Transcript FEM 1D

1D Wärmeleitung mit FEM
Rudolf Höfler
Robert Leithner
Georg Winkler
Das Problem
d
2
u(x, t)

u(x, t)
 2
t
x 2
Neumann RB am linken Rand:
u(0, t)
 1 , t
x
Dirichlet RB am rechten Rand:
u(L, t)  1 , t
1D Wärmeleitung mit FEM
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Das Rezept
• Aufstellen des linearen Gleichungssystems
– Zeitintegration  Crank-Nicholson
– Ortsdiskretisierung FEM
(Garlerkin Methode, schwache Formulierung)
• Lösen des linearen Gleichungssystems
– Iterativer Löser: Einzelschrittverfahren mit
Überrelaxation (SOR-Methode)
1D Wärmeleitung mit FEM
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Crank-Nicholson
u(x, t)
 Lu(x, t) 
t
1D Wärmeleitung mit FEM
u n 1  u n
 Lu n
t
u n 1  u n
 Lu n 1
t
u n 1  u n 1
1
 Lu n 1  Lu n
t
2
2
explizit
implizit
Crank-Nicholson
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FEM (Idee)
u(x, t)
 Lu(x, t)  0
t
L
 u(x, t)


Lu(x,
t)
dx  0
0  t

N lineare Gleichungen für N Unbekannte
u(x, t)  u ii 
Koeffizientenmatrix dünn besetzt
 i, j  1K N 
  j

Koeffizienten=„Standardintegrale“ über Basisfkt.
RB einfach einzubauen
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FEM (Bsp Wärmeleitung)
 2x u   t u  0
L
L
0
0
2

 x u j    t u j  0
uu
  x u j     x u x  j  
j  0

0
t
0
0
L
L
L
L
L
L
1
1
  x u j   u i    x i x  j  u i  i j  u i  i j  0

0
t 0
t 0
0
L
L
 L
 1 L
L
1
u i     x i x  j   i j   u i  i j   x u j 
0
t 0
 0
 t 0
A ji ui  b j (u)
vorgegeben am Neumann-Rand
unbestimmt am Dirichlet-Rand
0 sonst
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FEM (Form Crank-Nicholson)
L
L
 1 L

 1 L

L
1
1
u i   i j     x i x  j   u i   i j     x i x j     x u j 
0
2 0
2 0
 t 0

 t 0

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FEM (Matrix assemblieren)
0
L
Node 1
2
3
4
Gl1
X
X
0
0
u1
X
Gl2
X
X
X
0
u2
X
Gl3
0
X
X
X
u3
Gl4
0
0
X
X
u4
i
|i-j|=1
=
X
X
j
L
   
x
i
x
j
0
i=j
L
 
i
j
0
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FEM(Integrale elementweise
auswerten)
1  
0  1  
0

en
1
1
,i  j
h
h

1
1
h




dx





hd



0 x i x j
0 h  i h  j
  1 ,i  j

 h
h
,i  j
h
h

3


dx



hd



0 i j
0 i j
 h ,i  j

6
1D Wärmeleitung mit FEM
i, j  [0,1]
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FEM (RB einbringen)
0
Neumann RB
L
Dirichlet RB
X
X
0
0
u1
X+f(a)
X
X
X
0
u2
X
0
X
X
X
u3
0
0
0
1
u4
=
X
b
u(0, t)
 a  1 , t
x
u(L, t)  b  1 , t
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SOR-Methode (1)
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Resultat
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