Transcript 控制算法 - 计算机控制技术课程

第九章 数字控制器的设计
本章要点:
1. 数字控制器连续化设计方法、PID算法及改进
与参数整定
2. 数字控制器离散化设计方法、最少拍控制及
大林、施密斯预估算法
3. 数字串级控制与数字前馈控制的设计
4. 数字程序控制的设计
返回总目录
本章主要内容







9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
引言
数字控制器的连续化设计
数字控制器离散化设计
数字串级控制器的设计
数字前馈控制器的设计
数字程序控制器的设计
思考题
引言
自动化控制系统的核心是控制器。控制器的任务是按
照一定的控制规律，产生满足工艺要求的控制信号，以输
出驱动执行器，达到自动控制的目的。在传统的模拟控制
系统中，控制器的控制规律或控制作用是由仪表或电子装
置的硬件电路完成的，而在计算机控制系统中，除了计算
机装置以外，更主要的体现在软件算法上，即数字控制器
的设计上。
数字控制器的设计主要有连续化设计和直接离散化设
计两种设计方法。
复杂的过程控制系统，如串级控制、前馈-反馈控制
和数字程序控制也可以通过计算机实现其控制算法。
9.1 数字控制器的连续化设计
主要知识点:
9.1.1
数字控制器的连续化设计步骤
9.1.2
PID控制规律
9.1.3
基本数字PID控制算法
9.1.4
改进的数字PID控制算法
9.1.5
数字PID参数的整定
9.1.1数字控制器的连续化设计步骤
设计思想：将整个系统看作模拟系统，设计模拟控
制器后再进行控制器的离散化。
D(s)
r(t)
e(t)
T
e(k)
u(k)
D(z)
T
u(t)
H0(s)
图9-1 计算机控制系统的结构图
y(t)
G(s)
设计步骤：
1．设计假象的连续控制器D(s)
2．将D(s)离散化为D(z)
3．设计由计算机实现的控制算法
4．校验
1.设计假想连续控制器D(s)
一种方法是事先确定控制器的结构，如后面
将要重点介绍的PID算法等，然后通过其控制参
数的整定完成设计。
另一种设计方法是应用连续控制系统的设
计方法如频率特性法、根轨迹法等，来设计出控
制器的结构和参数。
2．将D（S）离散化为D（Z）
离散化方法：
1. 双线性变换法： D( z )  D( s)
2 1 z 1
s
T 1 z 1
优点：D(s)稳定，D(z)也稳定。
前向差分法

2. 差分变化法：
后向差分法

D( z )  D( s ) s  z 1
T
D( z )  D( s ) s  1 z 1
T
可由数值微分转化成差分方程求得。
3.设计由计算机实现的控制算法
设数字控制器的一般形式为
1
m
U ( z ) b0  b1z   bm z
D( z ) 

E ( z ) 1  a1z 1   an z  n
1
2
n
U ( z )  ( a1z  a2 z   an z )U ( z )
 (b0  b1z 1 
 bm z  m ) E ( z )
上式用时域表示为
u(k )  a1u(k  1)  a2u(k  2)   anu(k  n)
b0e(k )  b1e(k  1)   bme(k  m)
上式为数字控制器D（z）的控制算法。
4.设计性能校验
需按闭环系统性能进行校验,可采用数字仿真方法验证。
9.1.2 PID控制规律
PID控制即是对偏差信号按比例、积分、微分的
函数关系进行运算，其运算结果用以输出控制。
模拟PID控制器
比例
r(t)
+
e(t)
+
积分
-
+
u(t)
被控对象
c(t)
+
微分
动画链接
图 10-1 模拟PID控制系统原理框图
图9-2 PID控制系统原理框图
1．比例控制
u( t )  K P  e( t )
效果：立即减少偏差
优点：调节及时
缺点：系统存在余差
动画链接
2．积分控制
1
u( t ) 
Ti
t
 e( t )dt
0
效果：消除余差
动画链接
3．微分控制
de( t )
u( t )  Td 
dt
效果：具有超前控制作用
动画链接
4．比例积分微分控制
1
u( t )  K P [ e( t ) 
Ti
传递函数： G( s ) 

t
0
e( t )dt  Td
de( t )
]
dt
U( s )
1
 KP(1 
 Td s )
E( s )
Ti s
K P ——比例系数
Ti ——积分时间
KP
Td ——微分时间
动画链接
归纳起来，PID控制规律主要具有以下优点：
（1）蕴涵了动态控制过程中的过去、现在和将
来的主要信息。其中，比例P代表了当前的信
息，起纠正偏差的作用，使过程反应迅速；微
分D代表了将来的信息，在信号变化时有超前
控制作用，使系统的过渡过程加快，克服振荡
提高系统的稳定性；积分I代表了过去积累的
信息，它能消除静差，改善系统静态特性。此
三种作用配合得当，可使动态过程快速、平稳
、准确，收到良好的控制效果。
（2）控制适应性好，有较强的鲁棒性，适合于
各种工业应用场合。
（3）算法简单明了，形成了完整的设计和参数
整定方法，很容易为工程技术人员所掌握。
9.1.3 基本数字PID控制算法
数字PID控制器，即用计算机软件来实现
PID控制规律，当采样周期足够短时，用求和代
替积分、后向差分代替微分，就可以使模拟PID
离散为数字PID控制算法。
t
k
0
i 0
 e( t )dt  T  e( i )
de( t ) e( k )  e( k  1 )

dt
T
1．数字PID位置型控制算法
T
u( k )  K P [ e( k ) 
Ti
或
u( k )  K P e( k )  K i
e( k )  e( k  1 )
e( i )  Td
]
T
i 0
k

k
 e( i )  K
d
[ e( k )  e( k  1 )]
i 0
式中
KP 
1

T
Ki  K P
Ti
Td
Kd  K P
T
——比例系数
——积分系数
——微分系数
2．数字PID增量型控制算法
引出：位置型算式使用很不方便，这是因为要
累加所有的偏差，不仅要占用较多的存储单元，
而且不便于编写程序。
U ( z)
G( z ) 
 G( s)
E( z)
s (1 z 1 ) / T

T
Td (1  z 1 ) 
 K p 1 


1
T
(1

z
)
T
i



1
T Td
1
1 2 

K p (1  z )   (1  z ) 
1
1 z
Ti T




1
T Td
Td 1 Td 2 
K
(1


)

(1

2
)z  z 
p 
1
1 z
Ti T
T
T



T Td
Td 1 Td 2 
(1  z )U ( z )  K p (1   )  (1  2 ) z  z  E ( z )
Ti T
T
T


1
写成差分形式：
u(k )  u(k )  u(k  1)  q0e(k )  q1e(k  1)  q2e(k  2)
其中
q0  K p (1 
T Td
 )
Ti T
q1   K p (1 
q2  K p
Td
T
2Td
)
T









3．数字PID控制算法实现方式比较
图9-7数字PID位置型与增量型控制算法示意图
增量型控制算法与位置型控制算法相比较，
具有以下优点 ：
（1）增量型控制算法不需要做累加，控制量的
确定仅与最近几次误差采样值有关，其计算误
差或计算精度对控制量的影响较小，而位置型
控制算法要求用到过去的误差累加值，容易产
生较大的累加误差。
（2）增量型控制算法得出的是控制量的增量，
误差影响小，必要时通过逻辑判断限制或禁止
本次输出，不会严重影响系统的工作，而位置
型控制算法的输出是控制量的全量输出，因而
误动作的影响大。
（3）采用增量型控制算法易于实现从手动到自
动的无扰动切换。
4．数字PID控制算法流程
u(k )  u(k 1)  u(k )  u(k 1)  q0e(k )  q1e(k 1)  q2e(k  2)
9.1.4
数字PID算法的改进
常用数字PID的几种改进算法：





