Transcript Теорема.
Теорема Пифагора Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: Синус и косинус Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе. Синус угла А обозначается sin A. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе. Косинус угла А обозначается cos A. BC AC sin A , cos A . AB AB Тангенс и котангенс Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему.Тангенс угла А обозначается tg A. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему. Котангенс угла А обозначается сtg A. BC AC tgA , ctgA . AC BC Теорема косинусов Теорема. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними: c2= a2 + b2 – 2ab cos C. Теорема синусов Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Причем отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. AB AC BC 2 R. sin C sin B sin A Упражнение 1 У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а синус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет. Ответ: 10 см и 6 см. Упражнение 2 В прямоугольном треугольнике ABC sin A = 1/3, AB = 6. Найдите BC. Ответ: 2. Упражнение 3 В прямоугольном треугольнике ABC sin A = 3/4, BC = 6. Найдите AB. Ответ: 8. Упражнение 4 В прямоугольном треугольнике ABC cos A = 2/3, AB = 6. Найдите AC. Ответ: 4. Упражнение 5 В прямоугольном треугольнике ABC cos A = 2/3, AC = 6. Найдите AB. Ответ: 9. Упражнение 6 В прямоугольном треугольнике ABC tg A = 2/3, AC = 6. Найдите BC. Ответ: 4. Упражнение 7 В прямоугольном треугольнике ABC tg A = 3/4, BC = 6. Найдите AC. Ответ: 8. Упражнение 8 В прямоугольном треугольнике ABC AC = 6. Найдите BC. Ответ: 4. 3 ctg A 2 , Упражнение 9 Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите гипотенузу. Ответ: 5. Упражнение 10 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13. Один из его катетов равен 5. Найдите другой катет. Ответ: 12. Упражнение 11 В треугольнике ABC AC = BC = 2, угол C равен 120о. Найдите высоту, опущенную на сторону AB. Ответ: 1. Упражнение 12 В треугольнике ABC AC = BC = 2, угол A равен 30о. Найдите высоту, опущенную на сторону BC. Ответ: 1. Упражнение 13 В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 90о, AB = 6. Найдите высоту, опущенную на сторону AB. Ответ: 3. Упражнение 14 В треугольнике ABC AB = BC, угол B равен 120о, AC = 4. Найдите высоту, опущенную из вершины C. Ответ: 2. Упражнение 15 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10. Высота, опущенная на основание, равна 8. Найдите основание. Ответ: 12. Упражнение 16 В треугольнике ABC AB = 6, BC = 4, угол B равен 90о. Найдите медиану, проведенную из вершины C. Ответ: 5. Упражнение 17 Сторона равностороннего треугольника равна . 2 3 Найдите биссектрису этого треугольника. Ответ: 3. Упражнение 18 В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90о, угол B равен 30о, катет AC равен 3 . Найдите биссектрису, проведенную из вершины A. Ответ: 2. Упражнение 19 В треугольнике ABC угол A равен 60о, угол B равен 45о, сторона AC равна 6 . Найдите сторону BC. Ответ: 3. Упражнение 20 Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в 120о, если прилежащие к нему стороны равны 6 и 10. Ответ: 14. Упражнение 21 В прямоугольном треугольнике ABC AB = 6, 2 2 Найдите BC. cos A . 3 Ответ: 2. Упражнение 22 В прямоугольном треугольнике ABC AB = 6, 5 Найдите AC. sin A . 3 Ответ: 4. Упражнение 23 В прямоугольном треугольнике ABC AB = 5, 3 tgA . Найдите AC. 4 Ответ: 4. Упражнение 24 В прямоугольном треугольнике ABC Найдите 5sinA. Ответ: 3. 3 tgA . 4 Упражнение 25 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а разность катетов равна 2. Найдите меньший катет. Ответ: 6. Упражнение 26 Найдите высоту, опущенную на гипотенузу, прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20. Ответ: 12. Упражнение 27 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25, а высота, опущенная на нее, равна 12. Найдите больший катет этого треугольника. Ответ: 20. Упражнение 28 В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны 1 и 3. Найдите его меньший острый угол. Ответ: 30o. Упражнение 29 В треугольнике ABC AB = 10, угол C равен 90о. Найдите медиану, проведенную из вершины C. Ответ: 5. Упражнение 30 В треугольнике ABC угол C равен 90о, AC = 15, BC = 20, CH – высота. Найдите отрезок AH. Ответ: 9. Упражнение 31 В треугольнике ABC угол A равен 60о, угол B равен 45о, высота CH равна 3 3 . Найдите сторону AB. Ответ: 2. Упражнение 32 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 25, основание равно 30. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне. Ответ: 24. Упражнение 33 В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на боковую сторону, делит ее на отрезки равные 7 и 2, считая от вершины. Найдите основание треугольника. Ответ: 6. Упражнение 34 В треугольнике ABC AC = BC, AB = 1, угол C равен 36о. Найдите биссектрису, проведенную из вершины A. Ответ: 1. Упражнение 35 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 2 6 , основание равно 6 . Найдите медиану, проведенную к боковой стороне. Ответ: 3. Упражнение 36 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 6 10 , основание равно 3 10 . Найдите биссектрису, проведенную к боковой стороне. Ответ: 10. Упражнение 37 В треугольнике ABC угол C равен 90о, угол B равен 30о, биссектриса, проведенная из вершины A, равна 3 . Найдите сторону AB. Ответ: 3. Упражнение 38 6 , В треугольнике ABC сторона AC равна сторона BC равна 3, угол A равен 60о. Найдите угол B. Ответ: 45o. Упражнение 39 В треугольнике ABC AB = 7, BC = 5, AC = 3. Найдите угол C. Ответ: 120o. Упражнение 40 Одна из сторон треугольника равна 13, а угол, лежащий против этой стороны, равен 120о, сумма двух других сторон треугольника равна 15. Найдите наименьшую сторону треугольника. Ответ: 7. Упражнение 41 В прямоугольном треугольнике ABC cos A = 3/5, AB = 10. Найдите AC. Ответ: 6. Упражнение 42 У прямоугольного треугольника один катет равен 6 см, а синус противолежащего ему угла равен 2/3. Найдите гипотенузу. Ответ: 9. Упражнение 43 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите больший катет. Ответ: 8. Упражнение 44 В треугольнике ABC AC = 4, угол A равен 30о. Найдите высоту, опущенную на сторону BC. Ответ: 2. Упражнение 45 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 13. Высота, опущенная на основание, равна 12. Найдите основание. Ответ: 10. Упражнение 46 В прямоугольном треугольнике ABC AB = 10, tgA = 3/4 . Найдите AC. Ответ: 8. Упражнение 47 В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен 90о. Найдите медиану, проведенную из вершины C. Ответ: 5. Упражнение 48 В треугольнике ABC BC = 3, AB = равен 45о. Найдите угол A. Ответ: 60o. 6 , угол С Упражнение 49 В треугольнике ABC AB = 3, AC = 2, BC = Найдите угол A. Ответ: 60o. 7 . Упражнение 50 В треугольнике ABC угол B равен 30о, AB = 3 , биссектриса, проведенная из вершины A, равна 1. Найдите угол C. Ответ: 90o.