Transcript Document

ЕГЭ
2012ГОД
Задача B6
Прототип №27327
Применение тригонометрии в
геометрических задачах
1  ctg
2
2 1
ABC
 
sin BAC
sin3
2
ABC
Зенина Алевтина Дмитриевна,
учитель математики
г.Тюмень, 2011 г.
СОДЕРЖАНИЕ
1)Прототип задания В6 (№ 27327) 1.1 (1 способ)
1.1 (2 способ)
1.1 (3 способ)
1.1 (4способ)
1.1 (5способ)
2)Аналогичное задание B6 (№ 33633) 2.1 2.2
ОБОЗНАЧЕНИЯ:
-теоретические сведения №1
-следующий слайд
-теоретические сведения №2
-возврат к слайду
-теоретические сведения №3
-содержание
1.1
ПРОТОТИП №27327.
1 СПОСОБ РЕШЕНИЯ
2
В треугольнике ABC АС=ВС=27, AH — высота, sin BAC 
3
Найдите BH.
1 способ решения:
C
sin BAC  sin ABC 
2
∆ АВС - равнобедренный
т . к . ВАС   АВС ,
3
СР – высота в равнобедренном треугольнике.
27
27
 ВСР : sin АВС 
18
Н
СР
СВ
СР


27
2х
 3 х  27  х  9  СР  18
3х
Используем теорему Пифагора для прямоугольного ∆СРВ :
A
Р
B
РВ 
27
2
 18
2

( 27  18 )( 27  18 ) 
АН
 АВН : sin АВС 
АВ
18√5
По теореме
Пифагора:
ВН 

АВ
2

 АН
2
АН
18 5

2
СВ˂НВ ═> ∆АВС - тупоугольный
2
2х
3х
 х  6 5  АН  12 5
( 18 5 )  ( 12 5 ) 
2
(6  3  5)  (6  2  5) 
2

9  45  9 5  АВ  18 5
2
2
( 6  5 )  ( 9  4 )  30
2
Смотри 2 способ решения:
Ответ: 30
1.1
ПРОТОТИП №27327.
2 СПОСОБ РЕШЕНИЯ
2
В треугольнике ABC АС=ВС=27, AH — высота, sin BAC 
3
Найдите BH.
2 способ решения:
C
sinBAC  sinABC 
27
27
Н
(  ВАС   АВС )
3
cosBAC  cosABC;
2
2


2
2
cos ABC  1  sin ABC  cosABC  1    
3
Δ ВСР : cos АВС 
A
Р
18√5
2
B
РВ
СВ

РВ
27
Δ АВН : cos АВС 
ВН
АВ
СВ˂НВ ═> ∆АВС - тупоугольный
Смотри 3 способ решения:
5

3

5
9

 РВ  9 5  АВ  18
ВН
18 5

5
3
5
3
5
 ВН  30.
Ответ: 30
1.1
ПРОТОТИП №27327.
3 СПОСОБ РЕШЕНИЯ
В треугольнике ABC АС=ВС=27, AH — высота,
Найдите BH.
3 способ решения:
C
2
sin BAC  sin ABC 
sin BAC 
2
.
3
т . к . ВАС   АВС ;
3
 АВН : sin АВС 
27
27
АН
АВ
2
sin
1  ctg АВС 
2
A
B
Р
ctg ABC 
2
5
3х
1
2
 
3
2
AH

BH
12

5
5x
 12
5
5
 ctg ABC 
2
2
 ctgABC 
5  2x  x  6 5
2x
BH 
18
 х  6 5  АН  12
ABC
4
BH
АН

1
1  ctg ABC 
Н
2х

5  6 5  30
1
4
 1;
9
5
2
.
 АВН : ctgАВС 
ВН
АH

Ответ: 30
5х
2х
.
1.1
ПРОТОТИП №27327.
4 СПОСОБ РЕШЕНИЯ
В треугольнике ABC АС=ВС=27, AH — высота, sin BAC  2
3
4 способ решения:
Найдите BH.
C
Надо найти ВН. Пусть ВН = х
Тогда СН = 27 - х
∆АСН – прямоугольный. Используя теорему Пифагора выразим АН.
АН2 = АС2 – СН2 ; АН2 = 272 – (27-х)2 ; АН2 = 272 – 272 + 54х -х2 ;
АН2 = 54х - х2 . ∆ АВС - равнобедренный
27
27
54 х  х
A
2
2
sinBAC  sinABC 
Н
3
т.к.  ВАС   АВС,
Рассмотрим ∆ АВН.
х
соsABH 
B
Найдём соsАВН;
1  sin ABH
2
2
1 
3
cosABH 
то
2

