Transcript ppt - pohoda.joste.cz

Statistika
Poznámky z přednášek
Materiál obsahuje poznámky ze přednášek plus to co se musíme doučit včetně ukázkových příkladů,
které se objevily na přednášce, nebo z aplikace netstorage.
J.T.
OBSAH
Úvodní stránka………………………………………………………………………………………………………………………1
OBSAH ……………………………………………………………………………………………………………………………………………2
Základní pojmy (Statistické ukazatele) ……………………………………………………3
Základní pojmy, Příklad ……………………………………………………………………………………………4
Průměry - Harmonický průměr …………………………………………………………………………………5
Geometrický průměr …………………………………………………………………………………………………………6
Kvadratický průměr …………………………………………………………………………………………………………7
Prostorové bodové struktury, zjištění stupně agregace ……………8
Pravděpodobnost - pojmy ……………………………………………………………………………………………9
Pravděpodobnost, příklady ……………………………………………………………………………………10
Geometrická pravděpodobnost, Náhodné veličiny ………………………………11
Náhodné veličiny, Binomické rozdělení ……………………………………………………12
Náhodné veličiny - definování binomického rozdělení
Matematická statistika - testování hypotéz ………………………………………13
Testování hypotéz - znaménkový test …………………………………………………………14
Studentův t-test ……………………………………………………………………………………………………………15
Studentův t-test, F – test (dvou výběrový test)……………………………16
Odhad střední hodnoty ………………………………………………………………………………………………17
Porovnání průměrů zkoumaných vzorků (dvou výběrový test)
Welchův test ………………………………………………………………………………………………………………………18
Wilcoxonův test dvouvýběrový ……………………………………………………………………………19
Wilcoxonův test jednovýběrový a párový …………………………………………………20
2
Základní pojmy
Etapa statistického zjišťování (získávání a shromažďování údajů).
hodnoty (znaky) diskrétní (nespojité)
Nejčastěji počet něčeho, protože stromů v porostu nemůže být 3,5.
hodnoty spojité
Váha, výška, rychlost a jiné údaje, které umožňují jakoukoliv hodnotu v oboru reálných čísel.
Etapa statistického zpracování (třídění a výpočet ukazatelů).
Grafické znázornění
Histogram
Polygon
Statistické ukazatele
míry polohy
Průměr (  )
Modus je hodnota s největší četností. ( Ĥ )
Medián je prostřední hodnota ( H )
míry rozptýlenosti
Míra rozptýlenosti je rozpětí, jehož dosahují jednotlivé naměřené hodnoty.
Odchylka je rozdíl mezi naměřenou a střední hodnotou (mediánem)
Průměrná odchylka se pak vypočte jako suma všech odchylek a její vydělení počtem měření.
(scripta uvádějí průměrnou odchylku jako sumu odchylek od průměru vydělenou počtem měření.
Rozptyl je definován jako střední hodnota druhým mocnin (kvadrátů) odchylek od průměru.
Směrodatná odchylka je odmocninou z rozptylu
Základní pojmy
Variační koeficient je podílem mezi směrodatnou odchylkou a průměrem.
Příklad
Je použit z příkladů poskytnutých v doporučených materiálech na netstorage. Jedná se o druhý soubor, příklad 1
1. Ve dvanáctičlenné studijní skupině bylo při zápočtovém testu dosaženo následujících
bodových výsledků (maximální možný počet bodů je roven deseti):
3 5 7 10 10 10 10 8 10 0 8 3
Vypočítejte modus, medián, aritmetický průměr, průměrnou odchylku, rozptyl a
směrodatnou odchylku zaznamenaných výsledků.
a) Zápis měření
Dosažená hodnota
0
3
5
7
8
10
Absolutní četnost
1
2
1
1
2
5
Relativní četnost
0,08
0,17
0,08
0,08
0,17
0,42
Počet měření: n = 12
Relativní četnost = Absolutní četnost ÷ počet měření
Aritmetický průměr = ( 0*1 + 2*3 + 1*5 + 1*7 + 2*8 + 5*10 ) ÷ 12 = 7
Modus = 10
Medián = střední hodnota ze součtu všech hodnot bude mezi 34. pořadím (0 + 3 + 3 + 5 + 7 + 8 ) a
44. pořadím (0 + 3 + 3 + 5 + 7 + 8 + 10), což by odpovídalo hodnotě 9.
Průměrná odchylka: [ 1 * ( 9 – 0 ) + 2 * ( 9 – 3 ) + 1 * ( 9 – 5 ) + 1 * ( 9 – 7 ) + 2 * ( 9 – 8 ) + 5 * (
10 – 9) ] ÷ 12 = ( 9 + 12 + 4 + 2 + 2 + 5 ) ÷ 12 = 2,83 při počítání s absolutní četností. Pokud
použijeme četnost relativní je výpočet mnohem sice jednodušší, protože počítáme ( 1 * 0,08 + 2 *
0,17 + 1 * 0,08 + 1 *0,08 + 2 * 0,17 + 5 * 0,42), ale výsledek se může lišit díky zaokrouhlení,
které jsme použili při výpočtu relativní četnosti.
