Transcript 11-12-13. Előadás

11. Előadás
Térbeli infinitezimális izometriák
Térbeli Killing mezők
Korábban láttuk, hogy egy térbeli infinitezimális
izometria Killing mezeje X(x)=Mx+b alakú, ahol
𝑀𝑇 =-M.
Speciális koordináta rendszerben
 ha M a nulla mátrix akkor egy inifinitezimális eltolás X;
 különben
0 −𝜔 0
𝟎
X(x)= 𝜔 0 0 x+ 𝟎
0
0 0
𝒗
1. ha v=0, akkor egy z-tengely körüli 𝜔-szögsebességű
infinitezimális forgatás,
2. ha v nem 0, akkor még z-tengely körüli infinitezimális
csavarmozgás adódik.
Az 1. esetben az infinitezimális forgatás tengelyét momentán
tengelynek mondjuk.
Egy általános koordináta rendszerben
0 −𝑎 −𝑏
M= 𝑎 0 −𝑐
𝑏 𝑐
0
esetén Mx= (-c,b,-a)×(x,y,z). Ha ω:=√(a²+b²+c²) és
(−𝑐,𝑏−𝑎)
m=
, és így ‖m‖=1, akkor Mx=ωm×x. Ekkor
𝜔
X(x)=Mx+b Killing-mező esetén:
• ha b=0, akkor az origón átmenő m irányvektorú egyenes
lesz a momentán tengely;
• ha b nem 0, akkor b=𝑏𝑝 +𝑏𝑚 felbontásban 𝑏𝑝 =0, akkor az
m×𝑏𝑚
ponton átmenő m irányú egyenes lesz a tengely;
𝜔
• ha 𝑏𝑝 nem 0, akkor nincs momentán tengely.
Térbeli folytonos mozgásoknál
Sík
momentán centrum
álló\mozgó pólusgörbe
Tér
momentán tengely
álló\mozgó pólusfelület
Definíció Egy felületet vonalfelületnek nevezünk, ha
r(u,v)=j(u)+vδ(u) alakban paraméterezhető, ahol j, δ vektor
értékű függvények és ‖δ‖=1.
Definíció Legyen r(u,v) és 𝑟(u,v) két vonalfelület fenti alakú
paraméterezése. Ekkor azt mondjuk, hogy 𝑟 (u,v) legördül az
r(u,v) felületen, ha létezik egy olyan φ𝑢 , u-tól függő folytonos
izometria, melyre v↦φ𝑢 (𝑟(u,v)) egyenese megegyezik a v↦
r(u,v) egyenessel és az (𝑢, 𝑣)↦φ𝑢 (𝑟(𝑢, 𝑣)) felület érinti az r
felületet ezen egyenes mentén. Továbbá a t↦ r(u(t),v(t)) és
t↦φ𝑢(𝑡) (𝑟 (u(t),v(t))) görbék azonos hosszúak tetszőleges
(u(t),v(t)) görbére.
Ha a 𝜑𝑡 ¹, 𝜑𝑡 ² folytonos izometriák a Σ₀ rögzített koordináta
rendszert a Σ𝑡 ¹, Σ𝑡 ² koordináta rendszerekbe viszi és 𝑋𝑖 (t)
jelöli a 𝜑𝑡 𝑖 -hez tartozó Killing-mezőt, akkor:
Állítás Ha a Σ𝑡 ¹ mint álló koordináta rendszerben leírjuk
Σ𝑡 ² mozgásának t időpillanatban vett momentán tengelyét,
az az X₂(t)-X₁(t) vektormező momentán tengelye lesz.
Robot geometria
A robotkarok típusok:
 Merev szegmensek (vagy link, a kar merev része)
 Csukló (hajlítható összekötő rész)
 A robot keze (robot keze lehet szerszám, fogókar...)
Nyílt láncú robotkar egy olyan robot, melynek az alaptestéhez
kapcsolódik egy csukló 0. csukó, majd egy szegmens 1. szegmens
majd 1. csukló, 2. szegmens, 2. csukló ... n. csukló, ami a robot keze.
A csuklók lehetnek forgók vagy eltoló csukló (prismative), teleszkópikus
csukló .
A robot munkatere azok a térbeli / síkbeli pontok, ahova eljuttatható a
robot keze.
Az elemi csuklók állapota 1 paraméterrel leírható: a szegmensek szögével,
csavarodási szöggel, hosszal
Az RRR jelölés azt jelenti, hogy három forgatható csuklója van egy nyílt
láncú robot karnak. Az RPP típusban forgó-teleszkópikus-teleszkópikus
csuklók vannak egymás után stb.
