Transcript combinatorial

Pengantar Teori
Peluang
Analisis combinatorial
Materi
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Analisis combinatorial
Aksioma Peluang
Peluang Bersyarat
Peubah Acak Diskret
Peubah Acak Continu
Peubah Acak yang Menyebar Bersama
Nilai Harapan
Topik Khusus
Referensi
• A first Course in Probability
Sheldon Ross
Macmillan Publishing Company
Penilaian
•
•
•
•
•
UAS
UTS
Kuis
Tugas
Responsi
(30%)
(30%)
(10%)
(20%)
(10%)
ANALISIS KOMBINATORIAL
Kaidah Dasar menghitung
Dalam kombinatorial ada dua kaidah dasar yang digunakan
untuk menghitung, yaitu kaidah penjumlahan (rule of sum)
dan kaidah perkalian (rule of product)
1. Kaidah Penjumlahan (rule of sum)
Bila percobaan 1 mempunyai m hasil percobaan yang mungkin
terjadi(atau memiliki sebanyak m kemungkinan jawaban)
dan percobaan 2 mempunyai n hasil percobaan yang
mungkin (atau memiliki sebanyak n kemungkinan jawaban),
maka bila hanya salah satu dari dua percobaan itu saja yang
dilakukan (percobaan 1 “atau” percobaan 2), maka terdapat
m+n hasil jawaban (atau memiliki m +n kemungkinan
jawaban)
Contoh1:
Seorang mahasiswa akan memilih satu mata kuliah yang
ditawarkan pagi dan sore. Untuk pagi ada 7 matakuliah dan
sore ada 5 matakuliah yang ditawarkan. Maka mahasiswa tadi
mempunyai 7+5 pilihan untuk memilih satu matakuliah
tersebut.
2.Kaidah Perkalian (rule of product)
Bila percobaan 1 mempunyai m hasil percobaan yang mungkin
terjadi(atau memiliki sebanyak m kemungkinan jawaban) dan
percobaan 2 mempunyai n hasil percobaan yang mungkin
(atau memiliki sebanyak n kemungkinan jawaban), maka bila
kedua percobaan1 “dan” percobaan 2 dilakukan , maka
terdapat mxn hasil jawaban (atau memiliki m xn kemungkinan
jawaban
1.
Pengertian Permutasi
suatu susunan data dengan memperhatikan /membedakan
urutan. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi aturan
perkalian.
Rumus:
1. Permutasi dari n objek seluruhnya:
nPn = n! = n. (n-1).(n-2)…2.1
= n.(n-1)!
2. Permutasi sebanyak r dari n objek:
n!
nPr =
(n-r)!
3. Permutasi keliling (circular permutation)
Sejumlah n objek yang berbeda dapat disusun secara
teratur dalam sebuah lingkaran dalam (n-1)! cara
4. Permutasi dari n objek yang tidak seluruhnya dapat
dibedakan:
n
n!
=
n1,n2,n3,…,nk
n1!n2!n3!...nk!
Contoh soal:
1. Ada berapa cara 3 buku dapat diurutkan ?
3! = 3.2.1 = 6 cara
2. Ada berapa cara 2 dari 4 buku dapat disusun ?
4!
4P2
=
4!
=
(4-2)!
4.3.2.1
=
2!
= 4.3 = 12 cara
2.1
3. 4 orang mahasiswa melakukan diskusi dengan membentuk
sebuah lingkaran, ada berapa cara urutan dari 4 orang tadi?
Jawab : (4-1)! = 3.2.1 = 6 cara
4. Dalam berapa cara kata “diskrit” dapat diurutkan?
jawab:
7!
7.6.5.4.3.2!
=
= 2520 cara
1!2!1!1!1!1!
2!
2. Kombinasi
Cara pengambilan r benda dari sekumpulan n benda.
n!
nC r =
r!(n-r)!
Contoh:
1. Ada berapa cara akan dipilih 2 orang dari 4 orang siswa?
Jawab:
4!
4.3.2! 12
=
=
=6
4C2 =
2!(4-2)! 2! 2!
2
Latihan:
1. Empat buah ujian dilakukan dalam periode enam hari.
Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan
sehingga tidak ada dua ujian atau lebih yang dilakukan pada
hari yang sama.
2. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5
angka berikut: 1,2,3,4,5 jika:
i. tidak boleh ada pengulangan angka
ii. Boleh ada pengulangan angka.
3. Suatu panitia akan dibentuk dengan jumlah 5 orang. Berapa
carakah pembentukan panitia tersebut dapat dilakukan jika
calon anggota terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita dan
panitia harus
a. terbentuk tanpa persyaratan lain
b. terdiri 3 pria dan 2 wanita
c. terdiri 2 pria dan 3 wanita
4. Terdapat 4 macam buku statistik, 3 macam buku
pemrograman dan 2 buku hardware. Ada berapa cara
menyusun buku-buku tsb?
5. Dari 6 orang pendiri suatu Partai, akan dipilih Ketua, Wakil
Ketua, Sekretaris dan Bendahara. Ada berapa macam
kemungkinan susunan struktur Pengurus Partai tersebut?
6. Enam orang duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa
kemungkinan urutan keenam orang tersebut?
7. Tentukan permutasi dari huruf-huruf “STATISTIK”
Binomial Theorem
• Contoh : Jabarkan (x+y)3
Multinomial Theorema
 x1
 x 2  ...  x r

