Transcript Analytic Hierarchy Process (AHP)

A kockázat kezelése döntési
feladatokban
Kockázatos döntések
Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége
ismert. Pl. ötöslottó:
1 szelvény kitöltésével
• az ötös valószínűsége = 1:43 949 268 = 0.00000275%
• a négyes valószínűsége = 1:103 410 = 0.000967%
• a hármas valószínűsége = 1:1 231 = 0.081%
• a kettes valószínűsége = 1:44 = 2.273%
• egy vagy nulla találat valószínűsége = 97.65%
Kockázatos döntések
Példa: egy gazdálkodó, aki a következő szezonra
különböző terményfajták vetése mellett dönthet.
Jelölje a lehetséges 3 terményt a1, a2 és a3.
A döntésnél két lényeges szempontot vesz
figyelembe:
• X1 nettó hozam,
• X2 az aratásig eltelt idő
Kockázatos döntések
Az X1, X2 értékeit az időjárás, a piac és egyéb
véletlen események befolyásolják.
A lehetséges állapotokat jelölje:
• s1: gyenge
• s2: megfelelő
• s3: jó
Kockázatos döntések
A lehetséges állapotok valószínűségei:
• s1: 0.25
• s2: 0.5
• s3: 0.25
Kockázatos döntések
Az elmúlt évek alapján megbecsülhetők az egyes
állapotokhoz tartozó kételemű vektorok:
(hozam $/hektár ; vetés-aratás közötti hetek száma)
Terményfajták
Állapot
Valószínűség
s1: gyenge
a1
a2
a3
0.25
(-400 ; 16)
(10 ; 20)
(-100 ; 10)
s2: megfelelő
0.5
(80 ; 14)
(20 ; 18)
(0 ; 8)
s3: jó
0.25
(200 ; 12)
(50 ; 16)
(100 ; 8)
Kockázatos döntések
a1 → hozam:
hetek:
0.25 valószínűséggel -400
0.5 valószínűséggel 80
0.25 valószínűséggel 200
0.25 valószínűséggel 16
0.5 valószínűséggel 14
0.25 valószínűséggel 12
Kockázatos döntések
Kevert cselekvési lehetőségek:
Nem kizárólagosan választunk a1, a2 és a3 közül,
hanem mindegyikből valamennyit:
( λ1 · a1 ; λ2 · a2 ; λ3 · a3 )
(λ1, λ2, λ3 ≥ 0; λ1+ λ2+ λ3 = 1)
Hasznossági függvények
Szentpétervári paradoxon: egy szabályos pénzérmét
( ½ valószínűséggel fej, ½ valószínűséggel írás) addig
dobálunk, amíg fej nem lesz.
Ha már az első dobásra fejet kapunk, a nyeremény 1 $,
ha az eredmény írás, akkor újra dobunk.
Ha a második dobás eredménye fej, akkor a nyeremény
2 $, írás esetén újabb dobás következik. A nyeremény
(fej esetén) minden dobásnál duplázódik, tehát ha k-adik
dobásra lett legelőször fej az eredmény, akkor a kifizetés
2k−1 $.
Hasznossági függvények
A játékos nyereménye:
1/2 valószínűséggel 1 $,
1/4 valószínűséggel 2 $,
1/8 valószínűséggel 4 $,
és így tovább.
Kérdés:
Milyen áron lehet ezt a játékot árulni, azaz
mekkora összeget fizessen a játékos a
belépésért?
Hasznossági függvények
Könnyen ellenőrizhető, hogy a kifizetés várható
értéke, azaz a játék ára végtelen, ami ebben a
megfogalmazásban meglepő, hiszen senki sem
játszana olyan játékot, amelynek az ára nem
véges (pl. 4, 10 vagy 100 $).
Hasznossági függvények
Miért nem tükrözik a játékosok preferenciái a matematikai
várható értékből következő eredményeket?
• a nagyon kis valószínűségű eseményt (pl. 100-adik
dobásra lesz először fej) az emberi gondolkodás már
elhanyagolhatónak tekinti, akkor is, ha a hozzá tartozó
nyeremény óriási (299 $).
• a mindennapi realitástól elrugaszkodott, csillagászati
összeg kezelése. Valóban 8-szor olyan annyira
csábító-e egy
2103 ≈ 1.01 · 1031 $-os nyeremény, mint a
2100 ≈ 1.27 · 1030 $-os
egy olyan játékosnak, aki nem is látott még néhány száz
vagy ezer $-nál többet?
A bizonyossági egyenértékes
Bináris lottó:
P valószínűséggel nyerünk W összeget,
(1-P) valószínűséggel L összeget.
[ P : W ; 1-P : L ]
Mi az az S összeg, amiért ezt a játékot hajlandóak
vagyunk eladni?
Más szóval: számunkra közömbös, hogy a biztos
S összeget kapjuk meg, vagy beszállunk a
játékba:
S ~ [ P : W ; 1-P : L ]
A bizonyossági egyenértékes
Példa: Áll az alku
A bank időnként felajánlja a játékosnak,
hogy adott összegért megvásárolja tőle a
táskáját (azaz magát a játékot).
