Transcript A szinusz-tétel és alkalmazása

A szinusz-tétel és
alkalmazása
: kattintás; :
× tilos kattintani.
Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével

Tétel (szinusz-tétel): A háromszögben
két oldal aránya a velük szemközti szögek
arányával egyenlő.
C
γ
a
b
A
α
c
=
β
B
A fenti összefüggéseket más alakban is fel szokás
írni; ezek az egyenletek átrendezéséből adódnak:
sin
sin
sin
= sin
=
sin
sin
a
b ;
a
c ; b
c ; avagy
a
b
c
=
.
=
=
=
=
sinα
sinβ sinα
sinγ sinβ sinγ
sinα sinβ sinγ
Szavakban megfogalmazva: A háromszögben az oldalaknak és a velük szemben
fekvő szögek szinuszának hányadosa állandó.
Ezeknek a hányadosoknak a jelentésére később visszatérünk.
Nem kérem a tétel ismertetését!


Most megismerkedünk néhány olyan tétellel,
amelyeknek vagy a szinusztétellel, vagy
annak a bizonyításával, ill. a feladatok
megoldásához hasznos segítséget nyújtanak
Nem kérem ezeket a tételeket!

Tétel: A háromszög területe egyenlő két
oldal hossza és a közbezárt szög szinusza
szorzatának a felével.
C
T=
γ
a
b
A
α
α
β
R

c
β
c P
a

b α
 γ’ γ
Q C
R
mB
Tehát T = cmC/2  T = (acsinβ)/2.
a
Az ABQ derékszögű háromszögben sinα = mB/c  mB = csinα.
mC
P
B
Tételezzük először fel azt, hogy a háromszög hegyesszögű:
Rajzoljuk be a magasságvonalakat!
Az ACR derékszögű háromszögben sinγ = mA/b  mA = bsinγ.
Tehát T = amA/2  T = (absinγ)/2.
A PBC derékszögű háromszögben sinβ = mC/a  mC = asinβ.
γ
b
Q 
A
B
Bizonyítás:
c
C
absinγ acsinβ bcsinα
.
=
=
2
2
2
B Tehát T = bmB/2  T = (bcsinα)/2.
Legyen a háromszög tompaszögű, s legyen γ a tompaszög.
Berajzoljuk a magasságokat; γ’ = 180° – γ  sinγ’ = sinγ.
BCQ-ban sinγ’ = mB/a  mB = asinγ’  T = bmB/2 =
= (absinγ’)/2 = (absinγ)/2.
A ABR-ben sinβ = mA/c  mA = csinβ  T = amA/2 = (acsinβ)/2.
APC-ben sinα = mC/b  mC = bsinα  T = cmC/2 = (cbsinα)/2.
Teljes a bizonyítás!
Nem kérem ezt a tételt!
β


Érdemes ezt a tételt még egyszer szemügyre venni!
C
b
γ
a
T=
absinγ acsinβ bcsinα
.
=
=
2
2
2
absinγ
acsinβ
bcsinα
Ha az
,
és
egyaránt a
2
2
2
c
β
A α
B háromszög területével egyenlő, akkor ezek közül
bármelyik kettő egymással is egyenlő!
bsinγ
absinγ
b
csinβ
acsinβ
sinβ
:c
:a
2 – megtehetjük,
– megtehetjük,
mert
mert
ca γ0! 0°  sinγ  0
/ :sinγ
Nézzük az első kettőt!
2sinγ
2c
2c = sinγ
2
asinγ
absinγ
bcsinα
a
csinα
sinα
2 – megtehetjük,
:c
:b
– megtehetjük,
mert
mert
cb γ0!
0!
 0°  sinγ  0
=
/ :sinγ
Nézzük a két szélsőt!
2sinγ
2c
2c
2
sinγ
acsinβ
bcsinα
asinβ
a
bsinα
sinα
2 – megtehetjük,
:c
– megtehetjük,
mert
mert
cb β0!
:b
0! 0°  sinβ  0
/ :sinβ
Nézzük az utolsó kettőt! 2b
2b = sinβ
2
2sinβ
Mi adódott???
Az átalakítások után a szinusz-tételt kaptuk!
A háromszög területének „kétféle felírása”, majd a „jobb oldalak” egyenlővé tétele,
végül egyenlet-átalakítások a szinusz-tétel egyik bizonyítását eredményezik.


