Transcript 第05章
第5讲 空间杆件结构的有限元法
第一节
局部坐标系下的单元分析
第二节 空间单元坐标变换
第三节空间刚架分析举例
第一节
局部坐标系下的单元分析
图 2-1 所示为空间刚架中的任一
杆件单元。选取局部坐标系时,去
形心轴为 x 轴,横截面的主轴分
别为坐标系的 y 轴和 z 轴。 x 、y、z
轴的方向按右手定则确定。这样,
单元在 x y 平面内的位移与 x z
平面内的位移是彼此独立的。设杆截面面积为 A,在 x z 平面内的抗弯刚
度为 EI y ,
线刚度 i y
杆件的抗扭刚度为
GJ
l
EI y
l
。
;
在 x y 平面内的抗弯刚度为 EI x ,
线刚度 i x
EI x
l
;
空间刚架单元的两端分别与结点 i 和 j 相联结。每一个结点有六个结点位移分量
和六个结点力分量。在局部坐标系下空间杆件的杆端位移列阵 e 和杆端力列阵 F e 分
别为
e u i
F e Xi
vi
wi
Yi
Zi
xi yi zi
M xi
M yi
u
M zi
j
vj
Xj
wj
Yj
xj zj
Zj
M xj
zj
T
M yj
M zj
T
其中 u 为轴向位移,v、w 为横向位移, x 为杆件的扭转角, y、 z 分别为绕 y 轴和
z
轴弯曲时的转角; X 为杆件单元的轴力, Y、Z 分别为沿 y 轴和 z 轴作用的剪力,
这里力偶矩和角位移的指向按照右手定则用双箭
M x、M y、M z 为作用在杆端的力偶矩。
头表示;力和线位移的指向用单箭头表示。图 2-1 中所示的杆端力和杆端位移为正
方向。
与平面单元的推导方法一样,首先求出当杆端位移 e 中的一个分量为 1,而其余分
e 的 i 端发生单位位移时,杆端力与杆端
量均为零时的杆端力。图 2-2 所示为当单元○
位移之间的关系。图中未绘出的杆端力和杆端位移分量,在该情况下数值为零。
依同样方法可以确定当单元 j 端发生单位位移时,杆端力与杆
端位移之间的关系。
当单元的杆端位移分量为任意值时,可以写出空间单元刚度方
程,以矩阵表示为
EA
0
l
12EI z
0
Xi
l3
Yi 0
0
Zi
0
0
M
xi
0
M 0
yi
6 EI z
M 0
zi
l2
EA
0
X j
l
Y j 0 12EI z
l3
Z
j
0
0
M xj
0
M yj 0
M zj
0
0
6 EI z
0
l2
0
0
0
0
0
0
12EI y
0
l3
0
6 EI y
0
l2
0
4 EI y
l
0
0
0
0
0
0
0
0
l3
6 EI y
l2
0
GJ
l
0
0
l2
l2
0
12EI y
6 EI z
6 EI y
0
0
GJ
l
0
6 EI y
l2
0
2 EI y
l
0
EA
l
0
0
12EI z
l3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4 EI z
l
0
6 EI z
l2
0
EA
l
0
6 EI z
l2
0
12EI z
l3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 EI z
l
0
6 EI z
l2
0
0
0
0
0
0
12EI y
0
l3
0
6 EI y
l2
GJ
l
0
6 EI y
l2
0
2 EI y
l
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12EI y
l3
0
6 EI y
l2
0
0
GJ
l
0
0
6 EI y
l2
0
4 EI y
l
0
6 EI z
2
l ui
0 vi
w
0 i
xi
0
yi
2 EI z
l zi
0 u j
6 EI z v j
2
l w
j
0
xj
0 yj
0 zj
4 EI z
l
0
式(2-1)
F e k e
式(2-1)可以简写为
e
(2-2)
其中单元刚度矩阵为
EA
0
l
12EI z
0
l3
0
0
0
0
0
0
6 EI z
0
l2
ke
EA
0
l
12EI
0
3 z
l
0
0
0
0
0
0
6 EI z
0
l2
(
0
0
0
0
0
0
12EI y
0
l3
GJ
l
0
6 EI y
l2
0
4 EI y
l
0
0
0
0
0
0
0
0
l3
6 EI y
l
0
2
GJ
l
0
0
l
l2
0
12EI y
6 EI z
6 EI y
0
0
0
6 EI y
l2
0
2 EI y
l
0
0
2
0
0
12EI z
l3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4 EI z
l
6 EI z
l
0
EA
l
0