Rozptyl: s² = [ 1 * ( 7 – 0 )² + 2 * ( 7 – 3 )² + 1 * ( 7 – 5 )² + 1 * ( 7 – 7 )² + 2 * ( 8 – 7 )² + 5 * ( 10
– 7)² ] ÷ 12 = ( 1*49 + 2*16 + 1*4 +1*0 + 2*1 + 5*9 ) ÷ 12 = 11
Směrodatná odchylka: odmocnina z rozptylu (15) = 3,32
Variační koeficient: Směrodatná odchylka ÷ průměr, tj. 3,32 ÷ 7 = 0,47
Pozn.: V tištěných scriptech se vzorec pro výpočet rozptylu tváří nejen složitěji, ale také trošku
více odlišně. Tento vzorec odpovídá vzorci z elektronických script z webu ČZU.
Průměry
Aritmetický průměr
Je každému jasný, takže je pro úplnost
x = [ Naměřená hodnota (h1) * počet měření (n1) s výsledkem h1 + h2 * (n2) … (hn) * (nn) / celkový
počet měření (n)
Harmonický průměr
Se využívá zejména u rychlosti, měření el. odporu, … . Vzorec se zapisuje takhle
a dá se přečíst jako počet měření děleno suma všech naměřených hodnot
na minus prvou.
n
xh =
1
xi
Doložení vzorce
Příklad č. 5 z netstorage je shodou okolností tentýž, jaký použil profesor při výpočtu na konzultaci
a zní:
Automobil jede do kopce rychlostí čtyřicet km/hod a poté stejnou trasou
zpátky rychlostí osmdesát km/hod. Jaká je průměrná rychlost automobilu během
této projížďky?
Protože se oba časy jednotlivých částí projížďky rovnají musí být roven i součet jejich rychlostí. Z
toho vyplývá, že hodnoty zapíšeme takto:
s
+
40
1
40
s
=
80
+
1
80
s
+
xh
=
1
xh
s
xh
+
s = čas, a protože nám na něm nezáleží, tak můžeme říci, že
projížďka trvala 1 jednotku času a zapsat to takhle:
1
3
xh
80
=
2
xh
3 xh = 160
xh = 53,3 km/h
Průměry
Geometrický průměr
můžeme využít např. u průměrování úroků v bance, nebo u jiných hodnot, které narůstají
geometrickou řadou. Vzorec se zapisuje takhle:
n
xg =
x1 + x2 + x3 + … xn
Doložení vzorce
na příklad č. 4, který zní:
Určete celkovou naspořenou částku z vkladu 60 000 Kč po pěti letech spoření, jestliže vklad
měl roční úročení a úroková míra činila v prvním roce 4% , ve druhém 8%, ve třetím 6% a ve
čtvrtém i pátém roce 12%. Určete též průměrnou roční úrokovou míru za dané období.
To, co se nám v tomto případě nemění a zůstává výsledkem levé i pravé strany rovnice je výše
zůstatku na konci spoření. Takže hodnoty zapíšeme takto:
60 000 * 1,04 * 1,08 * 1,06 * 1,12 * 1,12 = 60 000 * xg * xg * xg * xg * xg (vykrátíme)
1,49 = xg
5
xg =
1,49
xg = 1,08  8%
Kvadratický průměr
Použijeme tam, kde průměrujeme plochy (nejčastěji kruhové) a při tom známe pouze jejich
průměr, nebo obdobnou veličinu . Vzorec se zapisuje takhle:
1
xk =
2
Doložení vzorce
n
xi
na příklad č. 3, který zní:
Nechť d1, d2, …, dn jsou výčetní tloušťky stromů na daném stanovišti. Určete průměrnou
velikost kruhových výčetních základen těchto stromů. Dále určete tloušťku stromu s
průměrně velikou kruhovou výčetní základnou. Speciálně předpokládejte, že na stanovišti je
devět stromů s následujícími tloušťkami (v centimetrech):
20 20 30 30 40 40 50 50 60
To, co se nám v tomto případě nemění a zůstává výsledkem levé i pravé strany rovnice je celková
plocha kruhové výčetní základny. Na rozdíl od způsobu, kterým jsme řešili příklad na konzultaci,
bude pro mne jednoduší pracovat s poloměry: 10 10 15 15 20 20 25 25 30
 * 2 *10² +  * 2 * 15² +  * 2 * 20² +  * 2 * 25² +  * 1 * 30² = 9 *  * rk² (vykrátíme
)
200 + 450 + 800 + 1250 + 900 = 9 rk²  400 = rk²  rk = 20  dk = 40
Průměry
Kvadratický průměr
Pokud bychom místo s poloměrem pracovali s průměrem vypadalo by to takto:
2*

* 20² + 2 *
4

* 30² + 2 *
4
Vykrátíme


* 40² + 2 *
4

* 50² +
4

* 60² =
4

9 dk²
4
, a dostaneme 800 + 1800 + 3200 + 5000 + 3600 = 9 dk² 
4
1600 = dk²  dk = 40
Obtížnost tedy bude asi stejná, rozdíl bude jen v délce zápisu, takže hlavně neudělat chybu ve
vzorečku.
Kubický průměr
Použijeme tam, kde průměrujeme objemy a při tom známe pouze jejich průměr, nebo obdobnou
veličinu v měřených tělesech. Vzorec se zapisuje takhle:
3
1
3
xc =

Doložení vzorce
n
xi
na trochu upraveném příkladu č. 2, který po úpravě zní:
Nechť d1, d2, d3, jsou průměry borůvek v košíku. Určete průměrný objem těchto borůvek.
Dále určete průměr borůvky s průměrným objemem.