Most kimondunk és bebizonyítunk egy másik összefüggést
a háromszög területének a kiszámítására
A háromszöget egyértelműen meghatározza egy oldala és a rajta fekvő két szög.
Elvárható, hogy akkor a területe is kiszámítható legyen ezekből az adatokból.
Ha két szög ismert, akkor a háromszög belső szögösszege miatt a harmadik is ismert.
A képlet egyszerűbb megfogalmazása miatt célszerű mind a három szöget felhasználni.
Tétel: Ha egy háromszög egyik oldalának a hossza a, a rajta fekvő két szög β és
γ, a harmadik α, akkor a háromszög területe:
a2sinβsinγ
T=
2sinα
Bizonyítás:
Rajzoljuk fel a háromszöget! (Piros: adottak, kék: adottnak vehető).
T = (absinγ)/2
b
Mivel b nem ismert, kiszámításához írjuk fel a szinusz-tételt:
b/a = (sinβ)/sinα  b = (asinβ)/sinα
Helyettesítsünk be az előbbi területképletbe:
A α
T = (aasinβsinγ)/2sinα 
a2sinβsinγ
T=
2sinα
γ
C
a
c
β
B
Ezzel a tételt igazoltuk!
Nem kérem ezt a tételt!

Most kimondunk és bebizonyítunk egy olyan tételt, amely a
háromszög területe és a köré írt kör sugara közti kapcsolatot adja meg
Tétel: Ha egy háromszög oldalainak a hossza a, b és c, a köré írt kör sugara
R, akkor a háromszög területe: T = abc
C
Bizonyítás:
γ
4R
Rajzoljunk egy (általános!) hegyesszögű háromszöget!
Rajzoljuk meg a köré írt körét!
Kössük össze a középpontot a háromszög két csúcsával!
AKB = 2γ a kerületi és középponti szögek tétele értelmében.
Rajzoljuk meg az ABK háromszög AB-hez tartozó magasságát!
AKB egyenlőszárú, így az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot és a szárszöget.
A háromszög területe két oldal és a közbezárt szög felhasználásával: T = (absinγ)/2.
c
ab
KBF háromszögben sinγ = (c/2)/R = c/2R.
absinγ
2R
Behelyettesítünk:
T= 2
=
= abc
2
4R
Most rajzoljunk egy tompaszögű háromszöget!
Rajzoljuk meg a köré írt körét!
Kössük össze a középpontot a háromszög két csúcsával!
AKB = 2γ a kerületi és középponti szögek tétele értelmében.
2γ-t kiegészítjük 360°-ra.
A
Megrajzoljuk az AKB háromszög magasságát.
AKB egyenlőszárú, így az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot és a szárszöget.
Észrevesszük, hogy sin(180° – γ) = sinγ.
KBF háromszögben sin(180° – γ) = (c/2)/R = c/2R  sinγ = c/2R.
Felírjuk a háromszög területét: T = (absinγ)/2.
Behelyettesítés után most is ezt kapjuk: T = (abc)/(4R).
Nem kérem ezt a tételt!
b
a
K
R
+
2γ

c
A
γ
R
F
c
2
B
C
b
R
γ
a
180° – γ
360° – 2γ
c/2
c F
+
K
2γ
B
R

Most megvizsgáljuk a szinusz-tétel egy következményét,
ami a tétel egy másik alakjából adódik.
Tétel: Egy háromszög bármely oldalának és a szemközti belső szögének a
hányadosa a háromszög körülírt köre sugarának a kétszeresével egyenlő:
b
a
a
= sinβ = sinα = 2R
sinα
Bizonyítás:
A húrnégyszögek tétele miatt K-nál 2α, 2β és 2γ szögek adódnak.
Bocsássunk K-ból merőlegeseket a háromszög oldalaira!
ABK, BCK és CAK egyenlőszárú háromszögek, ezért az alaphoz
tartozó magasság felezi a szárszöget és az alapot.
Az AKH, BKF, ill. CKG háromszögekben:
sinα = a  2R =
2R
sinβ = b  2R =
2R
sinγ = c  2R =
2R
a
sinα
b
sinβ
c
sinγ
C
γ
b
2
R
β
a
a