EA
l
2
0
6 EI z
l2
0
12EI z
l3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 EI z
l
0
6 EI z
l2
0
0
0
0
0
0
12EI y
0
l3
0
6 EI y
l2
GJ
l
0
6 EI y
l2
0
2 EI y
l
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12EI y
l3
0
6 EI y
l
2
0
0
GJ
l
0
0
6 EI y
l2
0
4 EI y
l
0
6 EI z
2
l
0
0
0
2 EI z
l
0
6 EI z
2
l
0
0
0
4 EI z
l
0
(2-3)
式(2-3)为局部坐标系中的空间单元刚度矩阵。它是 12 阶方阵,其性质也与平面结构
的相同。
第二节 空间单元坐标变换
将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩
e 在端点 i 的三个杆端
阵,是通过坐标转换矩阵完成的。首先考虑单元○
力分量,在局部坐标系 x yz 中,它们是 X i、Yi、Z i ;在整体坐标系 xyz
中,是 X i、Yi、Z i 与 X i、Yi、Z i 之间的关系。设 x 轴与 x、y、z 轴的夹角分
别为 x x、x y、xz (图 2-3)
,则 x 轴在 xyz 坐标系中的方向余弦为
l x x cos( x , x )
l x y cos( x , y )
l x z cos( x , z )
将杆端力 X i、Yi、Z i 在 x 轴上投影,
可求得杆端力
X i X i l xx Yi l xy Z i l xz
同理可得
Yi X i l yx Yi l yy Z i l yz
Z i X i l zx Yi l zy Z i l zz
综合上三式
X i l xx
Yi l yx
Z i l z x
l xy
l yy
l zy
l xz X i
l yz Yi
l zz Z i
(2-4)
这就是在端点 i 由整体坐标系中的杆端力 X i、Yi、Z i 推算局部坐标系中
杆端力 X i、Yi、Z i 的转换关系式。其中两坐标系的转换矩阵(简称“关系矩
阵”
)为
l xx
t l yx
l z x
l xy
l yy
l zy
l xz
l yz
l zz
参照上述方法,同样可以推出以
X j 、Y j 、Z j
表示
X j、 Y j、 Z j
其转换矩阵也是 t。
(2-5)
M xi 、 M yi 、 M zi
表示M xi、M yi、M zi ,以
M x j 、 M yj 、 M z j
,以 M xj、M yj、M zj 表示
的表达式,
e 与局部坐标系
综合以上分析,整体坐标系中的单元杆端力分量列阵 F○
中单元杆端力分量列阵 F e 之间的关系,可用下时表达
F e T eF e
(2-6)
同理,可导出整体坐标系与局部坐标系杆端位移之间的转换关系
e T e e
(2-7)
在以上两式中
t 0 0 0
0 t 0 0
e
T
0 0 t 0
0 0 0 t
(2-8)
称为“单元坐标转换矩阵”;它是 12×12 阶矩阵,是一个正交矩阵,故
有
T e1 T eT
(2-9)
在平面结构中,确定了单元的两个结点 i 和 j 的坐标,就确定了杆件的
位置。在空间结构中,仅仅确定两个端点的坐标还不能完全确定刚架杆件
在空间的位置,因为相同的 ij 杆,其截面形心主轴仍可由不同的方向。为
确定刚架杆件在空间的确切位置,还需要在杆轴线外在取一点 k,以确定其
形心主轴的方向。
取结构的整体坐标系为 xyz,单
元局部坐标系为 x yz , O y 为杆件截
面形心主轴之一,如图 2-4 所示。单
元的位置由 i、j、k 三个点的坐标决
定。这里 i 为单元起始结点号,j 为
单元终点号,由 i、j 两点可确定 O x
的方向。K 点在单元所在的 xO y 平面
内,但又不在 x 轴上,如果刚架上找
不到合适的点,可用一个假想的点代替。
设i、j、k三点在整体坐标系xyz中的坐标分别为
(xi、yi、zi)、(xj、yj、zj)、(xk、yk、zk),
那么如何根据这三个点的坐标值来确定坐标系
的关系矩阵t中的九个元素呢?t中的第一行元素
较容易确定。如图2-4可得
l xx
l xy
l xz
x j xi
l
y j yi
l
z j zi
l
(2-10)
其中 l 为杆长,可按下式求得
l ( x j xi ) 2 ( y j y i ) 2 ( z j z i ) 2
(2-11)
Ox
设 i、j、k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量,