积分分离算法
抗积分饱和算法
不完全微分PID控制算法
微分先行PID控制算法
带死区的算法
1.积分分离算法
现象：一般的PID,当有较大的扰动或大幅度改变设定值时，
由于短时间内大的偏差，加上系统本身具有的惯性和滞后，在
积分的作用下，将引出现起系统过量的超调和长时间的波动。
积分的主要作用：在控制的后期消除稳态偏差。
积分分离措施：
当 e(k )   时，采用PD控制
当 e(k )   时，采用PID控制
普通分离算法：大偏差时不积分——积分“开关”控制
积分分离值的确定原则
y
a
PD
b


PID
c
PD
t
图9-9 不同积分分离值下的系统响应曲线
变速积分：
 k 1

ui (k )  K i  e( j )  f [e(k )]e(k )
 j 0

e(k)
A+B
B
0
-B
-A-B
1

 A  e( k )  B
f  e( k )   
A

0
PD
变速积分
PID
变速积分
PD
t
e( k )  B
B  e( k )  A  B
e( k )  A  B
2.抗积分饱和措施
抗积分饱和算法：当控制输出达到系统的上下限限幅值
时，停止积分。
当 u(k )  umin
时，采用PD控制
当 umin  u(k )  umax 时，采用PD控制
当 u(k )  umax 时，正常的PID控制
串级控制系统抗积分饱和:主调节器抗积分饱和根据副调节
器
输出是否越限。
抗积分饱和与积分分离的对比
相同：某种状态下，切除积分作用。
不同(特点)：
※积分分离根据偏差是否超出预设的分离值
(大偏差时不积分)
※抗积分饱和根据最后的控制输出是否越限
(输出超限时不积分）
3.不完全微分PID控制算法
问题引出：
1）对有高频扰动的生产过程，微分作用响应过于
敏感，易引起振荡，降低调节品质；
2）执行需要时间，而微分输出短暂，结果是执行
器短时间内达不到应有开度，使输出失真。
解决：
在输出端串联一阶惯性环节，组成不完全微分PID控
制器。
图9-10 不完全微分数字PID控制器

U ( s)
1 
1
G( s) 
 Kp
 Td s 
1 
E ( s)
1  T f s  Ti s

其中，一阶惯性环节的传递函数：
D f ( s) 
1
Tf s  1
因为

1
u(t )  K p e(t ) 
Ti

de(t ) 
0 e(t )dt  Td dt 
t
du (t )
Tf
 u (t )  u (t )
dt
所以

du(t )
1
Tf
 u (t )  K p e(t ) 
dt
Ti

de(t ) 
0 e(t )dt  Td dt 
t
不完全微分数字PID位置型控制算式
u(k )   u(k  1)  (1   )u(k )
式中：

T

u (k )  K p e(k ) 
Ti


Tf
Tf  T
e(k )  e(k  1) 
e(i)  Td


T
i 0

k
不完全微分PID控制器的增量型控制算式：
u(k )    u(k  1)  (1   )  u(k )
式中：
u(k )  K p [e(k )  e(k 1)]  Ki e(k )  Kd [e(k )  2e(k 1)  e(k  2)]
4．微分先行PID控制算法
问题引出：
给定值的升降会给控制系统带来冲击，如超调量过
大，调节阀动作剧烈。
解决：
采用微分先行的PID控制算法。
传递函数
G( s) 
U ( s)
1  Td s 
1 
 Kp
1

Td  Ti s 
E ( s)
1
s
Kd
图 9-12 微分先行PID控制算法示意图
微分先行PID控制算法和基本PID控制的不
同之处在于：
只对被控量（测量值）y (t ) 微分，不对偏差
e(t ) 微分，也就是说对给定值 r (t ) 无微分作用。
适用于：给定值频繁升降的控制系统。
4.带死区的算法
该算法是在原PID算法的前面增加一个不灵敏区的非线性环
节来实现的，即
 e( k )
p(k )  
 s  e( k )
e( k )  B
e( k )  B
式中，s为死区增益，其数值可为0，0.25，0.5，1等，
p(k)
e(k)
r(t)
T
B B
y(t)
u(k)
PID
T
H0(s)
G(s)
注意：死区是一个非线性环节，不能象线性环节一样随便移到
PID控制器的后面。
9.1.5
数字PID参数的整定
•理论整定方法：以被控对象的数学模型为基础，
通过理论计算如根轨迹、频率特性等方法直接
求得控制器参数。
•工程整定方法：近似的经验方法，不依赖模型。
扩充临界比例带法，扩充响应曲线法，试凑
法
数字控制器与模拟控制器相比，除了需要
整定PID参数，即比例系数、积分时间和微分
时间外，还有一个重要参数——采样周期。
1.采样周期的确定
从控制系统方面考虑，影响采样周期选择的因素主要有：
对象的动态特性、扰动的特性、控制算法、执行机构的速度
跟踪性能的要求。
表9-1 采样周期T的经验数据
2.扩充临界比例带法
扩充临界比例带法－－模拟调节器中使用的临界比例带法
（也称稳定边界法）的扩充，是一种闭环整定的实验经验方
法。按该方法整定PID参数的步骤如下：
（1）选择一个足够短的采样周期 Tmin 。
（2）找临界状态的参数。
（3）选定控制度。
（4）查表9-2，求得 T、K p、Ti、Td 的值。
（5）按参数投入运行，做调整。
3.扩充响应曲线法
采用扩充响应曲线法进行数字PID的整定。其步骤如下：



（1）断开数字控制器，使系统在手动状态下工作。将被控量调节到给
定值附近，当达到平衡时，突然改变手操值，相当给对象施加一个阶跃
输入信号。
（2）记录被控量在此阶跃作用下的变化过程曲线（即广义对象的飞升
特性曲线。
）根据飞升特性曲线，求得被控对象纯滞后时间
和等效惯性时间常
数 Tp 。据此求得数字PID的整定参数的 T、K p、Ti、Td 值，按参数投入
在投运观察控制效果。

y
0

Tp
t
4．试凑法
——通过模拟或实际的系统璧还运行情况，观察
系统的响应曲线，根据各参数对系统响应的大
致影响，反复试凑，直至达到满意的目标。
试凑步骤：
1）整定比例部分（纯P作用）。
2）加入积分环节（PI作用）。
3）加入微分环节（PID作用）。
P、I、D参数对系统性能的影响：
(1)增大比例系数 KP，会加快系统的响应，有利
于减少静差，但 KP过大会使系统产生较大的超调，
甚至振荡，使稳定性变坏。
(2)增大积分时间 Ti，有利于减少超调，减少振
荡，使稳定性增加，但系统静差的消除将随之减
慢。
(3)增大微分时间 Td，有利于加快系统的响应，
使超调量减少，稳定性增加，但系统对扰动的抑
制能力减弱，对扰动有敏感响应的系统不宜采用
微分环节。
4.仿真寻优法
•运用仿真工具，或离散化后编程仿真
•寻优方法：如单纯形法、梯度法等
•常见积分型性能指标：

ISE   e2 (t )dt
0

IAE   e(t ) dt
0

ITAE   t e(t ) dt
0

J   e2 (t )  u 2 (t ) dt
0
9.2
数字控制器的离散化设计
主要知识点
9.2.1
数字控制器的离散化设计步骤
9.2.2
最少拍控制系统的设计
9.2.3
纯滞后控制
9.2.1数字控制器的离散化设计步骤
系统的闭环脉冲传递函数为
误差脉冲传递函数为
数字控制器的
脉冲传递函数为
( z ) 
e ( z) 
Y ( z)
D( z )G( z )

R( z ) 1  D( z )G( z )
E( z)
1

 1  ( z )
R( z ) 1  D( z )G( z )
( z )
( z )
D( z ) 

