Transcript Метод на лицата в задачи за триъгълник

1
Като приравним два различни израза за
лицето на триъгълник,получаваме нова
връзка между основните елементи на
триъгълника
Този подход за решаване на задачи се
нарича метод на лицата
2
Ще покажем метода чрез няколко
примера
•
•
1.зад. Дадени са страните на триъгълник .Да се намерят:R, r, hc
За решаването на тази задача ще използваме 4 формули за
лице на триъгълник
• Първо намираме лицето по Херонова формула
S
S 
p. p  a p  b p  c
c.hc
2.S
 hc 
2
c
S  p.r  r 
S 
S
p
a.b.c
a.b.c
 R 
4.R
4S
3
•
2.зад.Даден е триъгълник АВС със страни
а=12, b=8,=600.Намерете ℓc
Задачата може да се реши по
няколко начина:
 Да се намери страната с и тогава ℓc
 Ще покажем,че може да се намери ℓc
без да се търси с
 SABC=SAHC+SBHC
S ABC 
S AHC 
a.b. sin 
 S ABC 
2
12 .8.
2
b.lc . sin 30
 S AHC 
2
3
2  24 3
8.lc .
2
1
2  2l
c
С
=600
в=8
а=12
ℓc
А
S BHC 
Н
a.lc . sin 30
 S BHC 
2
24 3  2lc  3lc  lc 
В
12.lc .
2
1
2  3l
c
24 3
5
4
Заключение:
За да намерим
ъглополовящата на един ъгъл
необходимо е да знаем
страните които заключват
ъгъла и неговата големина
Получаваме нова формула за
ъглополовящата
lc 
a.b. sin 
a  b  sin 

2a.b. co s
ab

2
2
5
3.зад. В ∆АВС е вписана полуокръжност,с център върху
АВ.Намерете радиусът на тази окръжност,
ако а=6 ,в=8 и =1500
• За да решим задачата ще приложим метода на
лицата
С
• SABC=SAOC+SBOC
b
S ABC 
S AOC
a.b. sin 
 S ABC
2
1
6.8.
2  12

2
b.r
8.r

 S AOC 
 4r
2
2
А
S BOC 
12=4r+2r
r
r
a
В
O
a.r
6.r
 S BOC 
 3r
2
2
6r=12
r=2
6
Задачи за
самостоятелна
работа
1зад. В АВС :а=13,в=14 и с=15.
Намерете R, r, h b
2зад. В АВС : а=35, в=14, ℓc =12.
Намерете лицето на АВС
3зад. В АВС : в=25,с=26, hа =24.
Намерете лицето на АВС
7
1зад.
а=13
в=14
с=15
p
13  14  15
42

 21
2
2
р-а=21-13=8; р-в=21-14=7; р-с=21-15=6
S  21.8.7.6  3.7.2.4.7.2.3  3.4.7  84
r
S
84
r
4
p
21
5
a.b.c
13.14.15 65
R
R

4.S
4.84
8
6
2
6
2S
2.84
hb 
 hb 
 12
b
14
2зад.
lc 
а=35
в=14
ℓc =12.
cos
S=?
в

2
а
Н
S AHC 
2
b.lc . sin
2

12.35  14 
6.49
3


2.35.14
35.14
5


 3
sin 2
 cos2
 1  sin 2
 1  
2
2
2
5

9
16

4
sin 2
 1

 sin

2
25
25
2
5
2
SABC=SAHC+SBHC
ℓc
А


С

2

2  cos   lc .a  b 
ab
2
2.a.b
2a.b. cos
В

2 S
AHC
4
14.12.
5  336

2
5
S BHC 
SABC=168+67,2=235,2
4

35.12.
5  168
2 S
BHC 
2
2
a.lc . sin
9
3зад.
АНС правоъг.СН2=АС2-АН2
в=25
СН2=252-242СН2=625-576=49СН=7
с=26
ВНА правоъг.ВН2=АВ2-АН2
hа =24.
ВН2=262-242ВН2=676-576=100ВН=10
S=?
С
в
А
ВС = ВН+НС
Н
hа
с
p
В
ВС =10+7=17
25  26  17
68

 34
2
2
р-а=34-17= 17; р-в=34-25=9; р-с=34-26=8
S  34.17.9.8  2.17.17.9.2.4  4.3.17  204
hа
А
с
ВС=ВН-СН
Н
в
С
В
ВС =10-7=3
р=27;р-а=24; р-в=2; р-с=1
S  27.24.2.1  3.9.3.2.4.2  3.3.4  36