Transcript 5) 2 +
МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Решение заданий В9 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2013 года Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова №1 Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 7, AA1 = 6. Решение. С1 Диагональ прямоугольного D1 параллелепипеда равна В1 А1 сумме квадратов трех его измерений: BD12 = AB2 + BC2 + BB12 BD12 = AB2 + AD2 + AA12 6 BD12 = 52 + 72 + 62 = 7 D С = 25 + 49 + 36 = 110 А 5 В Ответ: 110. №2 Найдите расстояние между вершинами A и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 12, AA1 = 5. Решение. С1 Диагональ грани D1 прямоугольного В1 А1 параллелепипеда равна сумме квадратов двух его измерений (по теореме 5 Пифагора в п/у ADD1): 2 = AD2 + DD 2 АD 1 1 12 D С АD12 = AD2 + AA12 4 АD12 = 122 + 52 = 132 А В АD1 = 13 Ответ: 13. №3 Найдите угол AC1C прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 15, A1D1 = 8, AA1 = 17. Ответ дайте в градусах. А1 8 С1 D1 В1 17 С D А 15 В Решение. Угол AC1C найдем из п/у AСС1, в котором известен катет СС1 = АА1 = 17, а катет АС найдем по теореме Пифагора в п/у AВС: АС2 = AВ2 + ВС2 AC2 = 152 + 82 = 172 AC = 17. Значит AСС1 − р/б, AC1C = 45. Ответ: 45. №4 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 41. Найдите расстояние между точками F и B1. E1 D1 F1 А1 E В1 D F А 41 В Решение. Расстояние между точками F и B1 найдем из п/у FBB1, С1 в котором известен катет BB1 = 41, а катет FB является меньшей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 41√3. По теореме Пифагора в п/у FBB1 : FB1 2 = FВ2 + FB12 С FB 2 = (41√3)2 + 412 = 1 = 412(3 + 1) = 412 ∙ 22; FB1 = 41 ∙ 2 = 84. Ответ: 84. №5 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 29√5. Найдите расстояние между точками A1 и D. E1 D1 F1 В1 А1 E D F А 29√5 В Решение. Расстояние между точками D и A1 найдем из п/у AA1D, С1 в котором известен катет AA1 = 29√5, а катет AD является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 58√5. По теореме Пифагора в п/у AA1D : DA1 2 = DA2 + AA12 С DA 2 = (29√5)2 + (58√5)2 = 1 = 292(5 + 20) = 292 ∙ 52; DA1 = 29 ∙ 5 = 145. Ответ: 145. №6 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 30. Найдите тангенс угла AD1D. D1 E1 С1 F1 В1 А1 E D F С А 30 Решение. Рассмотрим п/у AD1D, в котором известен катет DD1 = 30, а катет AD является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 60. tgAD1D = AD : DD1 = 60 : 30 = 2 В Ответ: 2. №7 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 20. Найдите угол СВЕ. Ответ дайте в градусах. E1 D1 С1 F1 В1 А1 D E С F А 20 Решение. Рассмотрим п/у СВЕ, в котором известен катет ВС = 20, а катет ВЕ является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 40. cosСВЕ = ВС : ВЕ = 20 : 40 = 0,5 СВЕ = 60 В Ответ: 60. №8 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 31. Найдите угол С1СЕ1. Ответ дайте в градусах. D1 E1 С1 F1 В1 А1 D E С F А 31 В Решение. Рассмотрим п/у С1СЕ1 , в котором известен катет СС1 = 31, а катет С1Е1 является меньшей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 31√3. tgС1СЕ1 = E1С1 : CC1 = = 31√3 : 31 = √3 СВЕ = 60 Ответ: 60. №9 Найдите расстояние между вершинами D и В1 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. А2 3 В2 D2 2 С2 6 D1 12 А1 С1 Решение. Рассмотрим п/у В1ВD, в котором катет BB1 = 12 – 6 = 6, а катет BD2 = AD2 + AB2 = 32 + 62 = 45 DB12 = DB2 + BB12 = 45 + 36 = 81 DB1 = 9. В1 А D 6 В С Ответ: 9. №10 Найдите квадрат расстояния между вершинами D и В2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. А2 D2 6 В2 2 Решение. Рассмотрим п/у DD2В2, в котором катет DD2 = 5, а катет B2D22 = A2D22 + A2B22 B2D22 = 62 + 22 = 40 DB22 = DD22 + B2D22 = 25 + 40 = 65. С2 1 D1 5 А С1 А1 В1 D Ответ: 65. 6 В С №11 Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. D2 А2 В2 5 А 2 3 Решение. Рассмотрим п/у DD2С2, в котором катет DD2 = 5, а катет D2С2 = 3 DС22 = DD22 + D2С22 DС22 = 25 + 9 = 34. С2 D1 С1 А1 В1 D Ответ: 34. 8 В 4 С №12 Найдите расстояние между вершинами C и B2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. А2 3 D2 2 С2 В2 М D1 12 А1 С1 В1 А D 6 6 С В Решение. Достроим до прямоугольного параллелепипеда как на рисунке. Рассмотрим п/у B2СМ, в котором катет МС = 12, а катет B2М2 = B2C22 + C2М2 = = 32 + (6 – 2)2 = 25 B2C2 = B2M2 + MC2 = = 25 + 122 = 169 B2C = 13. Ответ: 13. №13 А2 Найдите квадрат расстояния между вершинами А2 и С1 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. D2 12 В2 А1 14 D1 В1 D А 14 7 С 2 В Решение. Достроим до прямоугольного параллелепипеда как на рисунке. Рассмотрим п/у А2С1М, М в котором катет С1 МС1 = 14 – 12 = 2, а катет А2М2 = A2D22 + D2М2 = 12 = 122 + 142 = 340 A2C12 = A2M2 + MC12 = = 340 + 4 = 344. С Ответ: 344. Используемые материалы • http://mathege.ru/or/ege/Main − Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года