Transcript ppt

Telepítő programok
Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram)
(A makrók megnyitásához szükséges!)
 Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Súgó
Súgó
Menü
Visszalépés a főmenübe
Visszalépés a kiválasztott almenübe
Előző dia
Következő dia
Információk a programról
Háromszögekről








Háromszögek szerkesztése
Háromszögek csoportosítása
A háromszögek szögei, oldalai
Háromszögek területe, kerülete
Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai
Pitagorasz tétele
Háromszögek egybevágóságának és hasonlóságának
alapesetei
Érdekes háromszögek
Háromszög szerkesztése




Háromszög szerkesztése három adatból
Derékszögű háromszög szerkesztése
Egyenlő szárú háromszög szerkesztése
Szabályos háromszög szerkesztése
Menü
Háromszög szerkesztése három adatból
A háromszög két oldalból és a közbezárt szögből
egyértelműen megszerkeszthető (a szög kisebb 180).

Háromszög szerkesztése három adatból
A háromszög három oldalból egyértelműen
megszerkeszthető (ha az oldalakra fennáll a
háromszög-egyenlőtlenség).
Háromszög szerkesztése három adatból
A háromszög egy oldalból és két szögből egyértelműen
megszerkeszthető (a két szög összege kisebb 180-nál).


Háromszög szerkesztése három adatból
A háromszög két oldalból és a nagyobb oldallal
szemközti szögből egyértelműen megszerkeszthető (a
szög kisebb 180-nál).

Derékszögű háromszög szerkesztése
Derékszögű háromszög megszerkesztéséhez elegendő
két megfelelő alkotóelem megadása, mert harmadik a
derékszög ismerete.
Derékszögű háromszög szerkeszthető
Ha ismerjük (például):

két befogóját;
c
a
b

az átfogóját és az egyik
befogót.
c
a
b
Egyenlő szárú háromszög szerkesztése
Elegendő két alkotóelem, mert a szükséges harmadik az
egyenlő szárú háromszög tulajdonságaival biztosítható.
Egyenlő szárú háromszög szerkeszthető
Ha ismerjük (például):

Az alapot és a szárat;

Az alapot és bármelyik
szöget.
Szabályos háromszög szerkesztése
Az egyenlő oldalú (szabályos) háromszög
szerkesztéséhez elegendő az oldal ismerete. (A szögek
60-osak.)
a
a
a
Háromszögek csoportosítása
Szögeik szerint:
 Hegyesszögű háromszögek
 Derékszögű háromszögek
 Tompaszögű háromszögek
Oldalaik szerint:
 Egyenlő szárú háromszögek
 Szabályos háromszögek
 Pontosan két egyenlő oldalú háromszögek
 Különböző oldalú háromszögek
Csoportosítás táblázatban:
Menü
Hegyesszögű háromszög
Hegyesszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget,
ha minden szöge hegyesszög.
Derékszögű háromszög
befogó
Derékszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget,
ha van derékszöge.
A derékszöget bezáró két oldalt befogónak, a
derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük.
befogó
Tompaszögű háromszög
Tompaszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget,
ha van tompaszöge.
Egyenlő szárú háromszög
Egyenlő szárú háromszögnek nevezzük a háromszöget,
ha van legalább két egyenlő szöge.
Az egyenlő oldalakat száraknak,
a háromszög harmadik oldalát alapnak nevezzük.
Szabályos háromszög
Szabályos
háromszögnek
nevezzük a háromszöget, ha
minden oldala egyenlő.
A szabályos háromszög
minden szöge egyenlő.
Szerkesztések makrókkal:
Pontosan két egyenlő oldalú háromszög
(Egyenlő szárú háromszögek)
Egyenlő szárú háromszögek, amelyeknek
pontosan két egyenlő oldaluk van.
Különböző oldalú háromszögek
Háromszögek,
amelyeknek minden oldaluk különböző hosszúságú.
Szerkesztés makróval:
Háromszögek csoportosítása
Szögek szerinti csoportosítás
Hegyesszögű Derékszögű
Oldalak szerinti
csoportosítás
Egyenlő
szárú
Minden oldala
különböző
Pontosan
két oldala
egyenlő
Egyenlő
oldalú
Tompaszögű
„Háromszögek halmaza”
Háromszög területe