b
2
G
2β+2α α
R
K
β
R γ 2γ
 c
c
α
H
A
2
F
B
Mivel ezek az arányok mindegyike 2R-rel egyenlők, ezért egymással is egyenlők.
A most bebizonyított összefüggés a szinusz-tételnek egy másik alakja.
Ha a háromszög tompaszögű, a bizonyítás hasonlóképp történik; ezt bemutattuk az előbbi tétel
igazolása során is. Kihasználjuk, hogy sin(180°-α) = sinα; sin(180°-β) = sinβ; sin(180°-γ) = sinγ.
Ezzel a tételt bebizonyítottuk.
Nem kérem ezt a tételt!

Egy utolsó megjegyzés
Legutóbb ezt az összefüggést kaptuk:
b
a
a
= sinβ = sinα = 2R
sinα
Nem különös, hogy a háromszög egyetlen oldala és a vele szemközti szög már
meghatározza a körülírt kört? A többi adatnak nincs is ebben szerepe?
A
Tekintsük meg a következő ábrát:
α
Mit jelent az, hogy az a-val szemközti szög α?
Azt is, hogy az A-ból a BC szakasz α szög alatt látszik!
Hol helyezkednek el azok a pontok, amelyekből egy
K
szakasz adott szög alatt látszik?
+
Két köríven!
+ a
B
F

Emlékeztetőül lássuk a megszerkesztésüket!
α
Így már nem meglepő, hogy egyetlen oldal és a vele
szemközti szög meghatározza nemcsak a háromszög
köré írt körénak a sugarát, hanem magát a köré írt
kör is.
Ezt ki akarom hagyni!
C


Összefoglaljuk a tudnivalókat az alkalmazáshoz
Ha egy feladat megoldása során találunk egy olyan háromszöget, amelyben két oldal és az
oldalakkal szemközti szögek közül hármat ismerünk, és a negyedikre szükségünk van,
felírhatjuk a szinusz-tételt.
Ha abban a formában használjuk a tételt, hogy az egyik tört a két oldal hosszát, a másik a
szemközti szögek szinuszait tartalmazzák, ügyeljünk arra, hogy a két számlálóba
ugyanazon oldal, ill. a vele szemközti szög szinusza kerüljön. S hasonlóan: a két nevezőbe
ugyanazon oldal, ill. a vele szemközti szög szinusza kerüljön.
Ügyeljünk akkor, ha a szinusz-tétel alkalmazásával szöget számolunk! A tétel a keresett
szög szinuszát szolgáltatja; visszakereséssel kapjuk a szöget.
A ]0; 1[ intervallumbeli szám azonban két olyan szög szinusz, amely 0° és 180° közé esik.
Megoldás azonban – korrekt feladat kitűzés esetén – csak az egyik lehet.
Azt, hogy a hegyes- vagy tompaszög-e az egyetlen megoldás, úgy dönthetjük el, hogy
hosszabb oldallal szemben nagyobb, rövidebb oldallal szemben kisebb szög van!
Olykor az is segít, hogy a tompa szög választása esetén a háromszög belső szögeinek
összege 180°-nál nagyobbra adódna.
Ha egy háromszögben két oldalt, és a rövidebbel szemközti szöget adják meg ismertként,
több eset lehetséges! (A feladat kitűzése ekkor nem tekinthető korrektnek.)
Ha a rövidebb oldal „túl rövid”, nincs megoldás (a szög szinuszára egynél nagyobb szám
adódik); ha a rövidebb oldal hossza „speciális”, a háromszög derékszögű, s egy megoldást
kapunk (a szög ekkor szinusza 1); ha a rövidebb oldal „elég hosszú”, két, nem egybevágó
háromszög lesz a megoldás (a szög szinusza ebben az esetben egynél kisebb).

Feladatok
Most nem kérek feladatokat!