To, co se nám v tomto případě nemění a zůstává výsledkem levé i pravé strany rovnice je celkový
objem borůvek. Pro výpočet použijeme vzorec pro objem koule.

 d1³
+
6
 d2³
6
d1³ + d2³ + d3³
+
 d3³
6
3
= dk³
3
= dk³  dk =
(vykrátíme
d³
)
6
6
6 d1³ + d2³ + d3³
3
Objem průměrné borůvky tedy bude:


6
*
3
d1³ + d2³ + d3³
3
=
 ( d1³ + d2³ + d3³
)
18
Prostorové bodové struktury
Zjištění stupně agregace
1)
Prostor (plocha) se rozčlení na pravidelné části
(nejlépe čtverce)
2)
Zjistí se počet bodů (vzorků) ve čtvercích
(blocích)
3)
Spočítá se „agregace“ pomocí koeficientu
disperze, který se počítá jako podíl mezi
rozptylem a aritmetickým průměrem.
Na příkladu č. 6 z netstorage
Prostorové rozmístění velkých
stínek (Philoscia muscorum).
Na následujícím obrázku je
zaznamenán výsledek analýzy
prostorového rozmístění stínek ve
spadaném listí a humusu v části
bukového háje poblíž Oxfordu.
i=
s²
x
 Pokud se i rovná 1, jedná se o pravidelné rozmístění
bodů v prostoru s maximálním rozestupem
 pokud je i větší než 1, jedná se o shlukovité rozmístění
 pokud je i menší než 1, je rozmístění bodů spíše
náhodné, nepravidelné
a) Zjištěný výskyt bodů zapíšeme do tabulky
Množství stínek (n)
0
1
2
3
4
5
Absolutní četnost
15
5
9
4
2
2
0,41
0,14
0,24
0,11
0,05
0,05
relativní
b) Aritmetický průměr
(15*0 + 5*1 + 9*2 + 4*3 + 2*4 + 2*5 )  37 = 1,43
c) Rozptyl = [ 15 * ( 1,43 – 0 )² + 5 * ( 1,43 – 1 )² + 9 * ( 2 – 1,43)² + 4 * ( 3 – 1,43 )² + 2 * ( 4 –
1,43 )² + 2 * ( 5 – 1,43 )² ]  37 = [30,67 + 0,92 + 2,92 + 9,86 + 13,21 + 25,49]  37 = 2,25
d) i = 2,25  1,43 = 1,57
Prostorové rozmístění stínek je tedy shlukovité.
Pravděpodobnost
Pojmy
Náhodným pokusem zkoumáme výskyt náhodných jevů. Je to takový pokus
(zkoumání jehož výsledek není jednoznačně určen počátečními podmínkami.
Množina náhodných jevů tvoří náhodný pokus. Jevy mohou být
vzájemně neslučitelné, tj. takové které se vzájemně vylučují, jako např.
možnost, že při hodu kostkou nemůže padnout číslo, které by bylo zároveň
sudým i lichým. Není u nich žádný průnik množin.

1 5
3
druhou kategorií jsou jevy vzájemně slučitelné. Tady už dochází k průniku
množin náhodných jevů

Za nezávislý jev označujeme takový náhodný jev, kdy výskyt jednoho jevu neovlivní výskyt jevu
druhého. Např. u rulety, když si vytočíte jakékoliv číslo, tak to nemá vliv na vytočení čísla při
další hře, na rozdíl třeba od sportky, kdy vylosování 1. míčku změní pravděpodobnost losování
míčku druhého – jev závislý.
Jev u něhož pravděpodobnost vyjádříme číslem 1 označujeme jako jev jistý (nastane vždy – Při
hodu hrací kostkou padne vždy celé číslo). Opakem je jev nemožný, tuto pravděpodobnost
vyjádříme číslem 0. Pravděpodobnosti mezi nulou a jedničkou jsou jevy nejisté.
Pravděpodobnosti výskytu neslučitelných jevů se sčítají. P(A + B) = P(A) + P(B)
U jevů slučitelných je potřeba ještě odečíst jejich průnik. P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A•B)
Pravděpodobnosti jevů nezávislých násobíme. P(A • B) = P(A) * P(B)
Pravděpodobnost, že při 2 hodech hrací kostkou bude součet padnuvších hodnot roven 2, spočteme
tak, že vynásobíme pravděpodobnosti jevu, že při každém hodu padne jednička. 1/6 * 1/6 = 1/36.
Použít můžeme i základní schéma pro výpočet pravděpodobnosti nezávislých jevů, které
zapisujeme takto:
m(A)
a můžeme ji vyjádřit jako podíl množin jevů, které
P(A) =
chceme zjistit a všech možných jevů.
m(Ώ)
Pravděpodobnost jevu, že při 2 hodech hrací kostkou bude součet padnuvších
hodnot roven 4 tedy bude 3/62, tj. 1/12.
13
22
31
Pravděpodobnost
Příklady
S jakou pravděpodobností se jako řidič dostanete z místa A do místa B,
pokud na vás čekají takovéto křižovatky.
A
Podíváme se na plánek a vidíme, že k cíli vedou 2 cesty, tzn., že budeme sčítat
pravděpodobnosti možnosti jet cestou horní a dolní. Ať už pojedeme horem nebo
dolem, čekají nás křižovatky, kde, jak je z nákresu vidět mohou nastat jevy
nezávislé.