n


( n1 ,..., n r )
n1  n 2  ...  n r  n
n

 n1 n 2
n

 x 1 x 2 ... x r r
 n 1 , n 2 ,..., n r 
Jumlah yang dimaksud adalah jumlah semua nonnegative
integer-valued vector sedemikian hingga
Contoh:
Jabarkan
n1  n 2  ...  n r  n
 x1  x 2  x 3  2
Multinomial Coeffisient
Jika n1 + n2 + … + nr = n, dan didefinisikan
Maka
merepresentasikan
banyaknya pembagian n objek yang berbeda ke r grup yang
berbeda di mana masing masing grup berukuran n1, n2, …, nr
Pembagian Bola dalam
Kantong
• Terdapat
kemungkinan hasil bila n bola yang berbeda
dibagi ke dalam r kantong yang berbeda
• Terdapat
positive integer-valued vector (x1, x2,…, xr)
yang berbeda yang memenuhi x1 + x2 +…+ xr=n, xi>0 i=1,…,r
• Terdapat
nonnegative integer-valued vector (x1, x2,…,
xr) yang berbeda yang memenuhi x1 + x2 +…+ xr=n
Contoh
1.
2.
3.
Terdapat 10 anak yang akan dibagi ke dalam 3 tim yaitu
tim A, B, dan C. Tim A terdiri dari 3 orang, tim B 3
orang dan tim C 4 orang. Ada berapa pembagian yang
mungkin?
Terdapat berapa banyak solusi nonnegative integervalued x1+x2 = 3 yang berbeda
Seorang investor memiliki uang 20 ribu dolar yang akan
diinvestasikan ke 4 kemungkinan investasi. Setiap
investasi harus dalam ribuan dolar. Jika seluruh
uangnya akan diinvestasikan, berapa banyak strategi
investasi yang mungkin? Bagaimana jika tidak harus
semua uangnya diinvestasikan
4. Terdapat berapa banyak cara jika 7 hadiah akan dibagikan 3
anak jika anak tertua mendapat 3 hadiah dan yang lain masing
– masing 2 hadiah
5. Jika 8 papan tulis yang sama akan dibagikan ke 4 sekolah,
berapa pembagian yang mungkin?Bagaimana jika setiap
sekolah minimal menerima 1 papan tulis?
6. Jika 8 guru baru akan dibagikan ke 4 sekolah, berapa
pembagian yang mungkin? Bagaimana jika setiap sekolah
masing – masing menerima 2 guru