G( z ) 1  ( z ) G( z ) e ( z )
9.2.2 最少拍控制系统设计
最少拍控制系统是指系统在典型输入信号作
用下，具有最快的响应速度。也就是说，系统经
过最少个采样周期（或节拍），就能结束瞬态过
程，使稳态偏差为零。
1.最少拍控制系统D(Z)的设计
根据性能要求，要达到最少拍、无静差，E(z)
应该在最短的时间内趋于零。因为：
E( z )   e ( z )R( z )  e0  e1 z 1  e2 z 2  
在输入R(z)一定的情况下，必须对 e ( z )提出要求。
典型的输入信号：
1）单位阶跃输入
2）单位速度输入
1
R( z ) 
1  z 1
r( t )  1( t )
r( t )  t
Tz 1
R( z ) 
( 1  z 1 )2
T 2 z 1 ( 1  z 1 )
1 2
3）单位加速度输入 r( t )  t R( z )  2( 1  z 1 )3
2
A( z )
输入信号的一般表达式： R( z ) 
( 1  z 1 ) N
误差：
E( z )   e ( z )R( z ) 
 e ( z ) A( z )
( 1  z 1 ) N
例9.1
被控对象
G p ( s) 
采样周期
T  1s
10
s( s  1)
输入：单位速度
求：最少拍数字控制器
求解步骤：1.
2.
3.
4.
求广义对象等效脉冲传递函数G（Z）
设计误差脉冲传递函数 e ( z)
计算求取最少拍控制器 D( z )
输出Y（Z）和误差E（Z）的验证
例9.1解
5
4
3
2
1
0
e(k)
y(k)
例9.1解（续）
r(t)
T
5T
3T
t
7T
5
4
3
2
1
0
T
5T
3T
7T
t
单位速度输入下输出和误差变化波形
从图中可以看出，系统经过了两个采样周期以后，输出完全跟踪了输
入，稳态误差为零。
例9.1讨论
该系统是针对单位速度输入设计的最少拍系统，那么这个系统
对其它输入是否还能成为最少拍呢？
单位阶跃输入时
Y ( z )   ( z ) R( z )  (2 z 1  z 2 ) 
1
1
2
3

2
z

z

z

1
1 z
单位加速度输入时
2
r(t)
1
0
T
5T
3T
t
7T
y(k)
y(k)
1
1
z
(1

z
)
2
3
4
5
Y ( z )  ( z ) R( z )  (2 z 1  z 2 ) 

z

3.5
z

7
z

11.5
z

1 3
2(1  z )
5
4
3
2
1
0
r(t)
T
5T
3T
t
7T
2.最少拍控制器D(Z)设计的限制条件
被控对象一般形式
Kz
G( z) 
r
m
 (1  z z
i 1
n
 (1  p z
i
i 1
1
i
1
)
)
n
则最少拍控制器
z  ( z ) (1  pi z 1 )
r
D( z ) 
i 1
m
K  e ( z ) (1  zi z 1 )
i 1
当对象存在单位圆上和单位圆外的不稳定零点时，避免控
制器不稳定，必须能把对象中 zi  1 （ 除 zi  1 外）的零点
作为  ( z ) 的零点。但这样将会使调节时间加长。
小结
考虑控制器的可实现性和系统的稳定性，
设计最少拍控制器必须考虑以下几个条件：
1）为实现无静差调节，选择 e ( z ) 时，必须针
对不同的输入选择不同的形式，通式为：
1 N
 e ( z )  ( 1  z ) F( z )
2）为保证系统的稳定性， e ( z ) 的零点应包含 G( z )
的所有不稳定极点。
3）为保证控制器 D( z )物理上的可实现性，
G( z )的
所有不稳定零点和滞后因子均应包含在 ( z )中。
4）为实现最少拍控制，
F ( z )应尽可能简单，F ( z )
的选择要满足恒等式：
e( z )   ( z )  1
例9.2
图9-15所示单位反馈线性离散系统中：
10
s(0.1s  1)(0.05s  1)
被控对象
G p ( s) 
采样周期
T  0.2 s
输入：单位阶跃
求：最少拍数字控制器
例9.2解
例9.2解（续）
例9.2解（续）
D( z ) 
( z )
G ( z ) e ( z )
Y ( z )   ( z ) R( z )  0.484 z 1 (1  1.065z 1 ) 
1
1  z 1
 0.484z 1  z 2  z 3 
 1  0.516z 1
该式说明输出响应 y (k ) ,经两拍后，完全跟踪输入，稳态误差为零。
显然，由于有单位圆外的零点，响应时间与表9-4相比，增加了一拍。
3.最少拍无纹波控制器的设计


最少拍控制器的设计方法虽然简单，但也存在一
定的问题：一是对输入信号的变化适应性差；二是通
过扩展Z变换方法可以证明，最少拍系统虽然在采样点
处可以实现无静差，但在采样点之间却有偏差，通常
称之为纹波。这种纹波不但影响系统的控制质量，还
会给系统带来功率损耗和机械磨损。
通过一个例子分析最少拍系统中纹波产生的原
因和解决办法。
例9.3
图9-15所示单位反馈线性离散系统中：
被控对象
G p ( s) 
采样周期
T  1s
10
s( s  1)
输入：单位阶跃
求：1）设计普通最少拍控制器
2）分析纹波产生原因及解决办法
3）设计无纹波最少拍控制器
例9.3解
解： 被控对象与零阶保持器的等效脉冲传递函数为
 G p ( s) 
 10 
1
G( z )  (1  z )Z 
 (1  z )Z  2


s
s
(
s

1)




1
1 
1 1
 10(1  z )Z  2  
s s  1
s
1
3.68z 1 (1  0.718z 1 )

(1  z 1 )(1  0.368z 1 )
例9.3解（续）
(1)设闭环脉冲传递函数
设误差脉冲传递函数
( z)  z 1F2 ( z)
e ( z)  (1  z 1 )F1( z)
由 e ( z)  1  ( z) 且取 F ( z )  1 F ( z )  1
1
2
( z )
z 1
D( z ) 

G ( z ) e ( z ) 3.68 z 1 (1  0.718 z 1 )
1

(1

z
)
1
1
(1  z )(1  0.368 z )
0.272(1  0.368z 1 )

(1  0.718z 1 )
例9.3解（续）
1
1
2
3
4

z

z

z

z

1
1 z
1
0
1
2

1

z

0

z

0

z

误差 E ( z )   e ( z ) R( z )  (1  z 1 ) 
1
1 z
e(k)
y(k)
输出 Y ( z )  ( z ) R( z )  z 1
1
0
1
2
3
4
5
1
0
1
t
系统经过一拍以后就进入了稳定 。
2
4
3
t
5
例9.3解（续）
(2)分析纹波产生原因及解决办法
0.272(1  0.368 z 1 )
U ( z )  D( z ) E ( z ) 
1
1
1  0.718 z
 0.272  0.295z 1  0.27 z 2  0.248z 3  0.227 z 4 
一般地， U ( z)  D( z)e ( z) R( z) 中的 D( z)e ( z)
是关于 z 1 有限项多项式，那么在三种典型输入下，
一定能在有限拍内结束过渡过程，实现无纹波。
例9.3解（续）
即从第二个采样周期开始， u(k )
就稳定于一个常数。
Tz 1
U ( z )  D( z ) e ( z ) R( z )  (a0  a1z  a2 z ) 
(1  z 1 )2
1
2
 a0Tz 1  T (2a0  a1 ) z 2  T (3a0  2a1  a2 ) z 3  T (4a0  3a1  2a2 ) z 4 
由此可见，对 u(k ) 来说，从第三拍开始，u(k )  u(k  1)  T (a0  a1  a2 )
即 u(k ) 按固定斜率增加且稳定 。
例9.3解（续）
设计最少拍无纹波系统的条件
例9.3解（续）
3）无纹波数字控制器设计
3.68z 1 (1  0.718z 1 )
G( z ) 
(1  z 1 )(1  0.368z 1 )
e ( z)  (1  z 1 )(1  az 1 )
( z)  bz 1(1  0.718z 1 )
( z)  1  e ( z)
a  0.418
b  0.582
( z )
0.158(1  0.368z 1 )
D( z ) 