Háromszög kerületének kiszámítása;

háromszög területének kiszámítása;
területszámítás kiegészítéssel;

Menü
Háromszög kerülete
Ha a háromszög oldalainak hosszúsága a, b, c, akkor a
kerülete:
K = a + b + c.
b
c
a
A háromszög területének kiszámítása
A háromszög területét kiszámíthatjuk úgy is, hogy az
egyik oldal hosszát megszorozzuk a hozzá tartozó
magasság hosszával, és a szorzatot elosztjuk kettővel.
A
T
ABC
=
a . ma
c
2
b
ma
B
a
C
A háromszög területének kiszámítása
(egyéb összefüggések)
T
T
ABC
ABC
=
=
b . mb
2
c . mc
2
Területszámítás kiegészítéssel
(téglalappá való kiegészítés)


Foglaljuk téglalapba a
háromszöget.
Ekkor az így kapott
téglalap területe kétszerese
a háromszög területének.
T
ABC
=
T’
C
T’’
T
B
c . mc
2
A
c
Területszámítás kiegészítéssel
(paralelogrammává való kiegészítés)


Tükrözzük a háromszöget az egyik oldalának felezőpontjára.
Ekkor az eredeti és a tükörkép háromszög együtt
középpontosan szimmetrikus négyszöget, paralelogrammát
alkot. A háromszög területe fele a paralelogramma
területének.
A’ = D
C
F
mc
T
A
F
c
T
B
ABC
=
c . mc
2
Pitagorasz tétel

Pitagorasz tétele és annak bizonyítása magyarázattal;
a bizonyítás lépései;
egyéb összefüggések;
Pitagorasz tételének megfordítása;
Pitagoraszi számhármasok;
egyéb érdekességek.

Tudáspróba:





Menü
Pitagorasz tétele
Tétel: A derékszögű háromszög
befogóira emelt négyzetek
területének összege egyenlő
az átfogóra emelt négyzet
területével.
A Pitagorasz tétel bizonyítása magyarázattal:
Bizonyítás:
1. lépés:
Az a+b oldalú négyzetbe
berajzolhatjuk az a2 és b2
területű négyzetet és négy
egybevágó, a és b befogójú
derékszögű háromszöget.
a
b
b
b
a
a
a
b
Bizonyítás:
2. lépés:
Az a+b oldalú négyzetbe
másképp is berajzolhatjuk a
négy egybevágó, a és b
befogójú
derékszögű
háromszöget.
A
négyzet
átlóinak
metszéspontja körül 90◦
többszöröseivel elforgatva
az ábrát, az eredeti ábrával
fedésbe hozható, tehát
forgászimmetrikus.
a
b
b
c
c
a
c
c
b
a
a
b
Bizonyítás:
3.lépés:
A bevonalkázott négyszög
minden oldala c, és az ábra
forgásszimmetriája
miatt
szögei egyenlő nagyságúak.
Ezért
a
bevonalkázott
négyszög az átfogóra emelt,
c2 területű négyzet.
a
b
b
c
c
a
c
c
b
a
a
b
Bizonyítás:
4. lépés:
Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó
háromszöget, a maradék idomok területe megegyezik.
a
a2+b2=c2
b
b
b
a
a
a
b
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
Egyéb összefüggések:
Az összefüggést leíró egyenletet átrendezve az átfogó és
az egyik befogó ismeretében kiszámíthatjuk a másik
befogó négyzetét, majd a befogó is:
a2=c2-b2
b2=c2-a2
Pitagorasz tételének megfordítása:
Ha egy háromszög a, b, c oldalai megfelelnek a
Pitagorasz-féle feltételnek: c2 = a2 + b2, akkor a
háromszög derékszögű.
A derékszög a c oldallal szemközti szög.
Egyéb érdekességek





„Ki volt Pitagorasz?”
„Plimpton 322”
A babiloni számok rendszere.
Korabeli címerrajz.
Háromszögek Egyiptomban.
Menü
Pitagorasz (Püthagorasz)




