Transcript ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ТЕТРАЭДРА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ
ТЕТРАЭДРА И
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Определения
 Секущая плоскость тетраэдра
(параллелепипеда) - любая плоскость, по обе
стороны от которой имеются точки данного
тетраэдра (параллелепипеда).
 Сечение тетраэдра (параллелепипеда) -
многоугольник, сторонами которого являются
отрезки, по которым секущая плоскость
пересекает грани.
Сечения тетраэдра
Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то его
сечениями могут быть только
 треугольники
 четырёхугольники.
Сечения параллелепипеда
Параллелепипед имеет шесть граней.
Его сечениями могут быть
 треугольники, четырёхугольники (рис. а),
 пятиугольники (рис.б),
 шестиугольники (рис. в).
а)
С
в)
б)
В
E
С
G
F
А
D
В
В
E
D
С
D
E
А
F
А
Сечения параллелепипеда
 На
рисунке
б)
секущая
плоскость
пересекает
две
противоположные
грани
(переднюю и заднюю) по
отрезкам AB и CD, а две другие
противоположные грани (левую
и правую) - по отрезкам DE и
BC,
AB || CD и AE || BC.
б)
С
D
В
E
А
Сечения параллелепипеда
AB || ED,
AF || CD,
BC || EF.
в)
D
С
E
В
F
А
Построение сечений
 Для построения сечения достаточно построить
точки пересечения секущей плоскости с
рёбрами тетраэдра (параллелепипеда).
 После
чего
нужно
провести
отрезки,
соединяющие каждые две построенные точки,
лежащие в одной и той же грани.
Сечения тетраэдра
Задача 1.
На ребрах AB, BD и CD
тетраэдра
ABCD
отмечены точки M, N
и
P.
Построить
сечение
тетраэдра
плоскостью MNP.
D
N
P
С
В
M
А
Сечения тетраэдра
 Пусть MNP ∩ ABC = a
 M є a (т.к. лежит в обеих
плоскостях)
 ВС є BDC NP є BDC
 1) Пусть BC ∩ NP = E
E є a (т.к. лежит в
обеих плоскостях)
ME = a
ME ∩ AC = Q
MNPQ - сечение
D
N
P
E
В
С
Q
M
А
Сечения тетраэдра
2) BC || NP
ML || NP
ML ∩ AC = Q
MNPQ - сечение
D
P
N
С
В
L
Q
M
А
Сечения тетраэдра
Задача 2.
Точка М лежит на
боковой
грани
ADB
тетраэдра
DABC.
Построить
сечение
тетраэдра плоскостью,
проходящей через точку
М параллельно грани
ABC.
D
M
С
В
А
Сечения тетраэдра
Построим прямую a так
что M є a
a ∩ DC = P, a ∩ DA = Q
Построим прямую b так
что P є b
b ∩ DB = R
Треугольник PQR искомое сечение.
D
P
С
R
M
Q
А
b
В
a
Постройте сечения тетраэдра
Постройте сечения
D1
D1
C1
C1
M
N
A1
A1
B1
M
B1
C
D
C
D
K
A
B
A
B

Постройте сечение
Построение:
1) MN
2) NK
3) MP ||NK
4) KH ||MN
5) PH
6) MNKHP - искомое
сечение
D1
C1
N
A1
B1
K
C
D
M
H
B
A
P

Постройте сечение
Построение:
1) MN, NK
2) MN∩AD=X
3) XY ||NK
4) XY∩AB=P
5) XY∩BC=Q
6) MP, PQ
7) QH ||MN
8) KH
9) MNKHQP - искомое
сечение
K
D1
C1
N
H
A1
B1
M
C
D
A
X
Q
P B
Y