B
Horní cesta: Pravděpodobnost, že na křižovatce pojedeme správně je ½. To
vynásobíme pravděpodobností, že z bodu A pojedeme právě horní cestou a
vyjde nám ½ * ½ = ¼.
Dolní cesta: Pravděpodobnost, že na křižovatce zahneme správně 1/3. To
vynásobíme pravděpodobností, že z bodu A pojedeme právě dolní cestou a
vyjde nám 1/3 * ½ = 1/6.
A teď už jen sečteme pravděpodobnosti dvou neslučitelných jevů ¼ + 1/6 = 5/12.
Pozor!!! Mapka může mít i jiné uspořádání tras, takže logika bude
jistě potřeba. Nicméně si myslím, že by se nám mohly vyhnout špeky
typu křižovatek s kruhovým objezdem.
Stojíte na kraji útesu. S jakou pravděpodobností spadnete dolů, pokud v rámci
„povolených“ kroků dvěmi směry (dopředu a dozadu) uděláte 1, 2, 3, 4, 5 … kroků?
Opět bude potřeba si uvědomit, kdy budeme počítat s jevy nezávislými a
neslučitelnými. Opět je to o logice. U každého jednoho kroku je pravděpodobnost
že ho uděláme jedním směrem je ½, protože jak zaznělo v zadání byly dány jen
dva možné směry kroků.
Počet kroků
Možnosti
Pravděpodobnost
1
½
2
0/2=0
3
½ * ½ * ½ = 1/8
4
5
U sudých počtů kroků už
neexistuje možnost,
jak udělat sudý krok a spadnout
dolů, tedy P = 0
½*½*½*½*½+½*½*½*½
* ½ = 1/16
U podobných příkladů tedy nepočítat celkový počet možností jak dosáhnout kýženého výsledku,
ale sečíst pravděpodobnosti možných cest, které vedou k cíli.
Geometrická pravděpodobnost
Pro geometrickou pravděpodobnost používáme stejný vzorec jako pro
pravděpodobnost aritmetickou (klasickou). Rozdíl je v tom, že místo s určitým
počtem jevů, pracujeme s určitou délkou, prostorem, nebo jinou veličinou.
Máme příklad:
P(A) =
m(A)
m(Ώ)
Na 600 metrovém úseku cesty ztratíme minci. S jakou pravděpodobností ji najdeme,
budeme-li prohledávat 100 metrový úsek?
Dosadíme do vzorce: P(A) = 100 / 600 = 1/6
Pokud by náhodou vzorec „vypadnul“, tak ke stejnému výsledku se dojde logickou úvahou. Na
každém metru v prohledávaném úseku mám pravděpodobnost, že ji najdu 1/600. Těch metrů je
celkem sto, jedná se o jevy neslučitelné, takže je můžeme sčítat. Po sečtení stovky 1/600 nám opět
vyjde výsledek 1/6.
Máme 10kg těsta. Do něj dáme rozinku. Zapracujeme ho do kilových bochánků. S jakou
pravděpodobností najdeme rozinku v jednom konkrétním upečeném bochánku.
Opět je nejdůležitější se nezamotat v číslech a např. nedělit 1 rozinku 10 kily těsta. Dělit můžeme
1kg / 10 kg nebo 1 bochánek 10 bochánky. Vyjde nám tedy P(A) = 0,1. Kdybychom do těsta dali 2
rozinky, tak pravděpodobnost, že v jednom bochánku najdeme aspoň jednu rozinku bude 0,1 + 0,1
= 0,2.
Náhodné veličiny
Rovnoměrné rozdělení pravděpodobností rozděluje jednotlivým výsledkům pokusu (zkoumání)
pravděpodobnosti, že nastanou. Např. u hodu kostkou je u hodu jednou kostkou se hodnoty
jednotlivých pravděpodobností pro čísla 1 – 6 rovnají jedné šestině. Pokud budeme neustále
přidávat přidávat kostky, tak se graf křivky (osa x – součet hodů, osa y - pravděpodobnost, bude
stále více podobat gaussově křivce.
1
2
3
4
5
6
0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,028 0,056 0,083 0,111 0,139 0,167 0,139 0,111 0,083 0,056 0,028
U binomického rozdělení rozdělujeme pravděpodobnosti pro jevy, které buď nastanou nebo
nenastanou, jsou tedy dvě možnosti, ale pro různé pravděpodobnosti, že určitý jev nastane nebo
nenastane.
Takže zatímco u hodu kostkou můžete dostat 6 výsledků s pravděpodobností, že jev nastane a
která je dána a nelze ji změnit, tak semeno buď vzklíčí nebo ne, ale stupeň pravděpodobnosti se
musí dodat.
Náhodné veličiny
Binomické rozdělení
S jako pravděpodobností vyklíčí 0, 1, 2, 3, 4, 5 semen pokud mají 80% klíčivost?
U nula semen je to už na první pohled jednoduché. Musíme 5* vynásobit pravděpodobnost, že 1
semeno nevzejde – 0,2 * 0,2 * 0,2 * 0,2 * 0,2 což jest (1 – 0,8)5 a to se tedy rovná 0,0003. U dalších
semen už využíváme binomická čísla (středoškolská matika). Trošku zopakuji.
( 53 ) Binomické číslo se čte např. jako pět nad třetí a v podstatě se rovná o variaci k-té třídy o n
prvcích, v našem případě o variaci 3. Třídy o 5-ti prvcích. Vzoreček pro její výpočet je:
5!
Takže v našem případě, by to bylo takhle:
n!