G( z ) e ( z )
1  0.418z 1
例9.3解（续）
Y ( z )   ( z ) R( z )  0.582 z 1 (1  0.718 z 1 ) 
 0.582z 1  z 2  z 3  z 4 
1
1  z 1
r(t)
1
0.582
e(k)
y(k)
E ( z )   e ( z ) R( z )  (1  z 1 )(1  0.418 z 1 ) 
1
1

1

0.418
z
1  z 1
1
0.418
0
T
2T
3T
4T
t
0
T
3T 4T
2T
t
U ( z)  D( z) E( z)  D( z)e ( z) R( z)
0.158(1  0.368 z 1 )
1
1


(1

0.418
z
)

0.158

0.0581
z
1  0.418z 1
9.2.3
纯滞后控制
问题引出：工业过程中的许多对象具有纯滞后特
性。这个时间滞后使控制作用不能及时达到效
果，扰动作用不能及时被察觉，会延误了控制，
引起系统的超调和振荡。分析表明，时间滞后
因素将直接进入闭环系统的特征方程，使系统
的设计十分困难，极易引起系统的不稳定。
纯滞后控制方法：大林控制算法和施密斯预估控
制算法。
1.大林（Dahlin）控制算法
( 1）大林算法的基本形式
 s
Ke s ( s)  e
设有一阶惯性的纯滞后对象 G( s) 
T0 s  1
T1s  1
  NT
大林算法的设计目标是：设计一个合适的数字控制器，使系统在
单位阶跃函数的作用下，整个系统的闭环传递函数为一个延迟环
节（考虑系统的物理可实现性）和一个惯性环节（使输出平滑解
决超调）相串联的形式，由于是在Z平面上讨论数字控制器的设
计，如采用零阶保持器，且采样周期为T，则整个闭环系统的脉
冲传递函数为
 e  NTs 
( z )  (1  z )Z 

s
(
T
s

1)
 0

1
z
N
(1  eT / T0 ) z 1
(1  z ) 
(1  z 1 )(1  eT / T0 z 1 )
1
z  ( N 1)  (1  eT / T0 )

(1  eT / T0 z 1 )
z  ( N 1)  (1  eT / T1 )
类似地，可得被控对象的脉冲传递函数为 G( z )  K
(1  eT / T1 z 1 )
根据直接离散化设计的原理可得
( z )
D( z ) 
G( z ) 1  ( z )
z  ( N 1)  (1  eT / T0 )
(1  eT / T0 z 1 )
D( z ) 
Kz  ( N 1)  (1  e T / T1 )  z  ( N 1)  (1  e T / T0 ) 
1
 T / T1 1

(1  e
z ) 
(1  eT / T0 z 1 ) 
(1  e  T / T0 )(1  e  T / T1 z 1 )

K  (1  e T / T1 ) 1  e T / T0 z 1  (1  e T / T0 ) z  ( N 1) 
上式即为被控对象为带有纯滞后的一阶惯性环节时，大林控制器的表达
式，显然可由计算机直接实现。
带有纯滞后的二阶惯性环节对象的大林算法
Ke s
G( s ) 
(T1s  1)(T2 s  1)
(1  e  T / T0 )(1  e  T / T1 z 1 )(1  e  T / T2 z 1 )
D( z ) 
K  (c1  c2 z 1 ) 1  e  T / T0 z 1  (1  e  T / T0 ) z  ( N 1) 
c1  1 
c2  e
1
(T1e T / T1  T2e T / T2 )
T2  T1
 T (1/ T1 1/ T2 )
1

(T1eT / T2  T2e T / T1 )
T2  T1
(2）振铃现象及消除方法


人们发现，直接用上述控制算法构成闭环控制系统时，计
算机的输出常常会以采样频率大幅度上下振荡。这一振荡将
使执行机构的磨损增加，而且影响控制质量，甚至可能破坏
系统的稳定，必须加以消除。通常这一振荡现象被称为振铃
现象。
为了衡量振荡的强烈程度，可引入振铃幅度RA的概念。RA的
定义为：在单位阶跃输入作用下，数字控制器 D ( z ) 的第0次
输出与第1次输出之差为振铃幅度，即 RA  U (0)  U (1)
。
表9-5给出了在不同形式下的振铃特性。
下面讨论消除振铃后数字控制器的形式。将式（9-64）
的分母进行分解，得
(1  e T / T0 )(1  e T / T1 z 1 )
D( z ) 
K  (1  e T / T1 )(1  z 1 ) 1  (1  e T / T0 )( z 1  z 2  z 3 
引起振铃的可能因子是:
[ 1  ( 1  eT / T0 )( z 1  z 2  z 3    z  N )]
讨论:
当N=0时，此因子不存在，无振铃可能 ；
 z  N ) 
当N=1时，有一个极点： z
在
T0  时，
T
 ( 1  e
T / T0
)
z  ，存在严重的振铃现象。
1
为消除振铃，可令
z ，因子变为：
1
1  (1  eT / T0 ) z 1  2  eT / T0
此时
(1  eT / T0 )(1  eT / T1 z 1 )
（9-66）
D( z ) 
K  (1  eT / T1 )(1  z 1 )(2  eT / T0 )
同理 N  2 时，因子变为（令
z  1）
1  (1  eT / T0 )( z 1  z 2 )  3  2eT / T0
此时
(1  eT / T0 )(1  eT / T1 z 1 )
D( z ) 
（9-67）
T / T0
T / T1
1
K  (1  e
)(1  z )(3  2e
)
例9-4
es
被控对象： G( s ) 
s1
采样周期： T  0.5 s
闭环传递函数的时间常数：T0  0.1s
试按大林算法设计数字控制器 D( z )，并
分析系统是否会产生振铃现象，若有，如
何消除？
例9-4 解
系统带有纯滞后的一阶惯性环节，将带有一阶惯性的被
控对象的通用传递函数
s
Ke
G( s) 
1  T1S
同已知被控对象的传递函数比较，得出被控对象放大系数
K 1
系统的纯滞后时间   NT  1，则N  2
被控对象的时间常数
T1  1
被控对象传递函数的Z变换为
例9-4 解（续）
s


G
(
S
)
e


1
1
G ( Z )  (1  z ) Z 
 (1  z ) Z 


S
s
(
s

1
)




0.5
1  e T / T 1
3 1  e
z
z
T / T 1 1
1 e
z
1  e 0.5 z 1
0.3935z 3

1  0.6065z 1
( N 1)
由大林算法的设计思想所构造的闭环传递函数为
(1  e T / T ) z  ( N 1)
 ( z) 
1  e T / T z 1
例9-4 解（续）
则：
 (Z )
(1  e T / T 0 )(1  e T / T 1 z 1 )
D( Z ) 

G ( Z )[1   ( Z )] K (1  e T / T 1 )1  e T / T 0 z 1  (1  e T / T 0 ) z ( N 1) 
(1  e 5 )(1  e 0.5 z 1 )
2.524(1  0.6065z 1 )


