Bryły

Pola powierzchni i objętości Wykonywanie obliczeń z wykorzystaniem kalkulatora

Bryły – sposób pracy z prezentacją

    Zestaw zadań zbiera różnorodne zadania dotyczące pól powierzchni i objętości brył.

Po podaniu treści zadania postaraj się rozwiązać je samodzielnie.

Gdy pojawią się problemy – skorzystaj z podpowiedzi na następnym slajdzie.

Pod koniec możesz sprawdzić poprawność swoich rozwiązań.

Zadanie 1

 Oblicz pole powierzchni przekroju kuli o promieniu 2cm.

Zadanie 1

-wskazówki  Wybierz odpowiedni wzór P=4πr 2 P=πr 2 V=4/3πr 3  Podstaw liczbę i wykonaj obliczenia  Podaj jednostkę  Zapisz odpowiedź

Zadanie 2

 Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 36cm.Oblicz objętość tego sześcianu.

Zadanie 2

-wskazówki  Ile krawędzi ma sześcian?

 Jaką mają długość? Oblicz  Wybierz odpowiedni wzór na objętość sześcianu.

P=6a 2 V=a 3 V=a 2 H  Podstaw liczbę i wykonaj obliczenia  Podaj jednostkę i zapisz odpowiedź

Zadanie 3

 Stożek ma wysokość 4cm, a promień jego podstawy jest równy 2 cm. Oblicz pole przekroju osiowego tego stożka.

Zadanie 3

-wskazówki  Wybierz szkic bryły  Wybierz odpowiedni wzór P=πr 2+ πrl V=1/3πr 2 H P =1/2aH  Podstaw liczby i wykonaj obliczenia  Podaj jednostkę  Zapisz odpowiedź

Zadanie 4

 Ile wody pomieści basen?

25m 3m 12m 1m

Zadanie 4

-wskazówki  Jaką figurą jest podstawa?

 Wybierz odpowiedni wzór P=abH V=1/2(a+b)hH P =(ab+cd)H  Podstaw liczby i wykonaj obliczenia  Podaj jednostkę  Zamień na litry  Zapisz odpowiedź

Zadanie 5

 Z kostki sześciennej wycięto walec, którego podstawa jest kołem wpisanym w ścianę. Jakim procentem objętości sześcianu jest objetość wyciętego walca? Krawędź sześcianu ma długość 14cm.

Zadanie 5

-wskazówki  Wybierz wzór i oblicz objętość sześcianu P=abH V=1/2(a+b)hH P =(ab+cd)H  Jaki jest promień podstawy walca?

 Wybierz wzór i oblicz objętość sześcianu  Ułóż proporcję  Wykonaj obliczenia (zamień na procenty)  Zapisz odpowiedź

Zadanie 6

 Po rozwinięciu na płaszczyznę powierzchni bocznej stożka otrzymamy ćwiartkę koła o promieniu 12cm. Oblicz objętość tego stożka.

Zadanie 6

-wskazówki   Naszkicuj ćwiartkę koła, powstały stożek i zaznacz równe boki (r, R, l, H) Pole ćwiartki koła jest polem powierzchni bocznej stożka  Wybierz i zastosuj odpowiednie wzory   P=πr 2 V=1/3πr 2 H Oblicz promień podstawy P = πrl Oblicz objętość, podaj jednostkę i odpowiedź

Zadanie 7

 Prostokąt o polu 108, w którym stosunek długości boków jest równy 1:3, obraca się dookoła prostej równoległej do jego krótszego boku i odległej od niego o 3. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły.

Zadanie 7

-wskazówki      Oblicz długości boków prostokąta Ustal długości dłuższego i krótszego promienia Przeanalizuj z czego składa się pole powierzchni bryły i wykonaj obliczenia Przeanalizuj jak obliczyć objętość bryły i oblicz ją (jednostki) Sformułuj odpowiedź

Zadanie 8

 Prostokąt o wymiarach 10cm x 4cm obraca się wokół krótszego boku. Jaki jest promień podstawy walca powstałego w wyniku tego obrotu?

Zadanie 8

-wskazówki  Naszkicuj prostokąt i opisaną oś obrotu  Dorysuj powstałą bryłę  Ustal który bok prostokąta staje się promieniem, a który wysokością  Sformułuj odpowiedź

Zadanie 9

 Oblicz pole powierzchni kuli o promieniu 2cm.

Zadanie 9

-wskazówki  Wybierz odpowiedni wzór P=4πr 2 V=4/3πr 2 V=4/3πr 3  Podstaw liczbę i wykonaj obliczenia  Podaj jednostkę  Zapisz odpowiedź

Zadanie 10

 Oblicz pole przekroju osiowego stożka o średnicy podstawy 6cm i wysokości 10cm.

Zadanie 10

-wskazówki  Wybierz szkic bryły  Ustal dane  Wybierz odpowiedni wzór P=πr 2+ πrl V=1/3πr 2 H P =1/3aH  Podstaw liczby i wykonaj obliczenia  Podaj jednostkę i zapisz odpowiedź

Zadanie 11

 Oblicz wysokość słupa w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości 2 cm 3 , jeżeli krawędź podstawy ma długość 0,5m.

Zadanie 11

-wskazówki  Wybierz szkic bryły  Ustal dane  Wybierz odpowiedni wzór P=2a 2 +4aH V=a 2 H H=1/2a  3  Podstaw liczby i wykonaj obliczenia  Podaj jednostkę i zapisz odpowiedź

Zadanie 12

 Kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy wynosi 45 cm. Oblicz objętość stożka.

o , a długość promienia podstawy jest równa 2

Zadanie 12

-wskazówki  Wybierz szkic bryły  Przypatrz się przekrojowi i ustal dane  Wybierz odpowiedni wzór P=πr 2+ πrl V=1/3πr 2 H P =4/3πr 2 H  Podstaw liczby i wykonaj obliczenia  Podaj jednostkę i zapisz odpowiedź

Zadanie 13

 Oblicz objętość stożka ściętego, w którym podstawy leżą od siebie w odległości 4cm, a promienie tych podstaw mają długości 6cm i 4 cm.