x l xx i l xy j l xz k
轴矢量 x 可表示为
(2-12)
因为 O z 轴的矢量 z 与平面 ijk 垂直,所以有
i
j
k
z (i k ) ( j k ) x k x i
y k yi
z k zi
xk x j
yk x j
zk z j
(2-13)
YZ
yk yi
zk zi
yk y j
zk z j
ZX
为后面的运算方便,可设
XY
则有
O z 轴的方向余弦为
xk xi
zk zi
xk x j
zk z j
xk xi
yk yi
xk x j
yk y j
Z YZi ZXj XYk
l xx YZ / l 2
l xy ZX / l 2
l xz XY / l 2
YZ
y k yi
z k zi
yk y j
zk z j
ZX
为后面的运算方便,可设
XY
x k xi
z k zi
xk x j
zk z j
x k xi
y k yi
xk x j
yk y j
Z YZi ZXj XYk
则有
Oz
轴的方向余弦为
l xx YZ / l 2
l xy ZX / l 2
l xz XY / l 2
式中
l 2 (YZ ) 2 ( ZX ) 2 ( XY ) 2
由于
Oy
Ox
轴与
轴垂直,
Oy
Oz
轴与
(2-16)
Oy
轴垂直,且
1,于是有
yx 0
y (x i k) 0
l y2x l y2y l y2z 1
的方向余弦之和等于
以上三式可组成联立方程
l yx l x x l y y l x y l y z l x z 0
l yx
l yy
l yz
l xx
l xy
l x z 0
x k xi y k y i z k z i
l 2 y x l 2 y y l 2 yz 1
(2-20)
解式(2-20)的联立方程,可得
l yx S 1 / l 3
l yy S 2 / l 3
l yz S 3 / l 3
(2-21)
式中
S1 (1 l x2x )( x k xi ) l xx l xy ( y k y i ) l xx l xz ( z k z i )
S 2 l xy l xx ( x k xi ) (1 l x2y )( y k y i ) l xy l xz ( z k z i )
S 3 l xz l xx ( x k xi ) l xx l xy ( y k y i ) (1 l x2z )( z k z i )
l 3 S 21 S 2 2 S 2 3
由式(2-10)
、式(2-15)和式(2-21)便可确定坐标关系矩阵 t。
,化简整理后,可得空间刚架杆件单
将式(2-6)和式(2-7)代入式(2-2)
元整体坐标系中的单元刚度方程
F e T eT k eT e
(2-22)
设
k e T eT k eT e
(2-23)
则
F e k e e
(2-24)
k e 为空间单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵。式(2-23)为两种坐标系的
单元刚度矩阵的转换关系式。式(2-24)和式(2-23)在形式上与平面结构
的公式一样
第三节
空间刚架分析举例
空间刚架整体刚度矩阵 K 的形成、结点荷载列阵的形成和支承条
件的引入,均与平面刚架的处理方法相同。
例 2-1 试求图 2-5a 所示空间刚架 B 结点的位移及各杆内力。设各杆
的材料和几何性质相同。
E 2.1 10 2 GPa, G 9 10 4 GPa, A 0.005 m 2 , l 2.3m, J 2.6 10 5 m 4 ,
I y 1.2 10 5 m 4 , I z 3.0 10 5 m 4 , P 10 kN , q 15 kN / m.
(矩形截面梁在扭转时将发生翘曲。本题中杆件为实体截面,约束所引起的附
加正应力已略去,J 为“相当极惯性矩”
。
)
解:(1)确定结点,划分单元,建立坐标系。括号内数字为结点位移编号,见
(图 2-5b)
。
k
(2)形成局部坐标系中的单元刚度矩阵
e
EA
4.375 10 5 k N / m,
l
EI y 2.52 10 3 k N m,
GJ
9.75 10 2 k N m
l
EI z 6.3 10 3 k N m 2
2 EI y
4 EI y
2.1 10 3 k N m,
l
2 EI z
5.25 10 3 k N m,
l
6 EI y
3
2
.
625
10
k N,
2
l
12 EI y
3
2
.
1875
10
k N / m,
3
l
4.2 10 3 k N m
l
4 EI z
1.05 10 4 k N m
l
6 EI z
3
6
.
5626
10
kN
2
l
12 EI z
3
5
.