0.5
5 1
5
3
(1  e ) 1  e z  (1  e ) z
(1  z 1 ) 1  0.9933z 1  0.9933z 2



由此可见， D(Z ) 有3个极点分别为
Z  1, Z  0.4967 j 0.864

例9-4 解（续）
极点 Z  0.4967 j0.864
产生振铃现象，为了消除振铃现象，将z＝1代入式
1  0.9933z 1  0.9933z 2
得：
2.524(1  0.6065z 1 )
0.8451(1  0.6065z 1 )
D( Z ) 
＝
1
(1  z )1  0.9933 0.9933
(1  z 1 )
此时闭环传递函数相当于一个纯滞后的一
阶惯性环节，振铃现象消除。
2.施密斯（Smith）预估控制算法
框图中：Gp ( s) 和  分别为控制对象的不包含滞后环节
的传递函数和纯滞后时间，该算法的核心是在控制回路中
增加Smith预估器 Gp (s)(1  e s ) ,与常规控制器 D ( s ) 并联
共同组成纯滞后补偿控制器 ，即：
D( s) 
D( s )
1  D( s)G p (1  e  s )
经补偿后的系统闭环传递函数为
D( s)G p ( s)e  s
D( s)G p ( s)  s
( s ) 

e
 s
1  D( s)G p ( s)e
1  D( s)G p ( s)
考虑到计算机控制系统中控制输出后具有零阶
保持器，为了与离散化的被控对象对应，Smith预
估器的离散化也采用零阶保持器法，设Smith预估
器的等效脉冲传递函数为
G ( z)
，则

 G ( s) 
1
 s G p ( s ) 
G ( z )  (1  z )Z 
 (1  z )Z (1  e )


s
 s 


1
1
 (1  z )(1  z
N
 Gp ( s) 
)Z 

s


其中 N  (int)( / T ) ，一般地采样周期T取纯滞后时间τ的整数
倍。
上述Smith预估器 G ( z) 的输入为控制器D（Z）的输出，上式
中后移算子 z 1 、Z-N 可以通过计算机存储单元的移位方便地实
现。而数字控制器 D ( z ) 除了最常用的PID外，还可以是其它的
控制算法。
9.3 数字串级控制器的设计
问题引出：当系统中同时有几个因素影响同一
个被控量时，单回路控制难以满足系统的控制
性能。
解决：使用串级控制，在原控制回路中，增加
一个或几个控制内回路用以控制可能引起被控
量变化的其他因素。
优点：可抑制被控对象的时滞特性，提高系统
响应的快速性。
主要知识点：
9.3.1 串级控制的结构和原理
9.3.2 串级控制系统的确定
9.3.3 数字串级控制算法
9.3.1 串级控制的结构和原理
f2 f3
r1
e1
控制器D1
u1
e2
控制器D2
u2
执行器
q
副对象
f1
T2
炉膛温度测量变送
出口温度测量变送
图 10-11 油温（串级）控制系统方框图
图9－23 加热炉油温（串级）控制系统方框图
主对象
T1
影响原料油出口温度的干扰因素很多，有来自于
入口原料油的初始温度和流量变化f1，燃料油压力
波动及热值的变化f2以及烟囱抽力变化f3等。单回
路控制系统理论上可以克服这些干扰，但是对象的
调节通道（包括炉膛、管壁及原料油本身）很长，
时间常数大，容量滞后大，调节作用不可能及时，
所以出口温度难以达到工艺指标要求。
上述三个干扰，是从不同的部位进入系统的。f2、f3首先
影响炉膛温度。由于炉膛热惯性小，f2、f3的变化可以在
炉膛温度T2上很快反映出来，所以如果设计以炉膛温度T2
为被控制量来控制燃料油的控制回路，就可以及时克服f2
及f3的影响。对于f1的影响，仍保留原有的控制回路。这
样形成了包括两个回路的串级控制系统。
D1称为主控制器，D2为副控制器，D1和T1形成的回路
称为主回路，D2和T2形成的回路称为副回路。这种主、
副回路串接工作，主回路的输出作为副回路的给定值，由
副控制器操纵调节阀的系统称为串级控制系统。由于副回
路的加入，干扰进入副回路所引起的主参数的偏差可比单
回路小10～20倍。对于进入主回路的干扰，由于副回路
改善了对象特性，提高了系统的工作频率，加快了过渡过
程，所以其对主参数造成的偏差也比单回路小2～5倍。
小结：
串级控制的结构特点——
双回路
主控制器的输出为副控制器的给定
副控制器操纵执行机构
串级控制原理——
增加副回路，抑制副回路干扰、
改善对象特性、加快过渡过程。
9.3.2 串级控制系统的确定
1 副回路的确定
首先——应把较多干扰，尤其是主要干扰包括在
副回路中；
其次——注意主、副回路时间常数的匹配。副
回路的时间常数应小于主回路的时间常数的
1/3。
2 控制规律的确定
副控制器——其任务是迅速克服副回路内的扰动影响
，并不要求稳态余差很小。应具有P或PI控制规律。
主控制器——为了减少系统主参数的稳态余差，提高
系统控制精度，主回路应具有积分作用；对于大容量
滞后过程，尤其是温度对象，为了使反应灵敏动作迅
速，还要加入微分作用，即主回路应具有PI或PID控
制规律。
9.3.3 数字串级控制算法
r1(t)
T
e1(k)
u1(k)
D1(z)
T
u2(k)
e2 (k)
D2(z)
y2(t)
H(s)
T
副对象
T
T
图10-12 计算机串级控制系统
图9-24 计算机串级控制系统
计算顺序：由外向内
y1(t)
主对象
1．计算主回路的偏差e1(k)
e1 (k )  r1 (k )  y1 (k )
2．计算主控制器D1(z)的输出u1(k)
u1 (k )  u1 (k  1)  u(k )
u(k )  KP1 [e1 (k )  e1 (k  1)]  KI 1e1 (k )  KD1 [e1 (k )  2e1 (k  1)  e1 (k  2)]
K P1
——比例增益
T
K i1  K P1
Ti 1
Td 1
K d 1  K P1
T
——积分系数
——微分系数
3．计算副回路的偏差e2(k)
e2 (k )  u1 (k )  y2 (k )
4．计算副控制器D2(z)的输出u2(k)
u 2 (k )  u 2 (k  1)  u 2 (k )
u2 (k )  KP2 [e2 (k )  e2 (k  1)]  KI 2 e2 (k )  KD2 [e2 (k )  2e2 (k  1)  e2 (k  2)]
K P2
——比例增益
T
Ki2  K P2
Ti 2
T
K d 2  K P2 d 2
T
——积分系数
——微分系数
9.4 数字前馈控制器的设计
问题引出——反馈控制按偏差进行，即在扰动
作用下，被控量必须先偏离给定值，然后对其
测得的比较偏差进行控制，以抵消扰动的影响
。如果不断的受到扰动，则系统总是跟在扰动
作用之后波动，特别是当系统滞后严重时波动
就更为严重 。
解决——前馈控制。
主要知识点
9.4.1 前馈控制的结构和原理
9.4.2 前馈-反馈控制结构
9.4.3 数字前馈-反馈控制算法
9.4.1 前馈控制的结构和原理
换热器前馈控制系统：
冷物料从换热器入口进入，被蒸汽加热，出口
的物料温度T即为被控量，加热蒸汽为操纵变
量，主要干扰源来自进料流量的波动，它受上
一道工序的制约，是一个不可控变量。
图中的FffC为前馈控制器，假设在某一时刻进料流
量F突然增加，将会通过对象的扰动通道影响到出
口物料的温度T使之下降， 解决方案有两种：
其一：反馈控制（图中虚线所示），缺点
是要等到偏差出现后，控制器TC才会产生
新的输出值。
其二：前馈控制（图中实线所示），在进
料量F增加的同时，流量变送器FT就将新的
测量值送给前馈控制器FffC。FffC根据新
的输入信号按照预先确定的控制规律运算
后，输出新的控制信号，从而相应地改变
执行器的阀门开度，使加热蒸汽量增加，
以补偿冷进料量F对温度T的影响。
只要前馈控制器的控制特性能够与扰动通
道和调节通道的特性相匹配，则完全有可
能正好抵消进料量的影响，使出口温度保
持稳定。
F
0
T
t
2
3 = 1 + 2
0
t
1
图9－26
前馈控制的补偿过程
图10-14 前馈控制的补偿过程
曲线①表示扰动将引起出口温度T的降低，曲线②
表示前馈作用对出口温度的调节，曲线③是补偿后
出口温度的实际值。
小结：
前馈控制的结构——
开环控制
前馈控制原理——
根据扰动提前加以补偿。
前馈控制关键——
前馈补偿规律的设计，须满足：
D f ( s )G( s )  G f ( s )  0
即： D f ( s )  
Gf ( s )
G( s )
9.4.2 前馈-反馈控制结构
在反馈控制的基础上，增加补偿扰动的前馈控制。
优点：既能发挥前馈控制对扰动的有效补偿，又
能保留反馈控制对偏差的控制作用。
f
Df(s)
Gf(s)
y2
uf
r
e
D(s)
u1
u
G(s)
y1
y
Gf ( s )
Df ( s )  
图10-15 ：
前馈--反馈控制方块图
完全补偿的条件未变
G( s )
9.4.3 数字前馈-反馈控制算法
f(t)
计算机
Df(z)
T
Uf(k)
r(t)
T
+
e(k)
D(z)
+
+
u1(k)
Gf(s)
对象
u(k)
-
T
H(s)
G(s)
零阶保持器
T
图 10-16 计算机前馈--反馈控制系统
Df(z)、D(z)由数字计算机实现。
+
+
y(t)
K1 1s
e
若 G f ( s) 
1  T1 s
K 2  2 s
G( s) 
e
1  T2 s
令   1   2
则
1
u f ( s)
T2  s
D f (s) 
 Kf
e
1
N (s)
s
T1
s
式中
K1T2
Kf  
K 2T1
（9-78）
由式（9-78）可得前馈控制器的微分方程
du f (t )
dt