Zadanie 13

-wskazówki   Naszkicuj bryłę, dorysuj odciętą część stożka Wprowadź oznaczenia (R,r,H,h)    Na podstawie twierdzenia Talesa ustal proporcję i wykonaj obliczenia Oblicz objętości obu stożków Wykonaj odejmowanie, podaj jednostkę i zapisz odpowiedź

Zadanie 14

 Kulę o promieniu 10 cm przecięto płaszczyzną w odległości 6 cm od środka kuli. Oblicz pole powierzchni otrzymanego przekroju.

Zadanie 14

-wskazówki      Naszkicuj bryłę, zaznacz średnicę, Przypatrz się przekrojowi Połącz środek kuli z wierzchołkami trapezu dwoma promieniami. Z twierdzenia Pitagorasa oblicz promień mniejszego przekroju kuli.

Zastosuj wzór na pole koła Po wykonaniu obliczeń podaj jednostkę i zapisz odpowiedź

Rozwiązania zadań

Dokonaj porównania zastosowanych przez Ciebie metod oraz poprawności obliczeń Zweryfikuj zapisy w zeszycie

Zadanie 1

r=2cm P= πr 2 P= π•2 2 P= 4π[cm 2 ]

Zadanie 2

Sześcian ma 12 krawędzi równej długości 12 • a=36cm a=3[cm] V=a 3 V=3 3 V=27 [cm 3 ]

Zadanie 3

H=4cm r=2cm a=2r a=2 • 2 a=4[cm] P =1/2 • a • H P= ½ • 4 • 4 P=8[cm 2 ]

Zadanie 4

a=3m h=25m H=12m b=1m P=1/2 •(a+b) •h P=1/2 •(3+1) • 25 P=50 [cm 2 ] V=P • H V=50 • 12 V=600 [cm 3 ]

Zadanie 5

a=14cm r=7cm V sz =a 3 V sz =14 3 V sz =2744 [cm 3 ] V w =πr 2 H V w =π • 7 2 • 14 V w =686π [cm 3 ] V w : V sz = 686π:2744 • 100% V w : V sz  78,5%

Zadanie 6

R=12cm l=R 1/4P k = 1/4 πR 2 1/4P k = 1/4 π • 12 2 1/4P k = 36 π [cm 2 ] 1/4P k = πrl ΠrR= 36 π Πr12= 36 π r=3[cm ] r 2 +H 2 =l 2 H 2 =144-9 3 2 +H 2 =12 2 H=  135 H=3  15[cm] V= 1/3πr 2 V=1/3π • 3 • H 2 • 3  15 V=9π  15π [cm 3 ]

Zadanie 7

a=3b P=108[cm 2 ] P=ab P=3b 2 3b 2 =108 b 2 =36 b=  36 b=6[cm] a=3 • 6 a=18[cm] R=a+3 R=21[cm] V d =πR 2 H V d =πR 2 H V d =π • 21 2 • 6 V d =2646π [cm 3 ] V m =πr 2 H V m =π • 3 2 • 6 V m =54π [cm 3 ] V d – V m =2646π-54π V d – V m =2592π [cm 3 ] P=P b d +P b m +2P kd -2P km P=2πRH+ 2πrH+2 πR 2 -2 πr 2 P=2π • 21•6+ 2π • 3 • 6+2 π • 21 2 -2 π • 3 2 P=252π+ 36π+882π-18π P=1152π [cm 2 ]

Zadanie 8

a=10cm b=4cm r=a H=b r=10[cm]

Zadanie 9

r=2cm P=4πr 2 P=4 • π • 2 2 P=16π[cm 2 ]

Zadanie 10

d=6cm H=10cm d=2r a=d P=1/2 • a • H P=1/2 • 6 • 10 P=30 [cm 2 ]

Zadanie 11

V=2 [cm 3 ] a=0,5[cm ] V=a 2 • H 0,5 2 • H =2 0,25 • H =2 H=8[cm ]

Zadanie 12

Trójkąt jest prostokątny równoramienny, więc r=H r=2cm H=2cm V=1/3πr 2 H V=1/3π • 2 2 • 2 V=8/3π[cm 3 ]

Zadanie 13

R=6cm x=4cm r=4cm H=x+h Na podstawie twierdzenia Talesa H h R = r (x+h) • r =R • h (4+h) • 4 =6 • h x+h R = 16+4 h =6 h 2h=16 H=4+8 h h=8[cm] r 6h-4h=16 H=12[cm] V d =1/3πR 2 H V d =1/3π • 6 2 • 12 V d =144π[cm 3 ] V m =1/3πr 2 H 3 V m =1/3π • 4 2 • 8 V m =128/3π [cm 3 ] V d – V m =144π-128/3π V d – V m =144π-42 2 / 3 π V d – V m =101 1 / 3 π[cm 3 ]

Zadanie 14

R=10cm h=6cm Figura, która powstała w przekroju jest trapezem równoramiennym.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, bo trójkąt jest prostokątny.

R 2 =h 2 +r 2 10 2 =6 2 +r 2 r 2 =10 2 -6 2 r 2 =100-36 r 2 =  64 r=8[cm] P=πr 2 P=π • 8 2 P=64π [cm 2 ]