Transcript PÁRHUZAMOS-E A PÁRHUZAMOS ?

PÁRHUZAMOS-E A PÁRHUZAMOS ?
Eukleidésztől
Bolyai Jánosig
A geometria a matematika
legősibb tudományága
Az emberiség fejlődése során – különösen a földművelés
általánossá válásával - egyre inkább szükségletté vált a
„földmérés” tudománya.
Távolságmérés (Menna felügyelő sírja,
kb. Ke. 1600)
Az ókori Egyiptom
A Nílus áradásával
rendszeresen visszatérő
feladat volt az elmosott
mezsgyék visszaállítása,
amihez pontos mérésre volt
szükség. Az tudjuk, hogy az
egyiptomiak ismerték a
Püthagoraszi
számhármasokat. Azt
azonban csak sejtjük, hogy a
Püthagorasz tétel
megfordításának elve alapján
„szerkesztettek” derékszögű
háromszöget.

A görög matematika alapjai
Thalész
(Ke. 624 - 548)
Püthagorasz
(Ke. 582 - 496)
A „nagy” megalapozók
Thalész nevéhez sok
alkalmazás fűződik
 A piramis magasságának
megmérése
 Hajók kikötőtől való
távolságának meghatározása
 Míg az egyiptomi, babiloni
matematikából nem
ismerünk bizonyításokat, ő
az első, aki nem elégszik
meg a tapasztalati
eljárásokkal, sok szemléletes
tételt bizonyít.




Püthagorasz és tanítványai a
püthagoreusok
A matematikával való
foglalkozás vallásos
tevékenység.
A háromszög szögeinek
összege két derékszög.
Sok szerkesztési eljárás – a
szabályos sokszögek
szerkesztése.
Mértani középarányos
szerkesztése.
Alexandriai Eukleidész
Ke. 365 - 300
A geometria atyja
Az ő híres matematikai
tankönyve az Elemek,
amelyben összefoglalja az
akkor ismert matematika
alapjait.
Az Elemekben a
geometriai objektumok
tulajdonságait kis számú
axiómából vezeti le.
“... annak, aki elemeket állít össze,
külön kell tárgyalnia a tudomány
princípiumait (az elveket), és külön
azokat a dolgokat, amelyeket az
előbbiekből vezet le.
A princípiumokról nem kell számot
adnia (ezeket nem kell bizonyítania).
De feltétlenül be kell bizonyítania
mindazt, amit a princípiumokból
következtet ...”
Nincs királyi út!
I. Ptolemaiosz királynak arra a kérdésére, hogy
miként lehetne a geometriát könnyen elsajátítani,
Eukleidész azt felelte:
„A geometriához nem vezet királyi út.”
Ezt még egy gondolattal megtoldotta:
„Munka nélkül nincs kenyér, sem geometria”
Geometriai alapfogalmak
A matematika, és ezen belül a geometria is azokat a
fogalmakat, amelyeket definiálni nem tud, de a
körülöttünk lévő világból absztrakció útján mégis
megalkot és használ, alapfogalmaknak nevezi. Az
alapfogalmakból kiindulva már tudunk pontos
definíciókat adni.
Ilyen alapfogalmak:
A pont, az egyenes, a vonal, a sík, a felület, a tér, az
illeszkedés.
Próbálkozhatunk értelmezésekkel, de szükségtelen,
mert a szemléletünk alapján elfogadjuk őket.
Eukleidészi szerkesztés és eszközei
De mi is az az axióma?
Az axióma olyan kiindulási feltételt jelent (például a filozófia
ágaiban, vagy a matematikában), amit adottnak veszünk az
érvelések során. Az axióma különféle okok miatt nem
kérdőjelezhető meg, megállapított alaptény, alapigazság.
Eukleidész 9 axiómát fogalmazott meg az Elemekben.
Olyan igazságokat, amelyeket a logikus gondolkodás érdekében
kényszerülünk elfogadni. A teljesség igénye nélkül néhány:
 Amik ugyanazzal egyenlők, azok egymással is egyenlők.
 Az egész nagyobb, mint a része.
 Két egyenes nem fog közre területet. Stb.
Az öt posztulátum(követelmény)
1.
2.
3.
4.
5.
Minden pontból minden ponthoz legyen egyenes
húzható.