1
df (t  ) 1
u f (t )  K f [
 f (t  )]
T1
dt
T2
假如选择采样频率足够高,也即采样周期T足够短，可
对微分离散化，得到差分方程。
设纯滞后时间τ是采样周期T的整数倍，即 τ= mT，离
散化时，令
u f (t )  u f (k )
du f (t )
dt

u f (k )  u f (k  1)
T
f (t  )  f (k  m)
dt  T
df (t  ) f (k  m)  f (k  m  1)

dt
T
可得到差分方程：
u f (k )  A1u f (k  1)  Bm f (k  m)  Bm1 f (k  m  1)
式中
A1 
T1
T  T1
Bm  K f
T1 (T  T2 )
T2 (T  T1 )
Bm1   K f
T1
T  T1
计算机前馈—反馈控制的算法步骤：
（1）计算反馈控制的偏差e(k)
e(k )  r (k )  y(k )
（2）计算反馈控制器PID的输出u1(k)
u1 (k )  K p e(k )  K I e(k )  K D [e(k )  e(k  1)]
u1 (k )  u1 (k  1)  u1 (k )
（3）计算前馈控制器Df(s)的输出uf(k)
u f (k )  A1u f (k  1)  Bm f (k  m)  Bm1f (k  m  1)
u f (k )  u f (k  1)  u f (k )
（4）计算前馈—反馈控制器的输出u(k)
u(k )  u f (k )  u1 (k )
9.5 数字程序控制器的设计
主要应用——机床中机械运动的轨迹控制。
主要知识点：
9.5.1 数字程序控制基础
9.5.2 逐点比较法插补原理
9.5.3 步进电机控制技术
9.5.1 数字程序控制基础
数字程序控制——计算机根据输入的指令和数据
，控制生产机械按规定的工作顺序、运动轨迹、
运动距离和运动速度等规律自动地完成工作的自
动控制。
数字程序控制系统的组成——输入装置、输出装
置、控制器、伺服驱动装置等组成。
计算机数控系统中，控制器、插补器及部分输入
输出功能都由计算机来完成。
1．数字程序控制原理
通过曲线分割、插补计算和脉冲分配用计算机在
绘图仪或者数控机床上重现平面曲线。
1）曲线分割
——将所需加工的轮廓曲线分割成机床能够加工的
曲线线段。
原则：保证线段所连的曲线（或折线）与原图形的误
差在允许范围之内。
2）插补计算
——根据给定的各曲线段的起点、终点坐标，以一
定的规律定出一系列中间点，要求用这些中间点所
连接的曲线段必须以一定的精度逼近给定的线段。
插值（插补）——确定各坐标值之间的中间值的
数值计算方法。
插补形式

直线插补——在给定的两个基点
之间用一条近似直线来逼近原曲
线。
二次曲线插补——在给定的两个基
点之间用一条近似曲线（如圆弧、
抛物线和双曲线等）来逼近原曲线。
3）脉冲分配
——根据插补运算过程中定出的各中间点，对x、y分配脉
冲信号，以控制步进电机的旋转方向、速度及转动的角度
，步进电机带动刀具，从而加工出所要求的轮廓。
脉冲当量——对应于每个脉冲信号，步进电机转动引起的
刀具在x或y方向移动的相对位置称为脉冲当量或步长，
x
常用
y
和
来表示，并且
x
 y
。
注：脉冲当量是刀具的最小移动单位， x 和y 的取值
越小，所加工的曲线就越逼近理想的曲线。
2．数字程序控制方式
1）按控制对象的运动轨迹分类
(1)点位控制
——只要求控制刀具行程终点的坐标值，不要求运动轨迹，
移动过程中不加工。
控制电路简单，只需实现记忆和比较功能。
（2）直线切削控制
——控制点到点的准确定位和两相关点之间的移动速
度和路线（平行移动），且在运动过程中能以指定的进
给速度进行切削加工。
控制电路稍复杂。
（3）轮廓切削控制
——能够对两个或两个以上的运动坐标的位移和速度同
时进行控制。控制刀具沿工件轮廓曲线不断地运动，并
在运动过程中将工件加工成某一形状。
控制电路复杂，须借助于插补器进行一系列的插补计算
和判断。
2）根据有无检测反馈元件分类
（1）闭环数字程序控制
优点：控制精度高；
缺点：结构复杂，难以调整和维护；
适用：大型精密加工机床。
（2）开环数字程序控制
优点：结构简单、成本低、易于调整和维护；
缺点：控制精度稍低；
适用：数控机床、线切割机、低速小型数字绘图仪等。
9.5.2 逐点比较法插补原理
——每当画笔或刀具向某一方向移动一步，就进行一次
偏差计算和偏差判别，也就是到达新的点位置和理想
线型上对应点的理想位置坐标之间的偏离程度，然后
根据偏差的大小确定下一步的移动方向，使画笔或刀
具始终紧靠理想线型运动，获得步步逼近的效果。
逐点比较法是以直线或折线（阶梯状的）来逼近直
线或圆弧等曲线的，它与给定轨迹之间的最大误差
为一个脉冲当量，因此只要把运动步距取得足够小
，便可精确地跟随给定轨迹，已达到精度的要求。
1. 逐点比较法直线插补
1）第一象限内的直线插补
（1）偏差计算公式。
设加工的轨迹为第一象限中的一条直线OA，设加工起点为
坐标原点，沿直线OA进给到终点 Axe , ye  。点 mxm , ym 为加
工点（动点），若点m在直线OA上，则有：
xm xe

y m ye
即
ym xe  xm ye  0
定义直线插补的偏差判别式为：
Fm  ym xe  xm ye
显然，若 Fm  0 ，表明m点在直线段OA上，若 Fm  0
，m点在直线段OA上方；若 Fm  0 m点在直线段OA下
方。函数 Fm 的正负反映了刀具与曲线的相对位置关
系，可以根据 Fm 值的大小控制刀具的进给方向。
第一象限直线逐点比较法插补原理：
从直线的起点（坐标原点）出发，当 Fm  0 时，向  x
方向走一步； Fm  0 时向  y 方向走一步；当两方向
所走的步数与终点坐标 xe , ye  相等时，即刀具到达了
直线终点，完成了直线插补。
简化的偏差计算公式
设：加工点正处于m点

