Transcript Document
ЕГЭ
2012ГОД
Задача B6
Прототип №27327
Применение тригонометрии в
геометрических задачах
1 ctg
2
2 1
ABC
sin BAC
sin3
2
ABC
Зенина Алевтина Дмитриевна,
учитель математики
г.Тюмень, 2011 г.
СОДЕРЖАНИЕ
1)Прототип задания В6 (№ 27327) 1.1 (1 способ)
1.1 (2 способ)
1.1 (3 способ)
1.1 (4способ)
1.1 (5способ)
2)Аналогичное задание B6 (№ 33633) 2.1 2.2
ОБОЗНАЧЕНИЯ:
-теоретические сведения №1
-следующий слайд
-теоретические сведения №2
-возврат к слайду
-теоретические сведения №3
-содержание
1.1
ПРОТОТИП №27327.
1 СПОСОБ РЕШЕНИЯ
2
В треугольнике ABC АС=ВС=27, AH — высота, sin BAC
3
Найдите BH.
1 способ решения:
C
sin BAC sin ABC
2
∆ АВС - равнобедренный
т . к . ВАС АВС ,
3
СР – высота в равнобедренном треугольнике.
27
27
ВСР : sin АВС
18
Н
СР
СВ
СР
27
2х
3 х 27 х 9 СР 18
3х
Используем теорему Пифагора для прямоугольного ∆СРВ :
A
Р
B
РВ
27
2
18
2
( 27 18 )( 27 18 )
АН
АВН : sin АВС
АВ
18√5
По теореме
Пифагора:
ВН
АВ
2
АН
2
АН
18 5
2
СВ˂НВ ═> ∆АВС - тупоугольный
2
2х
3х
х 6 5 АН 12 5
( 18 5 ) ( 12 5 )
2
(6 3 5) (6 2 5)
2
9 45 9 5 АВ 18 5
2
2
( 6 5 ) ( 9 4 ) 30
2
Смотри 2 способ решения:
Ответ: 30
1.1
ПРОТОТИП №27327.
2 СПОСОБ РЕШЕНИЯ
2
В треугольнике ABC АС=ВС=27, AH — высота, sin BAC
3
Найдите BH.
2 способ решения:
C
sinBAC sinABC
27
27
Н
( ВАС АВС )
3
cosBAC cosABC;
2
2
2
2
cos ABC 1 sin ABC cosABC 1
3
Δ ВСР : cos АВС
A
Р
18√5
2
B
РВ
СВ
РВ
27
Δ АВН : cos АВС
ВН
АВ
СВ˂НВ ═> ∆АВС - тупоугольный
Смотри 3 способ решения:
5
3
5
9
РВ 9 5 АВ 18
ВН
18 5
5
3
5
3
5
ВН 30.
Ответ: 30
1.1
ПРОТОТИП №27327.
3 СПОСОБ РЕШЕНИЯ
В треугольнике ABC АС=ВС=27, AH — высота,
Найдите BH.
3 способ решения:
C
2
sin BAC sin ABC
sin BAC
2
.
3
т . к . ВАС АВС ;
3
АВН : sin АВС
27
27
АН
АВ
2
sin
1 ctg АВС
2
A
B
Р
ctg ABC
2
5
3х
1
2
3
2
AH
BH
12
5
5x
12
5
5
ctg ABC
2
2
ctgABC
5 2x x 6 5
2x
BH
18
х 6 5 АН 12
ABC
4
BH
АН
1
1 ctg ABC
Н
2х
5 6 5 30
1
4
1;
9
5
2
.
АВН : ctgАВС
ВН
АH
Ответ: 30
5х
2х
.
1.1
ПРОТОТИП №27327.
4 СПОСОБ РЕШЕНИЯ
В треугольнике ABC АС=ВС=27, AH — высота, sin BAC 2
3
4 способ решения:
Найдите BH.
C
Надо найти ВН. Пусть ВН = х
Тогда СН = 27 - х
∆АСН – прямоугольный. Используя теорему Пифагора выразим АН.
АН2 = АС2 – СН2 ; АН2 = 272 – (27-х)2 ; АН2 = 272 – 272 + 54х -х2 ;
АН2 = 54х - х2 . ∆ АВС - равнобедренный
27
27
54 х х
A
2
2
sinBAC sinABC
Н
3
т.к. ВАС АВС,
Рассмотрим ∆ АВН.