2930. feladat:
Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A hosszabbik megadott
oldallal szemközti szög 84°-os. Határozzuk meg a háromszög ismeretlen szögeit és
C
oldalát.
84°
Megoldás:
1. Készítsünk vázlatot és helyezzük el rajta az adatokat!
2. Jelöljük a kiszámítandó mennyiségeket!
3. Találunk-e olyan háromszöget, amelyikben két
c = 10 cm β B
A α
oldal és a szemközti szögek közül kettő ismert, egy
számítandó?
Igen, ABC-ben β számítandó.
sinβ
8
4. Írjuk fel a szinusz-tételt!
=
sin84° 10
8
sinβ = sin84°
 0,7956
5. Fejezzük ki a sinβ értékét!
10
6. Keressük vissza a β-t!
β  52,71°.
7. Számoljuk ki α-t a belső szögösszegből!
84° + 52,71° + α  180°  α  43,29°.
8. Mivel minden szög ismert, az a
a
sin43,29°
kiszámításához is felírható a szinusz-tétel:

10
sin84°
sin43,29°
a  10
 6,89 cm.
9. Fejezzük ki az a-t és számoljuk ki!
sin84°
Ezt a feladatot nem kérem!

2937. feladat:
Egy háromszög két oldala 8,6 cm, illetve 10,3 cm. A rövidebb megadott oldallal
szemközti szög 62°15’. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala?
C
Megoldás:
γ
1. Készítsünk vázlatot és helyezzük el rajta az adatokat!
2. Jelöljük a kiszámítandó mennyiségeket!
3. Találunk-e olyan háromszöget, amelyikben két
oldal és a szemközti szögek közül kettő ismert, egy
c = 10,3 cm 62°15’ B
A α
számítandó?
4. Írjuk fel a szinusz-tételt!
Igen, ABC-ben γ számítandó.
sinγ
10,3
=
sin62°15’
8,6
10,3
sinγ = sin62°15’
 1,0599 > 1
5. Fejezzük ki a sinγ értékét!
8,6
6. Mivel sinγ-ra 1-nél nagyobb érték adódott,
ezért ennek a feladatnak nincs megoldása –
ilyen háromszög nem létezik.
A feladatban a rövidebb oldallal szemközti szöget adták meg. Egy háromszög
egyértelmű szerkeszthetőségének egyik alapesete az, amikor két oldal, és a hosszabb
oldallal szemközti szög adott. Esetünkben azonban nem így definiálták a háromszöget.
Ezt a feladatot nem kérem!

2934. feladat:
Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm. A rövidebb megadott oldallal
szemközti szöge 33°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala?
C
Megoldás:
γ
1. Készítsünk vázlatot és helyezzük el rajta az adatokat!
2. Jelöljük a kiszámítandó mennyiségeket!
3. Találunk-e olyan háromszöget, amelyikben két
oldal és a szemközti szögek közül kettő ismert, egy
c = 10 cm 33° B
A α
számítandó?
4. Írjuk fel a szinusz-tételt!
Igen, ABC-ben γ számítandó.
sinγ
10
=
sin33°
8
10
sinγ = sin33°
 0,6808
5. Fejezzük ki a sinγ értékét!
8
6. Keressük vissza a γ-t!
γ1  42,91°; γ2 = 180° – γ1; γ2  137,09°.
33° + γ + α  180°  α 1  104,09°; α2  9,91°.
7. Számoljuk ki α-t a belső szögösszegből!
8. Mivel minden szög ismert, az a
a1
sin104,09° a2  sin9,91°
kiszámításához is felírható a szinusz-tétel:

;
8
sin33°
8
sin33°
sin104,09°
a1  8  sin33°
 14,25 cm.
9. Fejezzük ki az a-t és számoljuk ki!
sin9,91°
a2  8  sin33°  2, 53 cm.
Ezt a feladatot nem kérem!