Fm  0
Fm  0


 xm1  xm  1
该点的坐标值： 
 ym1  ym
该点的偏差：
Fm1  Fm  ye
该点的坐标值：
 xm 1  xm

 ym 1  ym  1
该点的偏差：
Fm1  Fm  xe
（2）终点判断方法
一是设置 N x 、 N y 两个减法计数器，在加工开始前，
在两计数器中分别存入终点坐标值
xe 、 ye ，在x坐
标或y坐标每进给一步时，就在相应计数器中减1，直至
这两个计数器中的数都减到零时，到达终点。
二是用一个终点判别计数器，存放x和y两个坐标进给的
总步数 N xy ，x或y坐标每进给一步， N xy 减1，若N xy  0
，即达到终点。
（3）直线插补计算过程
偏差判别：判断上一步进给后的偏差值；
坐标进给：根据偏差判别的结果和所在象限决定在哪个
方向上进给一步；
偏差计算：计算出进给一步后的新偏差值，作为下一
步进给的判别依据；
终点判别：终点判别计数器减1，判断是否到达终点，
若已到达终点就停止插补，若未到达终点，则返回
到第一步，如此不断循环直至到达终点为止。
2）四个象限的直线插补
注：A1~A4分别表示第一~第四象限的线型。
注：偏差计算公式中终点坐标值取绝对值。
3）直线插补计算的程序实现
在计算机的内存中开辟6个单元XE、YE、NXY、FM、
XOY和ZF，存放终点横坐标 xe 、终点纵坐标 ye 、总步
数 N xy 、加工点偏差 Fm 、直线所在象限和走步方向标志
。这里 Nxy  Nx  N y ，XOY等于1、2、3、4分别代表第一、
二、三、四象限，XOY的值由终点坐标
xe , ye 
号来确定，Fm
的正、负符
的初值为0，ZF等于1、2、3、4分别代表
 x、 x、 y、 y 的走步方向。
例9-5
设给定的加工轨迹为第一象限的直线OP，起点为坐标原
点，终点坐标
Axe , ye 
，其值为（5,4），试进行
插补计算并作出走步轨迹图。
例9-5 解
终点判断采用第2种方法，计算长度 Nxy  xe  ye  5  4  9
计算过程见表：
例9-5 解
例9-5 解
2．逐点比较法圆弧插补
1）第一象限内的圆弧插补
（1）偏差计算公式
(
设要加工逆圆弧 AB ，圆弧的圆心在坐标原点，已知圆
弧的起点坐标 A x0 , y0  和终点坐标 B  xe , ye  ，圆弧的半
径为R。瞬时加工点为 M  xm , ym  ，它与圆心的距离为 Rm
。可以比较 Rm 和 R 来反映加工偏差。由图可知：
Rm 2  xm2  ym2
R 2  x02  y02
可以定义偏差判别式为：
Fm  Rm2  R2  xm2  ym2  R2
Fm  0 ，表明加工点M在圆弧上；
Fm  0 ，表明加工点在圆弧外；
Fm  0 ，表明加工点在圆弧内。
第一象限内逆圆弧逐点比较插补的原理：
从圆弧的起点出发， Fm  0 ，下一步向－x方向进给
一步，并计算新的偏差； Fm
 0 时下一步向＋y方向
进给一步，并计算新的偏差。如此一步步计算和一步
步进给，并在达到终点后停止计算，就可插补出逆圆
(
弧
AB
。
简化的递推计算公式
设加工点正处于 M  xm , ym  点。

Fm  0
Fm  0

 x  xm  1
坐标值：  m 1
 ym 1  ym
新的加工点偏差： Fm1  Fm  2 xm  1

 xm1  xm
坐标值：  y  y  1
m
 m1
新的加工点偏差： Fm1  Fm  2 ym  1
（2）终点判断方法
圆弧插补的终点判断方法与直线插补相同。可将x方
向上的走步步数 Nx  xe  x0
和y方向上的走步步数
N y  ye  x0 的总和 N xy 作为一个减法计数器，每走
一步计数器减1，为0时插补结束。
（3）插补计算过程
分为5个步骤：偏差判别、坐标进给、偏差计算
、坐标计算和终点判断。
2）四个象限的圆弧插补
在实际应用中，要加工的圆弧可以在不同
的象限中，而且可以按逆时针方向也可以按顺
时针方向。其它三个象限的逆、顺圆的偏差计
算公式可通过与第一象限的逆圆、顺圆相比较
而得到。为了导出其它各象限的圆弧插补计算，
下面先来推导一下第一象限顺圆弧的偏差计算
公式。
（1）第一象限顺圆弧的插补计算
设加工点正处于 M  xm , ym  点。

Fm  0
Fm  0

坐标值：
 xm 1  xm

 y m 1  y m  1
新的加工点偏差： Fm1  Fm  2 ym  1

坐标值：
 xm 1  xm  1

 y m 1  y m
新的加工点偏差： Fm1  Fm  2 xm  1
（2）四个象限的圆弧插补计算
注：SR1~SR4分别表示第一~第四象限的顺圆弧、
NR1~NR4分别表示第一~第四象限的逆圆弧。
3) 圆弧插补计算的程序实现
在计算机的内存中开辟八个单元X0、Y0、NXY、FM
、RNS、XM、YM和ZF，分别存放起点的横、纵坐
标 x0 、 y0 、总步数 N xy 、加工点偏差 Fm 、圆弧种
类值 RNS、xm、ym 和走步方向标志。这里，
Nxy  xe  x0  ye  y0 ，RNS等于1、2、3、4和5、6
、7、8分别代表四象限的顺圆弧和四象限的逆圆弧，
RNS的值可由起点和终点的坐标的正、负符号来确定
， Fm 的初值为0， xm 和 ym 的初值为 x0 和 y0 ，ZF
等于1、2、3、4分别代表  x、 x、 y、 y 的走步方向。
例9-6
(
设加工第一象限逆圆弧
AB
，已知起点的坐
标为A(4,0)，终点坐标为B(0,4)，试进行插
补计算并作出走步轨迹图。
例9-6
解
例9-6
解（续）
根据表9-9，可作出走步轨迹如图所示。
9.5.3 步进电机控制技术
步进电机又称脉冲电机，是一种能将电脉冲信号直接转
变成与脉冲数成正比的角位移或直线位移量的执行部件
，其位移速度与脉冲频率成正比。由于其输入为电脉冲
，因而易与计算机或其他数字元器件接口，广泛应用于
自动控制和精密仪器等领域，如仪器仪表、数控机床及
计算机外围设备中（打印机和绘图仪等）。
分类：
按转矩产生的原理分：
反应式 
永磁式
混合式
1．步进电机的工作原理
1) 反应式步进电机结构
结构组成——转子和定子。
定子——由硅钢片叠成，每相有
一对磁极（N、S极），每个磁极
的内表面都分布着多个小齿，它
们大小相同，间距相同。
转子——由软磁材料制成，其外
表面也均匀分布着小齿，这些小
齿与定子磁极上的小齿的齿距相
同，形状相似。
2）反应式步进电机的工作原理
步进电机的工作就是步进转动。
在一般的步进电机工作中，其电源采用单极性的
直流电源。要使步进电机转动，就必须对步进电机定
子的各相绕组以适当的时序进行通电。步进电机的步
进过程可以用图9-42来说明，其定子的每相都有一对
磁极，每个磁极都只有一个齿，即磁极本身，故三项
步进电机有3对磁极共6个齿；其转子有4个齿，分别
称为0、1、2、3齿。直流电源U通过开关 S A、S B、S C
分别对步进电机的A、B、C相绕组轮流通电。
初始状态时，开关 S A 接通，则A相磁极和转子的0、2号齿对齐，
同时转子的1、3号齿和B、C相磁极形成错齿状态。当开关 S A 断
开、 S B 接通，B相绕组和转子的1、3号齿之间的磁力线作用，使
得转子的1、3号齿与B相磁极对齐，则转子的0、2号齿就与A、C
相绕组磁极形成错齿状态。此后，开关 S B 断开、 S C 接通，C相
绕组和转子0、2号之间的磁力线的作用，使得转子0、2号齿和C
相磁极对齐，这时转子的1、3号齿与A、B相绕组磁极产生错齿。
当开关 S C 断开、 S A 接通后，A相绕组磁极和转子1、3号齿之间
的磁力线的作用，使转子1、3号齿和A相绕组磁极对齐，这时转
子的0、2号齿和B、C相绕组磁极产生错齿。很明显，这时转子移
动了一个齿距角。
如果对一相绕组通电的操作称为一拍，那么
对A、B、C三相绕组轮流通电则需要三拍。对A、
B、C三相绕组轮流通电一次成为一个周期。从上
面分析看出，该三相步进电机转子转动一个齿轮
，需要三拍操作。由于A→B→C→A相轮流通电，
此磁场沿A、B、C方向转动了360°空间角，而
这时转子沿ABC方向转动了一个齿距的位置，图
9-42中的转子的齿数为4，故齿距角90°，转动
了一个齿锯也即转动了90°。
对于一个步进电机，如果它的转子齿数为z，
它的齿距角
z
为：
2 360o
z 