A bizonyossági egyenértékes
Terményfajták
Állapot
Valószínűség
a1
a2
a3
s1: gyenge
0.25
c1 = (-400 ; 16)
c2 = (10 ; 20)
c3 = (-100 ; 10)
s2: megfelelő
0.5
c4 = (80 ; 14)
c5 = (20 ; 18)
c6 = (0 ; 8)
s3: jó
0.25
c7 = (200 ; 12)
c6 = (50 ; 16)
c9 = (100 ; 8)
A gazda meg tudja mondani azokat a βi valószínűségeket,
amely mellett:
ci ~ [ (1- βi) : c1 ; βi : c9 ]
A várható hasznosság maximalizálása
Kimenetel
βi
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
0
0.2
0.1
0.8
0.3
0.5
0.9
0.6
1
Terményfajták
Állapot
Valószínűség
a1
a2
a3
s1: gyenge
0.25
c1 = (-400 ; 16)
c2 = (10 ; 20)
c3 = (-100 ; 10)
s2: megfelelő
0.5
c4 = (80 ; 14)
c5 = (20 ; 18)
c6 = (0 ; 8)
s3: jó
0.25
c7 = (200 ; 12)
c6 = (50 ; 16)
c9 = (100 ; 8)
U(a1) = 0.25 U(c1) + 0.5 U(c4) + 0.25 U(c4) = 0.625
U(a2) = 0.350 ;
U(a3) = 0.525 ;
A hasznossági függvény előállítása
A döntéshozóval történő dialógus:
E: Ha 200 $ biztos nyereségre tehet szert, vagy egy olyan játékban
vehet részt, amelyben 50% eséllyel nem nyer semmit és 50%
eséllyel 1000 $ a nyereménye, akkor melyik lehetőséget választja?
D: Ekkor számomra a játék a vonzóbb lehetőség.
E: Csökkentsük most a játék vonzerejét azzal, hogy a 200 $ biztos
nyeremény mellett egy olyan játékban vehet részt, ahol 90% eséllyel
nem nyer, 10% eséllyel 1000 $ a nyereménye.
D: Ebben az esetben számomra a biztos 200 $ a kedvezőbb.
E: Legyen egy újabb változatban a 200 $ biztos nyeremény melletti
játékban 70% annak az esélye, hogy nem nyer, 30% eséllyel pedig
nyer 1000 $-t.
D: Most bármelyik opció megfelel: szívesen játszom, de a 200 $ biztos
nyeremény is ugyanazt az értéket képviseli számomra.
200 ~ [ 0.7 : 0 ; 0.3 : 1000 ] → β200 = 0.3
A hasznossági függvény előállítása
Kérdezzük meg a döntéshozót az alábbiakról:
800 ~ [ 0.2 : 0 ; 0.8 : 1000 ] → β800 = 0.8
300 ~ [ 0.6 : 0 ; 0.4 : 1000 ] → β300 = 0.4
600 ~ [ 0.3 : 0 ; 0.7 : 1000 ] → β600 = 0.7
Kockázati magatartások
Semleges kockázati magatartás:
készpénz egyenértékes = várható érték
Pl.
500 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ]
Kockázatkerülő típus:
készpénz egyenértékes < várható érték
Pl.
300 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ]
Kockázatkedvelő típus:
készpénz egyenértékes > várható érték
Pl.
600 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ]
Kockázati magatartások
VP
várható
pénzérték
CE
bizonyossági
egyenértékes
Kockázati magatartások
Példa kockázatkedvelő magatartásra
Ötöslottó:
175 ~ [ 0.9765 : 0 ; 0.0273 : 800 ; 0.00081 : 7500 ;
…]
Pl. a múlt hétre kiszámolt várható pénzérték:
30 Ft
(Nem volt ötös, így halmozódik a főnyeremény.)
Kockázati magatartások
Példa kockázatkerülő magatartásra
Biztosítás:
-10000 ~ [ 0.999 : 0 ; 0.001 : -5000000 ]
Kockázati magatartások
Példa kockázatsemleges magatartásra
Áll az alku
Ha már csak két kis értékű táska maradt,
pl. 100000 Ft és 200000 Ft, akkor a bank
150000 Ft-ot ajánl.
A Neumann-Morgenstern
hasznosság-elmélet
Xp a kockázatos lehetőségek (lottók) halmaza
xp  Xp
xp lottó: adottak az ri valószínűségek és a
hozzájuk tartozó xi értékek (nyeremény
vagy veszteség) (i=1...n)
A Neumann-Morgenstern axiómarendszer
1. axióma:
a
reláció gyenge rendezés a kockázatos
lehetőségek Xp halmazán.
A Neumann-Morgenstern axiómarendszer
2. axióma:
Ha xp
xq, akkor
xp
( α:xp ; (1- α):xq )
minden α  (0,1) esetén.
xq
A Neumann-Morgenstern axiómarendszer
3. axióma (folytonosság):
Ha xp xq xr, akkor létezik olyan α,β  (0,1),
hogy
( α:xp ; (1- α):xr )
xq
(β:xp ; (1- β):xr )
A Neumann-Morgenstern axiómarendszer
4. axióma (sorrendtől való függetlenség):
( α:xp ; (1- α):xq ) ~
minden α  (0,1) esetén.
( (1- α):xq ; α:xp )
A Neumann-Morgenstern axiómarendszer
5. axióma:
Ha xs = ( α:xp ; (1- α):xq ) , akkor
(β:xs ; (1- β):xq ) = (αβ:xp ; (1- αβ):xq )
5.1. Tétel: Az Xp-n értelmezett
• xp  xq akkor és csak akkor, ha U(xp)  U(xq)
(5.1)
és
• U(:xp , (1-):xq) = U(xp)+ (1-)U(xq),   (0,1) (5.2)
tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény akkor
és csak akkor létezik, ha a NM 1-5. axiómák bármely xp, xq
és xr  Xp kockázatos lehetőség együttesre teljesülnek.
Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéig
egyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvény
akkor és csak akkor fogja teljesíteni az (5.1) és (5.2)
feltételeket, ha
• U'(xp) =  U(xp) + ,
(5.3)
ahol ,   R és  > 0.
Bernoulli-elv:
a várható hasznosság maximalizálása
(a várható érték maximalizálása helyett)
A Bernoulli-elv feloldja a szentpétervári
paradoxont (mondjuk logaritmikus
hasznossági függvénnyel.)