3! * (5-3)!
k! * (n-k)!
Pokud by jste nechtěli na toto použít kalkulačku, tak ručně se to spočítá takhle:
5*4*3*2*1
3*2*1 * 2*1
= 10 možných variací. Takže jdeme dokončit příklad se semeny. Písmenem k si
označíme počet vyklíčivších semen, jejichž pravděpodobnost vyklíčení počítáme,
písmeno P zůstává označena pravděpodobnost.
k
P (x = k)
0
0,25 = 0,0003
1
(0,8 * 0,2 * 0,2 * 0,2 * 0,2) * 5 = 0,0064
2
( 52 ) * 0,2 * 0,2 * 0,2 = 0,8 * 10 * 0,2 = 0,0512
5
0,8 * 0,8 * 0,8 *( 3 )*0,2 * 0,2 = 0,8 * 10 * 0,2 = 0,2048
5
0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 *( )* 0,2 = 0,8 * 5 *0,2 = 0,4096
4
2
0,8 * 0,8 *
3
3
4
3
2
4
5
0,85 = 0,3277
Pozn. k 1. a posl. řádku:
( ) =( ) = 1
Pozn. k 2. a předposl. řádku:
P(x=k) =
n
n
n
0
n
( )=(k-1 )= n
n
1
( nk )p * (1 – p)
k
n-k
I z tohoto příkladu odvoditelný vzorec zní:
Náhodné veličiny - definování binomického rozdělení
Mějme posloupnost n nezávislých náhodných pokusů, které mohou dopadnout jen dvěma způsoby
(binomicí), pravděpodobnost úspěchu p, potom počet úspěchů v celé sérii má binomické rozdělení
s parametry n a p. Pokud písmenem x označíme počet úspěchů tak vzorečkem zapíšeme toto
rozdělení takto:
x ~ Bi (n, p)
Pokud 50* hodíme kostkou, s jakou pravděpodobností hodíme 10* šestku.
Pozn.: I když házíme kostkou, jedná se o binomické rozdělení protože šestka buď padne nebo nepadne.
n = 50 ; k = 10
(10 )
110
50
*
6
*
( 16 )
40
= 0,1156
Matematická statistika - testování hypotéz
Statistickou hypotézou rozumíme každé tvrzení o tvaru nebo charakteristikách rozdělení jednoho
či několika statistických znaků. Testem statistické hypotézy budeme nazývat postup, jímž na
základě náhodného výběru ověřujeme, zda daná hypotéza platí, či nikoliv.
Hypotézy, které se týkají hodnot parametrů rozdělení se nazývají parametrické testy. Testování
tvrzení o rozdělení základního souboru, bez vyhodnocování jeho parametrů se nazývá testem
neparametrickým.
Testovaná statistická hypotéza se obvykle nazývá nulová hypotéza a označuje se H0. Proti sobě
stojí tato nulová hypotéza H0 a alternativní hypotéza H1.
Testovaný soubor zpravidla dělíme na dvě části. Tu která, splňuje danou hypotézu, a tu, která ji
nesplňuje. Pokud např., jako při přednášce testujeme, kolikrát hostinský při čepování pivního moku nalil
špatnou míru a nezajímá nás, jestli pod míru nebo nad míru, tak testujeme s oboustrannou
alternativou. Pokud testujeme, jestli čepuje pod míru, tak testujeme s levostrannou alternativou.
Pokud testujeme, jestli čepuje nad míru, tak testujeme s pravostrannou alternativou. Levostranná i
pravostranná alternativa jsou alternativy jednostranné.
Dalším pojmem je tzv. hladina významnosti, které značíme písmenkem alfa. Kdybychom u již
zmíněného hostinského vyjádřili hypotézu, že hostinský je křivák pokud načepuje pivo pod míru s
větší než 5-ti procentní pravděpodobností, tak ona hladina významnosti by se rovnala hodnotě 0,05
(5%). Tuto hladinu významnosti nazýváme též pravděpodobností chyby 1.druhu. Udává výši
rizika, s jakým se H0 zamítá, i když platí. Abychom se vyhli dopočítávání chyby 2. druhu, tak i
když to bude vypadat, že hostinský je poctivý, tak odpověď na testovanou hypotézu bude znít:
„Nelze dokázat, že hostinský je nepoctivý“ a ne „Hostinský je poctivý“. Holt nelze vyloučit
možnost, že hostinský naléval dobrou míru byla jen náhoda – chyba 1. druhu.
V tomto příkladě bylo testové kritérium hostinského poctivost. Obor hodnot, kdy zamítáme
nulovou hypotézu se nazývá kritickým oborem K, nebo-li oborem zamítnutí. Hodnoty, které
tyto dva obory oddělují se nazývají kritické hodnoty.
Testování hypotéz
Mezi ty nejvíce jednoduché, ale také nejméně vypovídající patří znaménkový test.
Jeho menší spolehlivost byla ilustrována příkladem který zněl: Testujeme hostinského poctivost na
zkušebním vzorku 8 sklenic piva. Budeme předpokládat, že hostinský může být poctivý když z těch osmi
sklenic načepuje 2 a více sklenic nad míru. Sklenice načepované nad míru si označíme znaménkem
plus, a ty pod míru znaménkem minus.
+---+++--++++++------+++
Od pohledu je zřejmé, že výsledky se budou lišit, podle toho, ze které časové řady (umístění) bude
zkušební vzorek pocházet.