Véges egyenes vonal egyenesben meghosszabbítható
legyen.
Minden középponttal és távolsággal legyen kör
rajzolható.
Minden derékszög egymással egyenlő.
Ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik
oldalon keletkező belső szögek összege két
derékszögnél kisebb, akkor a két egyenes végtelenül
meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre
a derékszögnél kisebb szögek vannak.
Mit jelent az 5. posztulátum?
A geometria újra axiomatizálása
Az eukleidészi axiómák és posztulátumok együtt jelentik az
EUKLIDÉSZI AXIÓMARENDSZERT.
A matematika tudományával foglalkozók több, mint 2000
évig nem tudtak tökéletesebbet alkotni, elfogadták, és úgy
ragaszkodtak hozzá, mint a geocentrikus világnézethez.
Csak a XIX. század végén fogalmazta meg DAVID HILBERT
német matematikus az axiómarendszerek követelményeit:
 Legyen teljes, azaz tartalmazza mindazokat az axiómákat, amelyek
szükségesek az általa megalapozott tudomány bármely tételéhez.
 Legyen ellentmondásmentes, azaz ne forduljon elő olyan tétel
amelynek helyessége és hamissága egyidejűleg igazolható.
 Legyenek az axiómák egymástól függetlenek, egyiket se lehessen
igazolni a másik alapján.
A Hilbert által átfogalmazott axiómák
David Hilbert
1862 - 1943
Az axiómarendszer öt
csoportja
 Illeszkedési axiómák
 Rendezési axiómák
 Egybevágósági axiómák
 Folytonossági axiómák
 Párhuzamossági axióma
A pirossal írt axiómák az
eukleidészi axiómáknak
felelnek meg.
Illeszkedési axiómák
 A és B ponthoz mindig tartozik egy a egyenes, amely mindkét pontra








illeszkedik.
A és B ponthoz nem tartozik több, mint egy olyan egyenes, amely az A, B
(mindkét) pontra illeszkedik.
Minden egyeneshez legalább két pont illeszkedik. Létezik olyan három pont,
amelyek nem illeszkednek egy egyeneshez.
Bármely három, nem egy egyeneshez illeszkedő ponthoz (A, B, C – hez)
tartozik legalább egy φ sík, amely mindhárom (A, B, C) pontra illeszkedik.
Bármely három, nem egy egyeneshez illeszkedő ponthoz (A, B, C – hez)
legfeljebb egy olyan sík tartozik, amely a három pont mindegyikéhez illeszkedik.
Ha egy a egyenesnek két pontja (A és B) rajta van egy φ síkon, akkor a összes
pontja rajt van a síkon.
Ha α és β síknak van egy közös P pontja, akkor legalább van még egy közös Q
pontja.(P ≠ Q)
Van legalább négy, nem egy síkhoz illeszkedő pont.
Minden síkhoz legalább 3 pont illeszkedik. És a párhuzamossági axióma?
A térszemléletünk számára ezek
természetesek
A
B
C
Illeszkedési axiómák
-sík
És a párhuzamossági axióma?
 Az euklideszi (vagy sík) geometriában:
Egy tetszőleges a egyenes és egy rá nem illeszkedő A
pont meghatározta síkon az A ponthoz illeszkedő
egyenesek legfeljebb egyike nem metszi az a
egyenest. A párhuzamossági axióma Eukleidésznél
 A Bolyai-Lobacsevszkij-féle (vagy hiperbolikus)
geometriában:
Egy tetszőleges a egyeneshez egy rá nem illeszkedő
A ponton keresztül legalább 2 olyan (különböző)
egyenes húzható, melyek nem metszik az adott
egyenest. A párhuzamossági axióma a nem eukleidészi geometriákban
A párhuzamossági axióma Eukleidésznél
A
b
A2
a
A1
És a párhuzamossági axióma?
A párhuzamossági axióma a nemeukleidészi geometriákban
c
A
b
a
Hogy is van ez?
Párhuzamos-e a
párhuzamos?
Párhuzamosság
A térszemléletünkhöz közeli – eukleidészi –
geometriában a tapasztalat alapján nem látunk csak egy
párhuzamost. Az A pontra illeszkedő, az a egyenessel
párhuzamos és a c-től különböző b egyenes már nem
lehet párhuzamos az a-val.
