktancyjnych równoległych – dwa rozwiązania !
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
37
WYKŁAD TWCZ
Obwód dopasowujący ze stronikiem szeregowym
rozwartym
Strojniki szeregowy rozwarty
na końcu
Linia „główna”
Prof. dr hab. Janusz A. Dobrowolski
Instytut Systemów Elektronicznych, Politechnika Warszawska
Rozwarcie
Koniec linii
38