Háromszög nevezetes vonalai, körei

Háromszög nevezetes oldalai

Oldalfelező merőlegesek

Definíció:

Az oldalfelező merőleges egyenes olyan egyenes, amely átmegy az oldal felezőpontján és merőleges az oldalra. Jelölése fa, fb, fc.

Tétel:

A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög köré írható körének középpontja.

Háromszög szögfelezői

Definíció:

A szögfelező olyan egyenes, amely felezi a háromszög belső szögét. Jelölésük: fα, fβ, fγ .

Tétel:

A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja.

Háromszög hozzáírt körei

A háromszögön kívül 3 hozzáírt kört találunk, amelyek érintik mindhárom oldalegyenest. Ezek középpontjai a külső szögfelezők metszéspontja. Ezek a pontok tehát egyenlő távolságra vannak a három oldalegyenestől.

Háromszög súlyvonalai

Definíció:

oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Jelölésük: sa, sb, sc .

A súlyvonal a háromszög csúcsát a szemközti

Tétel:

A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, ez a háromszög súlypontja. A súlyvonalak harmadolják egymást úgy, hogy a csúcs felé esik a súlyvonal hosszabb része.

Háromszög magasságvonalai

Definíció:

A magasságvonal a háromszög csúcspontjából a szemközti oldal egyenesére állított merőleges egyenes. Jelölése: ma, mb, mc .

Tétel:

A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ez a háromszög magasságpontja.

Háromszög középvonalai

Definíció: Tétel:

a háromszög közép-vonala a két oldal felezőpontját összekötő szakasz. Jelölése: ka, kb, kc.

A háromszög középvonalai párhuzamosak a háromszög megfelelő oldalaival. A közép vonalak hossza fele akkora, mint a velük párhuzamos oldal hossza.

k a

||

a

,

k b

||

b

,

k c

||

c k a



a

2 ;

k b



b

2 ;

k c



c

2

Háromszög kerülete,területe

A háromszög

kerületét

az oldalak összege adja.

Területét

úgy számoljuk ki, hogy bármelyik oldalt megszorozzuk a hozzá tartozó magassággal, és a szorzatot kettővel osztjuk.

K



a



b



c T



a



m a

2 

b



m b

2 

c



m c

2 A derékszögű háromszög területét kétféleképpen is fel lehet írni:

T



a



b

2 

c



m

2 Bármely háromszögben érvényes a T = s · r összefüggés, ahol T a háromszög területe, s a kerület fele, r pedig a beleírt kör sugara.