Ha azonban nem csupán látni, tapasztalni akarunk,
hanem az axiómákból következtetéseket levonni – ez
a dedukció -, akkor létezik a két párhuzamos.
A nem-eukleidészi geometria kidolgozói
Bolyai János
1802 – 1860
Nyikoláj Ivanovics
Lobacsevszkij
1792 - 1856
„Semmiből egy új, más világot
teremtettem”
Bolyai János 1820 és 1823 között dolgozta ki és írta meg
korszakalkotó felfedezését: a nem-eukleideszi geometriát,
amelyet abszolút, illetve hiperbolikus geometriának neveztek
neves kortársai.
A szakirodalom Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriának nevezi a
párhuzamossági axiómát tagadó geometriákat.
Apja, Bolyai Farkas matematikus és író.
Tudományos felfedezése 1832-ben Appendix (függelék)
címen apja könyvében jelent meg, melyet francia és német
nyelvre fordítottak le.
Az Appendix kézirata
Valamit a hiperbolikus geometriáról
Az eukleidészi geometria
síkgeometria. Amikor szerkesztünk
benne, akkor az axiómarendszerét
egy modellben alkalmazzuk.
A hiperbolikus sík negatív
görbülete miatt nem ágyazható be az
euklideszi térbe, de modellezhető
már az euklideszi síkban is. Több
modellje is létezik, mint a Kleinmodell, a hiperboloidmodell, és a
konform modellek.
A képen hiperbolikus paroboloid
látható háromszöggel és párhuzamos
egyenesekkel.
A hiperbolikus sík modelljei-1.
Beltrami-Klein-féle körmodell
 Sík: nyílt körlap
 Pontok: a nyílt körlap
pontjai
 Egyenesek: a körlap húrjai
végpontok nélkül. Ezek a
pontok végtelen távoli
pontok; halmazuk a
hiperbolikus sík határköre.
A hiperbolikus sík modelljei-2.
Konform körmodell
 Sík: nyílt körlap
 Pontok: a nyílt körlap
pontjai
 Egyenesek: az átmérők és a
határkört merőlegesen
metsző körívek. A többi
körív olyan hiperciklus,
ami nem egyenes.
A hiperbolikus sík modelljei-3.
Félgömb modell
 A Beltrami-Klein-féle
körmodell félgömbre
vetítésével kapható.
 Sík: nyílt félgömb
 Pontok: a nyílt félgömb
pontjai
 Egyenesek: a félgömb
egyenlítőjét merőlegesen
metsző körök. A többi
körív valódi hiperciklus.
A félgömb modell érdekességei
 Hiperbolikus sík parkettázása
háromszögekkel.
 A hiperbolikus háromszögek
szögösszege kisebb, mint 180
fok.
A gömbi geometria
A gömbi geometria nem azért kerül elő, hogy eggyel több
modellünk legyen, amit be lehet mutatni, hanem azért, hogy a
tanítványok geometriai szemléletmódját már a kezdetektől
fogva tágítsuk.
Ne csak az állandóan kéznél lévő, szemléletes síkgeometriával
találkozzanak, de legyen tapasztalásuk más típusú geometriáról
is.
Ezzel kinyithatunk egy olyan kaput, ami elvezethet a
hiperbolikus geometriáig.
A gömbi geometriát repülőgép-pilóták és hajóskapitányok
használják, amikor Föld körüli útjukon tájékozódnak.
Néhány jellemzője
 A gömbi geometria nem-
eukleidészi geometria.
 A gömbi geometriában az
egyenesek szerepét a gömb
főkörei veszik át.
 Létezik gömbi kétszög nevű
síkidom.
 A gömbháromszög
szögösszege nem 180 fok.
A LÉNÁRT GÖMB
 Olyan eszköz, amely
segítségével megismerhető
a gömbi geometria.
 Segítségével
összehasonlítható az
eukleidészi és egy nemeukleidészi geometria.
 Újszerű eszközhasználatot
tanulhatunk, taníthatunk.
A párhuzamosság nincs a gömbi
geometriában
Párhuzamos-e a párhuzamos?
Az eukleidészi geometriában csak egy
egyenes lehet párhuzamos egy tőle
különböző másik egyenestől.
A nem-eukleidészi geometriákban
azonban több is lehet, vagy egy sem.
Nincs királyi út!