K testování podle znaménkového testu budeme ještě potřebovat vědět jakou předpokládáme
pravděpodobnost, že hostinský načepuje 1 sklenici úplně přesně. Jako nezaujatí budeme
předpokládat, že p = ½. Trochu si v jen tomto případě pozměníme hladinu významnosti (alfa) z ¼
na 0,05, což je standardní odchylka, se kterou se počítá i ve statistických tabulkách, coby povolené
pomůcce při zkoušce.
Podle schématu z již zmiňovaného binomického rozdělení
zapíšeme příklad takto: x ~ Bi (8; ½) při α = 0,05. Pro
výpočty použijeme:
k
p(x=k)
0
( 80 )0,5 * 0,5 = 0,0039
( 81 )0,5 * 0,5 = 0,0313
( 82 )0,5 * 0,5 = 0,1094
( 83 )0,5 * 0,5 = 0,2188
( 84 )0,5 * 0,5 = 0,2734
( 85 )0,5 * 0,5 = 0,2188
( 86 )0,5 * 0,5 = 0,1094
( 87 )0,5 * 0,5 = 0,0313
( 88 )0,5 * 0,5 = 0,0039
1
2
3
4
5
6
7
8
0
8
1
7
2
6
3
5
4
4
5
3
6
2
7
1
8
0
x ~ Bi (n, p)
P(x=k) =
( nk )p * (1 – p)
k
n-k
Je jasné, že očekávaný výsledek je 4/4. Protože jde o
jednostrannou a v našem případě pravostrannou
alternativu, začínáme sčítat pravděpodobnosti
zezdola, dokud nepřekročíme hladinu významnosti.
0,0039 + 0,0313 (0,0352) + 0,1094 (0,254). Kritická
hodnota se tedy nalézá po 6 podměrečných pivech. U
6-tého piva tedy řekneme, že hypotézu o hostinského
poctivost přijímáme, ale nepoctivost zamítnout
nemůžeme, u 7-mého piva už to bude naopak.
Pokud bychom si řekli, že každé pivo, které nemá
přesně míru je chybou, tak by se jednalo o
oboustrannou alternativu testu. V tom případě
bychom ale začali sčítat z obou krajních stran. 0,0039
+ 0,0039 (0,0078) + 0,0313 + 0,0313 (0,0704). To už by
se tedy 1. kritická hodnota nalézala mezi 0-tým a 1ním pivem a 2. kritická hodnota nalézala mezi 7-mým
a 8-mým pivem. Při H0, že hostinský je poctivý by v
tomto případě byly hodnoty zamítnutí 0 a 8. Stat.
Tabulka se též vztahuje k oboustranné alternativě,
takže tam můžete najít, že pro 8 pivech končí
hostinského nepoctivost při 5-ti procentní hladině
významnosti na 0-tém pivu a začíná na 8-mém pivu.
Testování hypotéz
U testování hypotéz, kdy se
nechceme opírat jen o výskyt
jevů, ale chceme do zjištění
pravděpodobnosti zahrnout i jiný
parametr (např. kolik cm zbývá
do toho, aby sklenice měla
řádnou míru, můžeme využít
Studentův t-test
Kontrolní test zjišťoval pravdivost hypotézy H0, že výrobní stroj je špatně seřízen (převažuje,
nedovažuje) na vzorku o 10-ti nábojích navážil tyto hodnoty (g): 2,03 1,99 2,00 2,03 2,01 2,02 1,98
2,04 2,02 1,99.
Podle znaménkové testu by jsme v tabulkách zjistili, že kritický poměr (při hladině významnosti α
= 0,05) je 1:9, tedy že aby se potvrdila správnost hypotézy, z 10 nábojů může mít jeden náboj
nadváhu a ostatní podváhu nebo akorát. Anebo obráceně – 1 podváhu a 9 akorát nebo s nadváhou.
My jsme zjistili, že nadváhu mají tři náboje, takže hypotézu H0, že stroj špatně váží nepřijímáme,
ale s tím, že ji nelze zamítnout.
S pomocí studentova t-testu zjišťujeme testovací statistiku (T) s pomocí studentova rozdělení s
n-1 stupni volnosti. Takhle vypadá vzoreček
x – norma
t=
* n
„s“ je směrodatná odchylka a „x“ je průměr z
s
naměřených hodnot.
Aritmetický průměr je tedy (1*1,98 + 2*1,99 + 1*2,00+ 1*2,01 + 2*2,02 + 2*2,03 + 1*2,04) / 10 = 2,011.
Norma jsou dva gramy. Ke směrodatné odchylce se dostaneme v těchto krocích:
1)
Zjištění rozptylu s2 = [ 1*(2,011-1,98)2 + 2*(2,011-1,99)2 + 1*(2,011-2,00)2 + 1*(2,011-2,01)2 +
2*(2,02-2,011)2 + 2*(2,03-2,011)2 + 1*(2,04-2,011)2 ] / 10 = 0,000369.
Profesorovi vyšlo 0,00041
4)
Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu a to v tomto případě je 0,0192.
Profesorovi vyšlo 0,02025
Teď už jen dosadíme do vzorce: T = ( 2,011 – 2,00) / 0,0192 * 10 = 1,82 .
Profesorovi vyšlo 2,262. I kdyby ale dosadil svou směrodatnou odchylku do vzorce, který je
zapsán správně, tak mu to nemůže vyjít. T = ( 2,011 – 2,00) / 0,02025 * 10 = 1,72 .
