Transcript 1 - SlideBoom

Правильная
призма
Типовые задачи
ЕГЭ - В9
http://gorkunova.ucoz.ru
№ 1 В правильной четырёхугольной призме (А…D1) известно, что AC1 = 2BC .
Найдите угол между диагоналями BD1 и CA1 . Ответ дайте в градусах.
B1
C1
BD1 ∩ CA1 = 0
BD1 , CA1  BCD1A1
BCD1A1 - прямоугольник
A1
D1
A1
D1
Диагонали прямоугольника равны
и точкой пересечения делятся пополам
O
O
x
Пусть ВС = х, тогда АС1 = 2х
B
C
D
x
значит, ОВ = ОС = ВС = х
B
A
600
ВОС - равносторонний
Углы равностороннего треугольника по 600
(BD1, CA1) = ВОС = 600
Ответ: 600
x
C
№ 2 В правильной треугольной призме (А…С1) все ребра которой равны 3 .
найдите угол между прямыми АА1 и ВC1 . Ответ дайте в градусах.
C1 Основания призмы – равносторонние треугольники
A1
Боковые грани призмы - квадраты
Найти (АА1, ВС1)
B1
A
С1
В1
АА1 = СС1
3
C
В
3
(АА1, ВС1) = (СС1, ВС1) = ВС1С
B
ВС1 – диагональ квадрата ВВ1С1С
ВС1С – острый угол равнобедренного, прямоугольного ВС1С (С = 900)
Острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника равны 450
Ответ: 450
С
№ 3 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1,
найдите расстояние между точками В и Е .
Рассмотрим ВЕ в правильном шестиугольнике:
1
А
B1
A1
1
1
C1
1
F
F1
B
C
F
C
1
1
1
D
Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят
D
E
O
1
1
E
A
1
1
1
D1
E1
B
его на 6 равносторонних треугольника со стороной 1.
ВЕ = ЕО + ОВ
ВЕ = 1 + 1 = 2
Ответ: ВЕ = 2
№ 4 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1,
найдите угол ACC1 . Ответ дайте в градусах.
ACC1 = 900
B1
A1
C1
в правильной призме боковое ребро
F1
D1
B
E1
A
перпендикулярно основанию призмы,
а значит всем прямым, которые лежат
в основании
C
СС1  (А…Е)
F
D
АС  (А…Е)
E
Ответ: 900
№ 5 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1,
найдите угол DAB . Ответ дайте в градусах.
Основания призмы – правильные шестиугольники
B1
A1
C1
F1
A
D1
B
A
O
F
E1
B
C
C
E
F
D
D
DAB = OAB = 600
E
Наибольшие диагонали правильного 6-угольника, делят его на 6 равносторонних
треугольника углы которых по 600
Ответ: 600
№ 6 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1,
найдите тангенс угла AD1D . Ответ дайте в градусах.
А
B1
A1
1
C1
1
O
F
F1
E1
A
E
C
C
1
D1
B
B
D
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника
называется отношение противолежащего катета
F
D
E
к прилежащему катету
AD – противолежащий катет AD1D
DD1 – прилежащий катет AD1D
AD
tgAD1 D 
2
DD1
Ответ: 2
№ 7 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны √5,
найдите расстояние между точками В и Е1 .
ВE1 – гипотенуза ВEE1 (E = 900), ЕЕ1 = √5
BE1  BE 2  EE12
B1
A1
C1
Рассмотрим ВЕ в правильном шестиугольнике:
F1
D1
его на 6 равносторонних треугольника со стороной √5.
E1
B
Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят
ВЕ = ЕО + ОВ
A
C
F
ВЕ = √5 + √5 = 2√5
D
А
B
√5
E
BE1  20  5  25  5
√5
O
F
C
√5
E
Ответ: ВЕ1 = 5
D
№ 8 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 8,
найдите угол между прямыми FА и D1E1 . Ответ дайте в градусах.
Основания призмы – правильные шестиугольники
Найти (FA, E1D1)
Боковые грани призмы - квадраты
B1
A1
C1
F1
D1
FA ║ CD
FA = CD
(FА, E1D1) = (СD, ED) = EDС
E1
B
E1D1 ║ ED
E1D1 = ED
B
A
C
C
O
F
D
E
1 способ:
по формуле угла правильного многоугольника
( n  2 ) 1800
n 
n
О
A
F
D
E
2 способ:
Наибольшие диагонали правильного 6-угольника, делят его
В нашем случае n = 6, подставляем
В формулу, получим 6 = 1200
Ответ: 600
на 6 равносторонних треугольника, углы которых по 600
EDС = CDO + EDO = 600 + 600 = 1200
тогда угол между прямыми равен 600
№9 В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1,
найдите расстояние между точками А и Е1 .
AE1 – гипотенуза AEE1 (E = 900)
AE1  AE 2  EE12
B1
A1
C1
Рассмотрим АЕ в правильном шестиугольнике:
F1
E1
D1
Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят
его на 6 равносторонних треугольника со стороной 1.
B
АЕ = 2 . АМ
1
C
A
где АМ – высота равностороннего AOF
1
1 способ: по т. Пифагора:
F
D
А
B
2 способ: АМ = АF . sin600 = 1 . √3/2 = √3/2
A
C
M
D
АЕ2 = 4 . ¾ = 3
1
F
E
АМ2 = AF2 – FM2 = 1 – ¼ = ¾
E
O
F
АЕ2 = 4 . АМ2
AE1  3  1  4  2
600
0,5
M
O
Ответ: АЕ1 = 2