Egy RRR típusú robotkar
Direkt kinematikai probléma: Ismerjük az elöbbi paramétereit a
csuklóknak (elfordulási szög eltolási hossz), adjuk meg, hogy hol
van a robot keze!
Inverz kinematikai probléma: Tudjuk hol a kar végpozíciója mik a
csukló paraméterek, melyekre a kar „úgy és oda” mozog ahova
akarjuk
Sebesség kinematika: Kontrolálni szeretnénk a mozgás közben a
csukló sebességét
Útkeresési probléma: vannak akadályok, amiket ki kell kerülni
mozgás közben a robotkar minden részének
…
Denavit-Hartenbherg konvenció
Olyan koordinátarendszereket keresünk, melyek kielégítik a
kövezkező feltételeket:
 Minden linkhez mereven hozzá rögzítünk egy Descartes féle
koordináta rendszert (azaz ebben a koordináta rendszerben ennek a
linknek a pontjai végig fixen maradnak a robot kar mozgása
közben). Az i-edik link koordináta rendszere (𝑂𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ).
 A 𝑧𝑖 -tengely egybeesik az i-edik csukló "hatástengelyével„
 Az 𝑥𝑖 -tengely merőlegesen metszi a 𝑧𝑖−1 -tengelyt (és
természetesen a 𝑧𝑖 -tengelyt is, hiszen (𝑂𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ) ortonormált).
Állítás: Mindig lehetséges a DH-konvenció szerint
megválasztani a koordináta rendszereket.
Állítás: Az i és i+1 koordináta rendszerek közötti áttérést 4 adat
írja le (𝑑𝑖 , 𝜗𝑖 , 𝑎𝑖 , 𝛼𝑖 ) ezek közül:
• 𝑎𝑖 nem változik a robotkar mozgásánál;
• ha az i. csukló forgató, akkor 𝑑𝑖 nem változik;
• ha az i. csukló eltoló, akkor az eltolás mértékét adja meg 𝑑𝑖 ;
• az 𝛼𝑖 konstans, mivel ez csak az i. link geometriájától függ;
• A 𝜗𝑖 a forgó ízületek változója.
Azaz minden ízületnél a 4 változó közül 3 konstans és 𝜗𝑖 vagy 𝑑𝑖
változhat csak attól függően, hogy forgó vagy csúszó ízületről
van-e szó.
Nézzük meg hogyan adható meg az egyik koordinátarendszerbeli
pont a másikban. Használjuk a 4-dimeziós homogén koordinátáit
a pontoknak. Ekkor egy 4×4-es mátrixal megadhatóak a lineáris
transzformációk. Vegyünk az i+1. koordináta rendszerben egy
(𝑢𝑖+1 , 𝑣𝑖+1 , 𝑤𝑖+1 ) koordinátájú pontot. Ekkor ennek a
𝑇
(𝑢𝑖+1 , 𝑣𝑖+1 , 𝑤𝑖+1 , 1) homogén koordináta felel meg. Írjuk fel
ennek homogén koordinátáit az (𝑂′𝑖 , 𝑥′𝑖 , 𝑦′𝑖 , 𝑧′𝑖 )
koordinátarendszerben.
Ennek a mátrixa:
Az (𝑂′𝑖 , 𝑥′𝑖 , 𝑦′𝑖 , 𝑧′𝑖 ) és az (𝑂𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ) koordináta rendszerek
közötti áttérés mátrixa pedig:
Azaz az (𝑂𝑖+1 , 𝑥𝑖+1 , 𝑦𝑖+1 , 𝑧𝑖+1 ) és az (𝑂𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 )
koordináta rendszerek közötti áttérés mátrixa:
Ezt a mátrixot jelölje 𝑀𝑖 amit 𝑀𝑖 (𝑑𝑖 , 𝜗𝑖 , 𝑎𝑖 , 𝛼𝑖 ) alakban is jelölhetünk,
hiszen ezektől a mennyiségektől függ.