Studentův t-test
A teď to nejdůležitější. Jak bez znaménkového testu ověřit platnost nulové hypotézy?
Porovnání hodnoty t s kritickou hodnotou tα(n-1), která je uvedena v tabulkách, kde je menší
chybička – levý sloupec nemá být nadepsán n, ale n-1. V našem případě tedy najdeme hodnotu pro
(10 – 1) stupňů volnosti a 5-ti % hladinu
volnosti, což je 2,262.
Nulovou hypotézu H0 zamítneme, pokud
spočítaná hodnota t bude větší než hodnota
tα(n-1). Protože hodnota 1,77 je menší než
2,262, tak můžeme odpovědět, že odchylka
výběrového průměru od očekávané hodnoty
(normy) ų0 není statisticky významná.
Shrnutí studentova t-testu
1)
S pomocí vzorce určit hodnotu spočítané veličiny t
2)
V tabulkách najít hodnotu odpovídající hladině významnosti a n-1 stupňům volnosti
3)
Na základě porovnání odmítnout, či přijmout nulovou hypotézu a určit, zda odchylka
očekávané hodnoty od průměru je statisticky významná či nikoliv.
F – test (dvou výběrový test)
Tento test použijeme pokud srovnáváme dvě vzorky proti sobě, ne oproti
nějaké normě nebo očekávanému výsledku.
Nulovou hypotézu testujeme na dvou náhodně vybraných vzorcích.
Testovací kritérium F spočteme jako podíl rozptylů (!!! Větší rozptyl /
menší rozptyl)
Toto spočítané kritérium pak porovnáme s tabulkovým pro „n-1“ stupně
volnosti a průměrnou požadovanou hladinu významnosti. Nulovou
hypotézu (při oboustranné alternativě) zamítneme pokud F bude větší než
Fα/2(m-1, n-1). Při pravostranní alternativě, bychom ji zamítli, kdyby F bylo
větší než Fα(m-1, n-1).
F=
(s1)2
(s2)2
S1 ≥ s 2
Odhad střední hodnoty
Na rozdíl od klasického způsobu zde zjišťujeme hraniční hodnoty mediánu, při námi
zvolené spolehlivosti (pravděpodobnosti) P. Vzorec zní takto:
Směrodatná
odchylka
Aritmetický
průměr
S
Medián = x +
- [tn-1(1-P)]*
n
Tabulková hodnota pro n-1 stupňů
volnosti a hladinu α (1-P)
Počet prvků ve výběru
Příklad na odhad střední hodnoty
1 – P = 1 – 0,95 = 0,05 ; n = 10 ; t9(0,05) podle tabulek na studentův t-test = 2,262 ; Průměr = 5,524
hodnoty
3,65
4,36
4,46
5,13
5,74
5,96
6,00
6,37
6,60
6,97
odchylka
1,874
1,164
1,064
0,394
0,216
0,436
0,476
0,846
1,076
1,446
Rozptyl = [ 1,8742 + 1,1642 + 1,0642 + 0,3942 + 0,2162 + 0,4362 + 0,4762 + 0,8462 + 1,0762 + 1,4462) /
10 = 1,058184
Směrodatná odchylka = 1,058184 = 1,02868. Dosadíme do vzorce : Dolní hodnota mediánu =
5,524 – (2,262 * 1,02868 / 10 ) = 4,79 ; Dolní hodnota mediánu = 5,524 + (2,262 * 1,02868 / 10
) = 6,26
Pokud odhadneme jakoukoliv střední hodnotu ze zkoumaného vzorku, pak nulovou hypotézu, že
tento odhad je střední hodnotou daného vzorku při 95-ti procentní pravděpodobnosti zamítneme
pokud bude ležet mimo rozpětí 4,75 až 6,30.
Porovnání průměrů zkoumaných vzorků (dvou výběrový test)
Tento parametrický test porovnává průměry z dvou měření za účelem stanovení zda rozdíly mezi
zkoumanými vzorky nejsou větší než stanovená hladina významnosti. [H0 : µ1 = µ2]
Nejprve stanovíme, zda jsou rozptyly obou vzorků stejné, nebo se aspoň k sobě velmi blíží
(hranici zjistíme s pomocí F-testu a hladiny významnosti. Pokud konstatujeme, že vyhovují naší
podmínce stejnosti může využít ke stanovení testové kritéria t tzv. dvouvýběrový t-test. Testové
kritérium t vypočteme podle vzorce:
x-y
t=
m značí počet měření v prvním měření (x1, x2,
…), n pak v druhém (y1, y2, …). s2 spočítáme
1
1
s*
+
obdobně jako kdybychom počítali rozptyl u 1m n
noho vzorku.
K přijmutí či zamítnutí nulové hypotézy budeme opět porovnávat hodnotu t spočtenou s kritickou
hodnotou pro danou hladinu významnosti a „m + n – 2“stupni volnosti v kritických hodnotách.
Platí, že nulovou hypotézu (při oboustranné alternativě) zamítneme pokud |t | bude větší než tα
(m+n-2). Při pravostranné alternativě, bychom ji zamítli, kdyby t bylo větší než t2α(m+n-2). Při
levvostranní alternativě, bychom ji zamítli, kdyby t bylo menší než -t2α(m+n-2).