2944. feladat:
Egy háromszög szögeinek aránya 2:3:4, míg a kerülete 18 cm. Mekkorák a
háromszög oldalai?
C
γ
80°
Megoldás:
Készítsünk vázlatot!
a
b
Számoljuk ki a belső szögeket a 180° arányos osztásával!
Megmutatjuk, hogyan folytatnánk a feladat megoldását akkor,
ha szigorúan csak a már ismertetett képlethez ragaszkodnánk. A α
c
β B
40°
60°
Ismeretlen az a, b és c. Felírhatjuk a szinusz-tételeket:
a
sinα
a
sinα
α:β:γ = 2:3:4; 2 + 3 + 4 =9 (arányszámok összege);
=
=
b
sinβ
b
sinβ
180°:9 = 20°  1 részre jut 20°;
Az egyenletrendszer kiegészül:
α = 220° = 40°; β = 320° = 60°; γ = 420° = 80°.
a + b + c = 18
Majd megoldjuk ezt az egyenletrendszert… sin40°  0,6428; sin60°  0,8660; sin80°  0,9848
0,6428 + 0,8660 + 0,9848  2,4936
De van egyszerűbb eljárás is!
18 : 2,4936  7,218 (egy részre jutó hosszúság)
A szinusz-tétel így is megfogalmazható:
a  0,64287,218  4,640 cm;
Egy háromszögben az oldalak aránya a
szemközti szögek szinuszainak arányával b  0,86607,218  6,251 cm;
c  0,98487,218  7,109 cm.
egyenlő:
Ugye, így sokkal egyszerűbb?...
a : b : c = sinα : sinβ : sinγ
A megoldást egyszerűen így folytathatjuk:
Most nem kérem ezt a feladatot!



2948. feladat:
Egy paralelogramma egyik szöge 112°. Az adott szöggel szemközti átló hossza
18 cm. Ez az átló a paralelogramma hegyesszögét 2:3 arányban osztja. Számítsuk ki a
paralelogramma oldalainak a hosszát.
D
Megoldás:
C
b
1. Készítsünk vázlatot, és tüntessük fel rajta az adatokat!
α2
2. Kiszámítjuk az A csúcsnál lévő belső szöget;
112°
α1
27,2°
a paralelogramma szomszédos szögeinek összege 180°. A
a
B
α1 + α2 + 112° = 180°  α1 + α2 = 68°.
2 + 3 = 5; 68°:5 = 13,6° (egy részre jut)
3. Ezt a szöget 2:3 arányban felosztjuk.
α1 = 213,6 = 27,2°; α2 = 313,2° = 40,8°.
4. Találunk olyan háromszöget, amelyben két
oldal és a szemközti szögek közül három ismert, Igen, ABC-ben ismert a 112°, a 27,2°, a
18 cm, ki kellene számolni a b-t.
és a negyediket ki kellene számolni?
b
sin27,2°
5. Írjuk fel a szinusz-tétel!
=
18
sin112°
sin27,2°
b = 18
 8,87 cm.
6. Számoljuk ki b-t!
sin112°
7. Újabb alkalmas háromszöget keresünk.
a
sin40,8°
ABC alkalmas, de kellene az ACB.
=
18
sin112°
ACB és DAC váltószögek, így egyenlők.
sin40,8°
8. Szinusz-tétel felírás és a kiszámolása.
a = 18
 12,69 cm.
sin112°
Most nem kérem ezt a feladatot!


2951. feladat:
Egy szabályos 10 cm oldalú háromszög egyik szögét két egyenessel három egyenlő részre
osztjuk. Mekkora részekre osztják ezen egyenesek a szöggel szemközti oldalt?
C
Megoldás:
60° x
Nem három egyenlő részre!!!
100° P
1. Készítsünk vázlatot, tüntessük fel az adatokat és a kiszámítandó
y
mennyiségeket!
Q
2. Találunk olyan háromszöget, amelyben két oldal és a szemközti
20°
szögek közül három ismert, és a negyediket ki kellene számolni?
z
60°
3. Majdnem. APC-ben AC ismert, x-et számítani kellene; de a
A
B
szemközti szögek pillanatnyilag ismeretlenek.
CAP = 60°:3 = 20°.
A még ismeretlen szögeket ki tudjuk számítani!
CPA = 108°–20°–60° = 100°
x
sin20°
4. Felírjuk a szinusz-tételt az APC háromszögben:
=
10 sin100°
sin20°
x = 10
 3,47 cm.
5. Kiszámoljuk x-et:
sin100°
z  3,47 cm.
6. A szimmetria miatt z = x:
y = 10 – x – z  3,06 cm.
7. Az y a „maradék”:
Most nem kérem ezt a feladatot!