z
z
而步进电机运行n拍可使转子转进一个齿锯位置。
实际上，步进电机每一拍就执行一次步进，所以
步进电机的步距角

可以表示如下：
z
360o


n
nz
其中，n是步进电机工作拍数，z是转子的齿数。
2．步进电机的工作方式
以三相步进电机为例分析和讨论：
步进电机的通电方式
——单相通电
双相通电
单相、双相交叉通电
对于三相步进电机，则有单拍（简称单三拍）方式、双
相三拍（简称双三拍）方式、三相六拍方式：
（1）单三拍工作方式，通电顺序为
A→B→C→A→…
（2）双三拍工作方式，通电顺序为
AB→BC→CA→AB→…
（3）三相六拍工作方式，通电顺序为
A→AB→B→BC→C→CA→A→…
3．步进电机控制接口及输出字表
组成——计算机和驱动电路
计算机实现脉冲分配，对步进电机的走步数、
转向和速度进行控制；
驱动电路为步进电机提供电源。
1）步进电机控制接口
假定微机同时控制x轴和y轴两台三相步进电
机，有一种常用的控制接口如图9-43所示。此接
口电路选用可编程并行接口芯片8255，
8255PA口的PA0、PA1、PA2控制x轴三相步进
电机，8255PB口的PB0、PB1、PB2控制y轴三
相步进电机。只要确定了步进电机的工作方式，
就可以控制各项绕组的通电顺序，实现步进电机
正反转。
2）步进电机输出字表
在图9-43所示的步进电机控制接口电路中，选
定由PA0、PA1、PA2通过驱动电路来控x轴步进电
机，由PB0、PB1、PB2通过驱动电路来控制y轴步
进电机，并假定数据输出为“1”时，相应的绕组通
电；为“0”时，相应的绕组断电。
当步进电机的相数和控制方式确定之后，
PA0~PA2和PB0~PB2输出数据变化的规律就确定
了，这种输出数据变化规律可用输出字来描述。为
了便于寻找，输出字以表的形式放在计算机指定的
存储区域。表9-11给出了三相六拍控制方式的输出
字表。
4．步进电机控制程序
1）步进电机走步控制程序
若用ADX和ADY分别表示x轴和y轴步进输出字表的
取数地址指针，且仍用ZF=1、2、3、4分别表示 -x、
+x、-y、+y走步方向，则步进电机的走步控制程序
流程如图9-44所示。
2）步进电机速度控制程序
按正序或反序取输出字来控制步进电机的正转
或反转，输出字更换得越快，则步进电机的转速就
越高。因此，控制延时时间，可达到调速的目的。
步进电机的步进时间是离散的，步进电机的速
度控制就是控制步进电机产生步进动作的时间，从
而使步进电机按照给定的速度规律进行工作。
若 Ti 为相邻两次走步之间的时间间隔， v i 为进给一步
后的末速度，
a 为进给一步的加速度，则有：
1
vi 
Ti
vi 1
1

Ti 1
vi 1  vi 
1
1
  aTi 1
Ti 1 Ti
从而有
Ti 1 
 1  1  4aTi
2aTi
离线计算 Ti ，中断请求控制。
2
思考题
1.什么是数字PID位置式控制算法和增量式控制算法？试比
较它们的优缺点。
2.什么是积分饱和现象？它是怎样引起的？如何消除？
3.什么是数字PID的积分分离算法？它有何优点？
4.试分析说明基本PID算法与不完全微分PID算法的控制作用
有何区别？不完全微分PID算法有何优越性？
5.为什么可以把带死区的PID控制算法称为非线性的PID控制
算法？
6.何为PID控制器参数的整定？整定的实质是什么？采样周
期如何确定？
7．设采样周期
T  1s
,试根据实际微分PID算式

U ( s)
1  1
G( s) 
 Kp
1   Td s 
E ( s)
1  T f s  Ti s

采用双线性变换法离散化，推导其数字算式。
8. 最少拍系统设计是否意味着采样周期越小，系统
的调节时间就会越短？最少拍有纹波设计与无纹波
设计的主要差别是什么？
9. 设被控对象的传递函数
Gp( s ) 
5
s( 0.1s  1 )( 0.05s  1 )
，
采样周期 T  0.1s ，试在单位速度输入下设计最少拍
有纹波和无纹波数字控制器 D( z )
。
10.什么是大林算法？振铃现象产生的原因是什么?
如何消除？
es
11.已知被控对象 G( s ) 
0.1s  1
，设采样周期T  0.5 s ，
试按大林算法设计数字控制器 D( z ) ，并分析
系统是否会产生振铃现象，若有试求出RA，并
消除之。
12 . 画出计算机串级控制系统的方框图，并推导
其主、副控制器的输出。
13．画出计算机前馈-反馈控制系统的方框图，简
述其原理
14．设被控对象的干扰通道传递函数 Gn ( s ) 
，控制通道传递函数为
G( s ) 
前馈控制器
Dn ( s )
K2
e  2 s
1  T2 s
K1
e  1s
1  T1 s
，试推导
的传递函数及其差分表达式。
15．什么是数字程序控制？数字程序控制有哪几种方
式？
16．什么是逐点比较插补法？
17．直线插补过程分为哪几个步骤？有几种终点判断
方法？
18．圆弧插补过程分为哪几个步骤？
19．设给定的加工轨迹为第一象限的直线OP，起
点为坐标原点，终点坐标A(xe,ye)，其值为
(6,4)，试进行插补计算，作出走步轨迹图，
并标明进给方向和步数。
20．假设加工第一象限逆圆弧AB，起点A的坐标
值为x0=5，y0=0，终点B的坐标值为xe=0，ye=5
。试进行插补计算，作出走步轨迹图，并标明
进给方向和步数。
21．三相步进电动机有哪几种工作方式？分别画
出每种工作方式的各相通电顺序。