(Kr. E. kb. 582-500).
Számoszon született.
Elsősorban vallásalapító
és apostol volt, csak
mellékesen foglalkozott
matematikával.
Nem ő fedezte fel a róla
elnevezett tételt, de a sok
bizonyítás közül az egyik
tőle származik.
A babiloni táblázatok


A babiloniak a táblázatok
megszállottjai voltak.
Az egyik tábla, amelyet
megfejtettek
rendkívüli.
Ezt a Columbiai Egyetem
múzeumának birtokában
lévő táblát úgy hívják,
hogy Plimpton 322.
„Plimpton 322”


Nincs rajta semmi más,
csak 15 számhármas.
Mindegyik számhármasra
igaz, hogy az első szám
négyzetszám,
és
megegyezik a másik kettő
összegével,
amelyek
maguk is négyzetszámok –
azaz a tábla tizenöt
pitagoraszi számhármast
tartalmaz.
A babiloni számok rendszere
 Kifinomult, 60-as alapú számrendszert fejlesztettek ki.
 Az 1-nek
jel felel meg.
 2-től 9-ig a
szimbólumok felelnek meg.
 10-nek a
karakter felel meg. 20-tól 50-ig ezen
karaktereket kombinálták.
Pl: A 11 leírása:
Korabeli címerrajzok

Korabeli
címerrajzokon
mozaikokon szerepelt az
emberi figurává kiegészített
rajz.
Háromszögek Egyiptomban


Mivel 52=32+42, a háromszög derékszögű.
Sokan feltételezik, hogy az ókori Egyiptomban ezt a
háromszöget használták fel derékszög kitűzésére
úgy, hogy zárt zsinórt 12 csomóval 12 egyenlő részre
osztottak, és ezt feszítették ki három cövek közé az
ábrán látható módon.
Chefren-piramis
A régészek éppen ezeket az arányokat fedezték fel a
Chefren-piramis faragott köveinek méreteiben.
A baalbeki Nap-templom
Szíriában a baalbeki Nap-templomban az úgynevezett
királyszobának is ilyen méretei vannak.
Pitagoraszi számhármasok
Azokat
a
derékszögű
háromszögeket,
melyeknek
mindhárom oldala valamilyen
egységben mérve egész szám,
pitagoraszi háromszögeknek is
szokás nevezni.
Az ilyen számhármasok pedig
pitagoraszi számhármasok.
8
5
4
3
6
Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai

A háromszög oldalfelező merőlegesei, köré írható
köre;
a háromszög szögfelezői, beírható köre;
a háromszög magasságvonalai, magasságpontja;
a háromszög középvonalai;
a háromszög súlyvonalai, súlypontja.

Tudáspróba




Menü
A háromszög oldalfelező merőlegesei és
a háromszög köré írt köre
Tétel: Bármely háromszög oldalfelező merőlegesei egy
pontban metszik egymást. Ez a pont a köré
írható kör középpontja.
Bizonyítás magyarázattal:
A háromszög szögfelezői és a
háromszög beírt köre
Tétel: Bármely háromszög belső szögfelezői egy
pontban metszik egymást. Ez a pont a beírható
kör középpontja.
Bizonyítás magyarázattal:
Makró:
A háromszög magasságvonalai
A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a
szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges
egyenes.
A háromszög magassága a háromszög csúcsa és a
szemközti oldalegyenes távolsága.
A magasságvonal és az arra merőleges oldalegyenes
metszéspontja a magasság talppontja (T).
A háromszög magasságpontja
A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik
egymást. A magasságvonalak metszéspontja a
háromszög magasságpontja (M).
A magasságpont
 a hegyesszögű háromszögnek a belső pontja,
 a derékszögű háromszögnek a derékszögű csúcsa,
 a tompaszögű háromszögnek a külső pontja.
A háromszög magassága
A
T
mb
B
A=T
ma
A
mb
B
C
T
C
B
Hegyesszögű
háromszögben
Derékszögű
háromszögben
Tompaszögű
háromszögben
C
A háromszög középvonalai
A háromszög középvonala a
háromszög két oldalának
felezőpontját
összekötő
szakasz, illetve ennek a
szakasznak a hossza.
A
Jelölése: ka, kb, kc
C
G
kc
ka
F
kb
H
B
A háromszög középvonala
Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a nem
felezett oldallal és a középvonal hossza fele a
nem felezett oldal hosszának.
Bizonyítás magyarázattal:
A háromszög súlyvonalai
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal
felezőpontjával összekötő szakasz, illetve ennek a
szakasznak a hossza.
Jelölése: sa, sb, sc
C
sa
F
A
B
A háromszög súlypontja
A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást.
A súlyvonalak metszéspontja a háromszög súlypontja. A
súlypont a háromszög belső pontja.
C
G
S
F
A
H
B
Egybevágóság és hasonlóság