2953. feladat:
Egy háromszög területe 4920 cm2 és két oldalának a szorzata ab = 10324 cm2 és az a
oldallal szemközti szöge 64,01°. Határozzuk meg a háromszög oldalainak a hosszát.
C
Megoldás:
γ
72,39°

1. Készítsünk vázlatot!
2. Keressünk a háromszög területére olyan összefüggést, amelyben
a
b
lehetőleg két oldal szorzata is szerepel.
Találunk ilyet; a T = (absinγ)/2 ilyen. Hasznos-e ez nekünk?
Ha meggondoljuk, ebből ki tudjuk számítani γ-t.
A
c
β B
Ha γ ismert, β is számítható (belső szögek összege 180°).
64,01°
Az ab = 10324-ből egy oldal felírható a másik segítségével!
Így olyan egyenletet írhatunk fel a szinusz-tétellel, amelyben csak
egy ismeretlen oldal szerepel, s az kiszámítható.
3. Számoljuk ki a γ szöget a fenti fejtegetés alapján!
absinγ
10324sinγ
4920 =
 sinγ  0,9531  γ  72,39°  β  43,6°
4920
=
2
2
ab = 10324
10342
4. Küszöböljük ki az egyik oldalt:
ab = 10324  b =
a
a
sin64,01°
a2
sin64,01°
5. Írjuk fel a szinusz-tételt és számoljuk ki a-t és b-t:
=

=
b sin43,6°
10324 sin43,6°
a  116 cm; b = 10324/a  89 cm.
6. Szinusz-tétellel c-t kiszámoljuk: c  sin72,39°  c  89 sin72,39°  123 cm.
89 sin43,6°
sin43,6°
Most nem kérem ezt a feladatot!

2956. feladat:
Egy szimmetrikus trapéz átlója 6,8 dm, rövidebb alapja 2,6 dm, egyik szöge 68°36’.
2,6 dm C
Számítsuk ki a trapéz oldalait és a területét.
D
γ
Megoldás:
63,65°
1.
Készítsünk vázlatot, tüntessük fel rajta az adatokat és a kiszámítandó
mennyiségeket!
b
b
2. A szimmetria miatt AD = BC = b; bejelöljük.
3. A trapéz szárain fekvő szögek összege 180°, továbbá a szimmetria
miatt ADC = BCD = 180° – 68°36’ = 111°24’
4. Találunk-e olyan háromszöget, amelyben két oldal közül az egyik a b,
α
a másik ismert, s a velük szemközti szögek ismertek? (Mivel szinusz68°36’
a
A
B
tételt szeretnénk alkalmazni.)
Nem, mert sem az ACD, sem az ABC háromszögben nem ismert a bvel szemközti szög!
Két lehetőségünk van: vagy koszinusz-tételt alkalmazunk, vagy
kiszámoljuk a b-vel szemközti szöget. Legyen az utóbbi.
5. Találunk-e olyan háromszöget, amelyben ismert két oldal és a velük Igen, az ACD háromszög erre alkalmas.
szemközti szög, ill. egy oldal?
2,6
sinα
=
6. Szinusz-tétel felírása, abból egy szög kiszámítása:
6,8
sin111°24’
2,6
sinα = sin111°24’
 0,3560  α  20,85°
6,8
γ  180° – 111°24’ – 20,85°  47,75°
7. A γ szög kiszámítása a háromszög belső szögösszegéből:
8. Szinusz-tétellel b kiszámítása:
b
sin47,75°
sin47,75°
 sin20,85°  b  2,6 sin20,85°  5,41 dm.
2,6
9. ACB  111°24’ – 47,75°  63,65°.
a sin63,85°
sin63,65°
10. Szinusz-tétellel az a kiszámítása:

 a  6,8
 6,54 dm.
6,8 sin68°36’
sin68°36’
11. Magasság: m = bsin68°36’  5,04 dm;
12. T = (a + c)m/2  (6,54 + 2,6)5,04/2  23,03 dm2.
Most nem kérem ezt a feladatot!

Felhasznált irodalom:
Czapáry – Czapáryné – Csete – Iványiné – Morvai – Reiman: MATEMATIKA
Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III.
Kosztolányi – Kovács – Pintér – Urbán – Vincze: Matematika tankönyv 11
(Sokszínű matematika)
További sikereket a matematikához (is)!