4688
10
kN/ m
3
l
将以上数据代入式(2-3)
,得局部坐标系中的单元刚度矩阵
437500 0
0
5469
0
0
0
0
0
0
0
6562
1
k
437500 0
0
5469
0
0
0
0
0
0
6562
0
0
0
0
0
437500
0
0
0
0
0
6562
0
5469
0
2188
0
2625
0
0
0
2188
0
975
0
0
0
0
0
4200
0
0
0
2625
2625 0
0
0
0
10500
0
6562
0
0
0
0
0
437500
0
0
0
0
0
6562
0
5469
0
2625
0
0
0
2188
0
0
0
0
0
2100
0
0
0
2625
0
5250
0
6562
0
2188 0
0
975
2625 0
0
0
0
0
0
6562
0 2625 0
955 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 6562
0
2625 0
975
0
0
0
4200 0
0
0
10500
0
0
k 2 k1
(3)形成整体坐标系中的单元刚度矩阵
单元①: k 1 k 1
单元②:先形成关系矩阵 t 和单元坐标转换矩阵 T,见式(2-5)
和式(2-8)。根据单元②的局部坐标系与整体坐标系之间的关
系(图 2-6)
,可得
0 0 1
t 0 1 0
1 0 0
单元坐标转换矩阵为
0
0
1
0
0
0
T
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
根据单元刚度矩阵的转换关系
k e T eT k eT e
可求得整体坐标系中单元②的单元刚度矩阵
2188
0
0
0
2625
0
2
k
2188
0
0
0
2625
0
0
0
0
2625
0
2188
0
5469
0
6562
0
0
0
5469
0
437500
0
0
0
0
0
6562
0
10500
0
0
0
6562
0
0
0
4200
0
2625
0
0
0
0
0
975
0
0
0
0
0
2625
0
2188
0
5469
0
6562
0
0
0
5469
0
437500
0
0
0
0
0
6562
0
5250
0
0
0
6562
0
0
0
2100
0
2625
0
0
0
0
0
975
0
0
2625
0
0
0
6562
0
0
0
437500 0
0
0
0
0
2100 0
0
0
975
0
0
0
2625 0
0
0
0
6562 0
0
0
0
437500 0
0
10500 0
0
4200 0
0
0
975
0
0
0
0
0
(4)根据直接刚度法组集整体刚度矩阵。以下所列为以子块表示的整体
刚度矩阵,各子块中的元素由k 1和k 2 中的元素组成。
k ii1
K k 1ji
0
k ij1
k 1jj k ii2
k 2ji
0
k ij2
k 3jj
(5)引入支承条件,修改整体刚度矩阵 K,可得修改后的整体刚度矩阵
439687
0
0
KF
0
2625
0
0
0
0
2625
10937
0
6562
0
0
439687
0
2625
6562
0
11475
0
0
2625
0
8400
6562
0
0
0
6562
0
0
0
11475
0
(6)组集结点荷载列阵 P0,并引入支承条件,求自由结点荷载列阵 PF。
单元①、单元②的固端力分别为
F f1 0
5
F f2 0 18
0
3 0
0
0
0
0
0
7 .2
0
5
0
0 18
0
0
0
3
T
7 .2
T
0
单元①、单元②的等效结点荷载
Pee T eT F fe
Pe1 0
Pe2 0
5 0
18 0
0
5 0
3 0
0
0
0
7 .2
0
0
18 0
0 3
T
0
0
7 .2
T
整个结构的总载荷列阵
P0 0 5 0 0 0 3 0 23 0 7.2 0 3 0 18 0 7.2 0 0
T
引入支承条件修改后
p F 0 23 0 7.2 0 3
T
(7)解方程,求自由结点位移。
由引入支承条件后整个结构的刚度方程:
K F F PF
求得自由结点位移
F 0 5.0029 10 3
0 2.2337 10 3
0 2.5997 10 3
T
进而可确定整体坐标系下各单元的杆端位移
1 0 0 0 0 0 0 0 5.0029103 0 2.2337103 0 2.5997103
T
2 0 5.0029103 0 2.2337103 0 2.5997103 0 0 0 0 0 0
T
(8)求单元的杆端力
单元①:
F 1 Ff1 T 1k 1 1
0 15.299 0 2.1778 0 22.183 0 5.299 0 2.1718 0 2.5347
T
单元②:
F 2 Ff2 T 2 k 2 2
0 5.299 0 2.5347 0 2.1778 0 30.701 0 2.5374 0 28.305
T
(9)绘内力图。结果如图 2-7 所示。