Összefoglalva a két koordináta rendszer közötti áttérés:
Mivel a robot kezének koordinátája az (𝑂𝑛 , 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) koordináta
rendszerben konstans lesz végig, ha ezek (𝑢𝑛 , 𝑣𝑛 , 𝑤𝑛 ) akkor a direkt
feladat megoldása:
Két dimenziós RR robatkar
Egy egyszerű példán nézzük meg a direkt és inverz
kinematikai problémát:
Ha az előző 3-dimenziós leírást használjuk, akkor a ztengely a síkra merőleges lez, így a z-tengelyek 𝛼𝑖
csavarodási szöge 0, ami a 4x4-es mátrix 3. sorát és
oszlopát kinullázza (a 3. koordináta végig 0 erre is
gondolhatunk). Vagy 2-dimenzóban az előző módszer
alapján az áttérési mátrixokra a következő adódik:
Ekkor a kéz koordinátái:
Ez a direkt feladat
megoldása. Az inverzhez
tekintsük a következő
ábrát:
Ha egy konkrét robotkarunk van és egy-egy adott ponthoz véges sok
olyan paraméter sorozat van, melyekre a robotkar keze a megfelelő
pozícióban van, akkor kiszámolható az inverz függvény „elemien”.
Ha (x,y) a kéz koordinátája a 0. koordináta rendszerben, akkor a
Pithagorasz tételből és a cosinus tételből az 𝑂2 𝑂0 és az x tengely
szöge 𝛼 és az 𝑂1 𝑂0 𝑂2 szög 𝛽 :
Innen 𝜃0 = α ± 𝛽 cosinus tételből:
Direkt és inverz
sebességkinematikai probléma
Legyenek adottak a (𝑑𝑖 , 𝜗𝑖 , 𝑎𝑖 , 𝛼𝑖 ) paraméterek a t
időpillanatban és a deriváltjaik (𝑑′𝑖 , 𝜗′𝑖 , 𝑎′𝑖 , 𝛼′𝑖 ). A direkt
sebességkinematika feladata, hogy megmondja milyen
sebesség vektorral mozdul el a robotkar. A kar mozgását:
Amit deriválva kapjuk a
következő egyenletet:
Másként felírva arra is gondohatunk, ha a mátrixokat összeszorozzuk,
hogy a 4n változótól függő módon felírva:
Amit deriválva pl. az első sorban:
Ezek a föggvények az 𝑀𝑖
mátrixokból számíthatóak ki.
Így a 4n változótól függő
3x4n-es Jacobi Mátrix J
(előző ismert függvényekből
áll) és a 4n db ismert
paraméter változás adja a
sebesség vektort. Ez a direkt
feladat megoldása.
Az inverz sebességkinematikai feladat a következő. Ismert a kéz
helyzete és adott sebességgel szeretnénk a kezet mozgatni. Milyen
sebességgel változtassuk a D-H paramétereket?
Ehhez az előző egyenlet bal oldalát adjuk meg és a J Jacobi mátrix
is ismert lesz a 4n dimenzós jobb oldali oszlop vektort keressük.
Egyrészt egy korábbi állítás miatt tudjuk, hogy nem minden
paraméter fog változni, azaz a 4n ismeretlenből 3n biztosan 0 lesz.
Tudjuk, hogy ekkor a Gauss elimináció akkor ad megoldást, ha a
nem nulla ismeretlenekhez tartozó oszlopvektorok által kifeszített
térben van a sebesség vektor. Hogy kezelni tudjuk azokat a
helyzeteket, ahol nem megoldható a feladat bevezetjük a következő
definíciót:
Definíció Szinguláris konfigurációnak olyan konfigurációt nevezünk,
ahonnan a robotkar keze nem mozgatható el akármilyen
sebességvektorral.
A szinguláris pozíciók megtalálása nem lineáris algebrai feladat.
Azért izgalmasak a szinguláris pozíciók, mert, ha ismerjük
ezeket és adott a kéz helyzete és egy másik célpozíció (azaz
egy inverz kinematikai feladatot akarunk megoldani), akkor
keresünk egy olyan γ(t) görbét, melyen a kéz fog haladni úgy,
hogy elkerüli a szinguláris pozíciókat (vagy azokon alkalmas
irányban halad keresztül). Ekkor az előbbi egyenlet bal oldala
ismert lesz, jobb oldalának pedig kezdeti értéke lesz ismert.
Azaz egy differenciál egyenletet kapunk, melyet numerikus
módszerekkel megpróbálhatunk megoldani (sikekrül is ).
Szinguláris pozíció a 2-dimenziós
RR robotkarra
Korábban leírtuk a kar mozgását a következő módon:
Amiből azt kapjuk a Jacobi mátrixra, hogy:
Ez akkor nem megoldható ebben az esetben, ha a Jacobi mátrix
determinánsa 0, azaz a két oszlop vektora összefüggő, azaz ebben
az esetben, ha párhuzamosak:
Ami akkor teljesül, ha:
Azaz szinguláris egy pozíció, ha:
Geometriailag akkor, ha teljesen ki van nyújtva, vagy vissza van
hajlítva az 1. indexű csukló.