х
соsABH
B
Найдём соsАВН;
1 sin ABH
2
2
1
3
cosABH
то
2
5
3
tgABH
cosABH
3
5
3
2
5
.
Т.к.
;
tgABH
54 х - х
5
BH
AH
54 х х
2
2х
5(54х –х2) = 4х 2;
,
2
х
5
2
sinABH
2
х(9х – 270) = 0
х ≠ 0 ═> х = 30
Ответ: 30
1.1
ПРОТОТИП №27327.
5 СПОСОБ РЕШЕНИЯ
2
В треугольнике ABC АС=ВС=27, AH — высота, sin BAC
3
Найдите BH.
5 способ решения:
В ∆ АСН: АН2 = АС2 – СН2 ;
Пусть СН = х, то ВН = 27 + х ;
АН2 = 729 - х2 ;
Н
729 х
х
27
729 х
2
2
sinBAC sinABC ; ( ВАС АВС)
АН
АН 3
АВ2 =АН2 + НВ2 ;
sinABC
;
АВ
АВ
2
2
АВ =729 - х + (27 + х)2 ;
C
2
АН
АН2 = 272 – х2 ;
АВ2 =729 - х2 + 729 + 54х + х2 ;
АВ2 =54х +1458;
27
729 х
АВ
2
729 - х
2
54 х 1458
B
A
54 х 1458
729 х
2
54 х 1458
4
9
;
(729-х2)9 =4(54х+1458);
х2 + 24х -81 = 0;
П теореме Виета: х1 = -27(постор.корень) и х2 = 3.
ВН = 27+3 = 30
Ответ: 30
2
3
;
2.1
Задание В6(№33633)
Прототип № 27327
1
В треугольнике ABC АС=ВС=12, AH — высота, sin BAC
2
Найдите BH.
C
cosABC cosABH
12
3
B
12√3
Δ АВН :
AB
2
Итак:
( ВАС АВС )
cosAB Н
2
BH
AB
;
1
1
2
2
3
4
3
2
2
ВH
AB
Найдем АВ. Рассмотрим прямоугольный ∆ВСР.
Δ ВСР : соsАВС
3
.
2
2
Р
BH
2
cos ABC 1 sin ABC cosABC
12
Н
A
1
sinBAC sinABC
ВН
12 3
РВ
СВ
РВ
12
ВН 6 3 3 ВН 18.
3
2
РВ 6 3 АВ 12 3
СВ˂НВ ═> ∆АВС - тупоугольный
2 способ решение этой задачи:
Ответ: 18
2.2
Задание В6(№33633)
Прототип № 27327
1
В треугольнике ABC АС=ВС=12, AH — высота, sin BAC
2
Найдите BH.
2 способ решения:
sinBAC sinABC
6
Н
60о
∟САВ = ∟СВА = 30о ;
В ∆ АВС: ∟АСВ = 180о - 2 ∙ 30о = 120о.
Внешний угол: ∟АСН = 180о - 120о = 60о;
C
12
∆АСН – прямоугольный: ∟САН = 30о;
30о
30о
30о
B
A
СН = 6;
2
Следовательно в равнобедренном ∆ АВС
120о
12
1
ВН = ВС + СН = 12 + 6 =18.
Катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла в 30°, равен
половине гипотенузы
Ответ: 18
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ №1
Прямоугольный треугольник – треугольник, один из углов которого прямой.
Сторона с, лежащая против прямого угла, - гипотенуза. Стороны а и в - катеты
sin α
А
с
b
C
┐
соs α
α
а
В
tg α
а
с
b
a
b
c
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ №2
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию,
является и медианой, и биссектрисой.
СР – высота, медиана, биссектриса.
С
Медиана треугольника, проведенная из данной вершины - отрезок
прямой, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей
стороны треугольника
А
Р
В
Высота СР разделила ∆ АВС на два равных
прямоугольных треугольника
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ №3
Основное тригонометрическое тождество
1. sin cos 1
2
2
cos 1 sin
2
2
cos 1 sin
2
2. 1 tg 2
1
cos
1 ctg
2
2
1
sin
2
СКОРО ЕГЭ!
Еще есть время подготовиться!
АВТОР:
ЗЕНИНА АЛЕВТИНА ДМИТРИЕВНА
УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ
Использованы материалы сайтов:
http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main.html?view=Pos
http://live.mephist.ru/show/mathege2010/view/B1/solved/