Háromszögek egybevágóságának alapesetei
(1)
(2)
(3)
(4)
Háromszög hasonlóságának alapesetei
(1)
(2)
(3)
(4)
Összehasonlítás
Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza
Menü
Háromszögek egybevágóságának
alapesetei
(1) Két háromszög egybevágó,
ha oldalaik páronként egyenlők.
Háromszögek egybevágóságának
alapesetei
(2) Két háromszög egybevágó,
ha két oldaluk és az általuk közrezárt szög egyenlő.
γ
γ
Háromszögek egybevágóságának
alapesetei
(3) Két háromszög egybevágó,
ha két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti szögük
egyenlő.
α
α
Háromszögek egybevágóságának
alapesetei
(4) Két háromszög egybevágó,
ha az egyik oldaluk és az azon lévő két szögük egyenlő.
γ
γ
β
β
A háromszögek hasonlóságának
alapesetei
(1) Ha két háromszög megfelelő oldalainak aránya
megegyezik, akkor a két háromszög hasonló.
c’
c
b’
b
a’
a
a’
a
b’
b
c’
c .
A háromszögek hasonlóságának
alapesetei
(2) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két
oldal által közbezárt szög egyenlő, akkor a két
háromszög hasonló.
a’
a
γ
γ’
b’
b
a’
a
b’
;
b
γ = γ’.
A háromszögek hasonlóságának
alapesetei
(3) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két
oldal közül a nagyobbikkal szemközti szög egyenlő,
akkor a két háromszög hasonló.
α’
α
b
a’
a
a’
a
b’
;
b
α = α’
(a > b és a’ > b’).
b’
A háromszögek hasonlóságának
alapesetei
(4) Ha két háromszög megfelelő szögei egyenlők, akkor
a két háromszög hasonló.
α’
α
γ
α = α’ ;
β
β = β’ .
γ’
β’
Összehasonlítás
(A háromszög egybevágóságának alapesetei és a
háromszög hasonlóságának alapesetei között.)

Az egybevágóság esetén a két háromszög alakja és
nagysága is megegyezik. Ezt a háromszög egyenlőség
biztosítja.

A hasonlóság esetén a két háromszög alakja egyezik
meg.
Hasonló és egybevágó háromszögek
halmaza
A háromszögek szögei és oldalai





Kapcsolat a háromszög oldalai között ;
(háromszög - egyenlőtlenség)
kapcsolat a háromszög belső szögei között;
kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között;
kapcsolat a háromszög külső szögei között;
kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között.
Menü
Kapcsolat a háromszög oldalai között
(háromszög-egyenlőtlenség)
Tétel: A háromszög bármely két oldalának összege
nagyobb, mint a harmadik oldal.
Bizonyítás:
 Két pont között a legrövidebb
út az őket összekötő szakasz.
Ezért AC + CB > AB.
 Hasonlóan belátható, hogy
AC + AB > BC és
AB + BC > AC.
C
A
A
C
B
B
Kapcsolat a háromszög belső szögei
között
Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°.
C
γ
α + β + γ = 180°
α
A
Bizonyítás:
β
B
Bizonyítás:
1. lépés:
 Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait.
 A háromszög belső szögeit α, β, γ jelöli.