5
3
tgABH 
cosABH

3
5
3

2
5
.
Т.к.
;
tgABH 
54 х - х

5
BH
AH
54 х  х
2
 2х
5(54х –х2) = 4х 2;
,
2
х
5
2
sinABH
2
х(9х – 270) = 0
х ≠ 0 ═> х = 30
Ответ: 30
1.1
ПРОТОТИП №27327.
5 СПОСОБ РЕШЕНИЯ
2
В треугольнике ABC АС=ВС=27, AH — высота, sin BAC 
3
Найдите BH.
5 способ решения:
В ∆ АСН: АН2 = АС2 – СН2 ;
Пусть СН = х, то ВН = 27 + х ;
АН2 = 729 - х2 ;
Н
729  х
х
27
729  х
2
2
sinBAC  sinABC  ; ( ВАС   АВС)
АН
АН 3
АВ2 =АН2 + НВ2 ;
sinABC 
;
АВ
АВ
2
2
АВ =729 - х + (27 + х)2 ;
C
2
АН 
АН2 = 272 – х2 ;
АВ2 =729 - х2 + 729 + 54х + х2 ;
АВ2 =54х +1458;
27
729  х
АВ
2

729 - х
2
54 х  1458

B
A
54 х  1458
729  х
2
54 х  1458

4
9
;
(729-х2)9 =4(54х+1458);
х2 + 24х -81 = 0;
П теореме Виета: х1 = -27(постор.корень) и х2 = 3.
ВН = 27+3 = 30
Ответ: 30
2
3
;
2.1
Задание В6(№33633)
Прототип № 27327
1
В треугольнике ABC АС=ВС=12, AH — высота, sin BAC 
2
Найдите BH.
C
cosABC  cosABH 
12
3
B
12√3
Δ АВН :
AB
2
Итак:
(  ВАС   АВС )
cosAB Н 
2


BH
AB
;
1
1 
2
2

3
4

3
2
2
ВH
AB
Найдем АВ. Рассмотрим прямоугольный ∆ВСР.
Δ ВСР : соsАВС 
3
.
2
2
Р
BH
2
cos ABC  1  sin ABC  cosABC 
12
Н
A
1
sinBAC  sinABC 
ВН
12 3
РВ
СВ

РВ
12

 ВН  6 3  3  ВН  18.
3
2
 РВ  6 3  АВ  12 3
СВ˂НВ ═> ∆АВС - тупоугольный
2 способ решение этой задачи:
Ответ: 18
2.2
Задание В6(№33633)
Прототип № 27327
1
В треугольнике ABC АС=ВС=12, AH — высота, sin BAC 
2
Найдите BH.
2 способ решения:
sinBAC  sinABC 
6
Н
60о
∟САВ = ∟СВА = 30о ;
В ∆ АВС: ∟АСВ = 180о - 2 ∙ 30о = 120о.
Внешний угол: ∟АСН = 180о - 120о = 60о;
C
12
∆АСН – прямоугольный: ∟САН = 30о;
30о
30о
30о
B
A
СН = 6;
2
Следовательно в равнобедренном ∆ АВС
120о
12
1
ВН = ВС + СН = 12 + 6 =18.
Катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла в 30°, равен
половине гипотенузы
Ответ: 18
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ №1
Прямоугольный треугольник – треугольник, один из углов которого прямой.
Сторона с, лежащая против прямого угла, - гипотенуза. Стороны а и в - катеты
sin α 
А
с
b
C
┐
соs α 
α
а
В
tg α 
а
с
b
a
b
c
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ №2
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию,
является и медианой, и биссектрисой.
СР – высота, медиана, биссектриса.
С
Медиана треугольника, проведенная из данной вершины - отрезок
прямой, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей
стороны треугольника
А
Р
В
Высота СР разделила ∆ АВС на два равных
прямоугольных треугольника
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ №3
Основное тригонометрическое тождество
1. sin   cos   1
2
2
cos   1  sin 
2
2
cos    1  sin 
2
2. 1  tg 2  
1
cos
1  ctg  
2

2
1
sin 
2
СКОРО ЕГЭ!

Еще есть время подготовиться!
АВТОР:
ЗЕНИНА АЛЕВТИНА ДМИТРИЕВНА
УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ
Использованы материалы сайтов:
http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main.html?view=Pos
http://live.mephist.ru/show/mathege2010/view/B1/solved/