Húzzunk az AB oldal egyenesével párhuzamos egyenest a C
csúcson át!
C
 γ 
α
A
β
B
Bizonyítás:
=
=
2. lépés:
 Az α és a δ fordított állású szögpárt alkot, ezért α = δ.
 A β és az ε is fordított állású szögpár, ezért β = ε.
 A C csúcsnál lévő három szög egyenesszöget alkot,
ezért
C
δ + γ + ε = 180°
δ γ ε
α + γ + β = 180°
α
A
β
B
Kapcsolat a háromszög belső és külső
szögei között
Tétel: A háromszög bármely külső szöge egyenlő a
szöggel nem szomszédos két belső szög
összegével.
C
γ
β’ = α + γ
α
Bizonyítás:
A
β β’
B
Bizonyítás:
1. lépés:
 Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait.
 A háromszög belső szögei α, β, γ, megfelelő külső szögeit α’,
β’, γ’ jelöli.
 Húzzunk az AC oldal egyenesével párhuzamos félegyenest a B
csúcsból!
C
γ
α
A
β
B
Bizonyítás:
2. lépés:
 A γ és a φ fordított állású szögek, ezért γ = φ.
 Az α és a δ egyállású szögek, ezért α = δ.
 Az ábráról leolvasható:
β’ = φ + δ
C
=
=
γ
β’ = γ + α
α
A
φ
β β’ δ
B
Kapcsolat a háromszög külső szögei
között
Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360°.
γ’
γ
α
α’
Bizonyítás:
β
β’
Bizonyítás:
1. lépés:
 Mivel
α’ = β + γ,
β’ = α + γ,
γ’ = α + β, ezért:
α’ + β’ + γ’ =
(β + γ) + (α + γ) + (α + β)
= (α + β + γ) + (α + β + γ)
= 2 . (α + β + γ)
γ’
γ
α
α’
β
β’
Bizonyítás:
2. lépés:
 A
háromszög
belső
szögeinek összege 180°:
α’ + β’ + γ’ =
2 . (α + β + γ) =
2 . 180° = 360°
 Azaz a háromszög külső
szögeinek összege:
α’ + β’ + γ’ = 360°
γ’
γ
α
α’
β
β’
Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei
között
Tétel: A háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben
egyenlő szögek vannak.
Bizonyítás:
 Mivel a háromszögnek vannak
egyenlő oldalai, a háromszög
tengelyesen szimmetrikus. A
tengelyes
szimmetriából
következik az összefüggés.
 Ha b = a, akkor β = α.
C
γ
b
a
α
A
β
c
B
Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei
között
Tétel: A háromszögben a
hosszabb
oldallal
szemben nagyobb szög
van, mint a rövidebb
oldallal szemben.
b<c
β<γ
Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei
között
Tétel:
Ha két háromszögben két-két
oldal egyenlő, akkor abban a
háromszögben nagyobb a
harmadik oldal, amelyikben
a két oldal által közbezárt
szög nagyobb.
α1 < α2 < α3
α2
C3
α3
a3
α1
C2
a2
a1
C1
Érdekes háromszögek






„Sárga háromszögek”
Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG
Háromszög alaprajzú kápolna
Háromszögoromzat
Frankenthal minta
Repülő háromszögek
Menü
„Sárga háromszögek”
PARÓCZI ÁGNES
Sárga háromszögek / Yellow triangle (1998)
Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG
Nádler István sorozata:
Háromszögek (1994-95 termése)
Háromszög alaprajzú kápolna
Háromszög alaprajzú, barokk stílusban, 1757-ben épült
kápolna Sajóládon.
Háromszögoromzat
Kapuzatok fölött elhelyezkedő, párkányzatos kiképzésű,
háromszög alakú díszítőfelület.
Frankenthal minta
Az Frankenthal dekorral díszített tárgyakat szemlélve,
azonnal megragad bennünket a mértani beosztású kékfehér háromszögek vibrálása.
„Repülő háromszögek”

Már-már legenda.
Az Egyesült Államokban az
emberek hatalmas, csendesen
repülő háromszögeket látnak a
városok közelében.

Vadászrepülők tervezésénél is
kihasználják a háromszöget,
mint geometriai formát.
Kilépés