Pokud rozptyly obou měření (vzorků ) nebudou vyhovovat našemu požadavku na „stejnost“
nahradíme dvouvýběrový t-test testem, který je nazýván:
Welchův test
Testové kritérium t vypočteme podle vzorce:
Na rozdíl od t-testu je zde počítán každý rozptyl zvlášť, a pak teprve
dosazen do vzorce. Pro přijetí, či zamítnutí nulové hypotézy se
rozhodujeme stejným způsobem jako u t-testu s jediným rozdílem.
Stupně volnosti “f“ si spočítáme podle vzorce, který se tváří složitě,
ale je docela snadno zapamatovatelný a odvoditelný.
(s1)2
m
(s2)2
+
m
f=
(s1)2
n
m–1
+
(s2)2
n
n-1
x-y
t=
(s1)2
m
+
(s1)2
n
Myslím, že další z dvouvýběrových testů – párový t-test
tam nebude, protože se jedná o testování s výběry tzv.
závislými. Dále si oddechneme, že u dvouvýběrových
testů to končí, a že už nás čeká jen …
Wilcoxonův test dvouvýběrový
Což je vlastně neparametrická obdoba dvouvýběrového t-testu. Slouží k testu hypotézy, že dva
nezávislé výběry / X = x1, …, xm a Y = y1, …, yn / pocházejí ze stejného základního
souboru, proti alternativě, že se významně liší svou „polohou“.
Neparametrické testy se využívají hlavně tam, kde pracujeme s výběry poměrně malých rozsahů
nebo ze souborů o jejichž rozdělení nic nevíme. Mají menší schopnost odhalit nesprávnost
dané hypotézy, to je však kompenzováno širší možností použití.
1)
Výběrové hodnoty se seřadí od nejmenšího k největšímu a přiřadíme jim pořadová čísla Rx1,
…, Rxm , Ry1, …, Rym, přičemž stejně velkým hodnotám přiřazujeme stejná pořadová čísla.
2)
Zjistíme součty Tx = Rx1 + … + Rxm , Ty = Ry1 + … + Rym
3)
Vypočteme statistické veličiny podle vzorečků
m(m + 1)
Ux = m*n +
2
n(n + 1)
- Tx
;
Uy = m*n +
2
- Ty
Nulovou hypotézu zamítneme na hladině významnosti „α“, jestliže minimální hodnota ze
statistických veličin Ux a Uy jsou menší nebo rovny tabulkové hodnotě Uα. (netestuje se na
jednostranných alternativách)
Příklad na wilcoxonův dvouvýběrový test
Znamená to, že bílý je lepší než černý?
1)
Seřazení a přiřazení pořadových čísel
Černý x1 x2 x3 x4 x5 x8 x9 x11 x13 x18 ; bílý y6 y7 y10 y12 y14 y15 y16 y17 y19 y20
2)
Zjištění součtů
Tx = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 8 + 9 + 11 + 13 + 18 = 74 ; Ty = 6 + 7 + 10 + 12 + 14 + 15 +16 + 17 + 19 + 20 =
136
10 (10+1)
10 (10+1)
3) Dosazení do vzorce: Ux = 10*10 +
- 74 = 81 ; Uy = 10*10 +
- 136 = 19
2
2
4) V tabulce pro zvolenou hladinu významnosti si najdeme tabulkovou hodnotu statistické veličiny
U (pro Uα = 0,05) to bude hodnotu 23 a protože 19 je menší než 23, můžeme odpovědět, že
hypotézu o tom že bílý je lepší než černý na 5-ti procentní hladině významnosti
nepřijímáme. Pro Uα = 0,01 to bude hodnotu 16 a protože 19 je větší než 16, můžeme
odpovědět, že hypotézu o tom že bílý je lepší než černý na 1-no procentní hladině
významnosti přijímáme.
Wilcoxonův test jednovýběrový
Na rozdíl znaménkového testu, bereme v úvahu odchylky od normy (předpokládaného jevu)
1) Odchylky od normy vzestupně seřadíme podle jejich absolutní hodnoty a přiřadíme jim
pořadová čísla
2) Vyjádříme zvlášť součty pořadových čísel pro kladné odchylky a zvlášť pro záporné. Tyto
součty jsou pro tento test naší statistickou veličinou.
3) Porovnáme menší z našich stat. veličin (součtů) s tabulkovou hodnotou. Nulovou hypotézu
zamítneme, pokud hodnota spočítané statistické veličiny bude menší nebo rovna tabulkové
hodnotě.
Příklad na wilcoxonův jednovýběrový test
1) Seřazení a přiřazení pořadových čísel
1_-0,3; 2_-1,2; 3_1,3; 4_-1,5; 5_-1,5; 6_2,0; 7_3,9; 8_4,7; 9_5,7; 10_6,4; 11_6,8; 12_8,9
2) Vyjádření součtů: S- = 1 + 2 + 4 + 5 = 12 ; S+ = 3 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 66
3) Porovnání s tabulkovou hodnotou: Menší z obou součtů je hodnota 12 a ta je menší než tab.
hodnota pro n=12 a α= 0,05, takže můžeme říci, že hypotézu o tom, že hostinský točí nad míru
nepřijímáme při 5-ti procentní hladině významnosti, ale při hodnotě α= 0,01 můžeme říci, že
hypotézu o tom, že hostinský točí nad míru přijímáme při 1-no procentní hladině významnosti,
protože 12 není větší než 7.
Wilcoxonův párový test
se liší od klasického wilcoxonova jednovýběrového testu jen tím, že odchylka zde není
vypočítávána jako rozdíl od normy, ale jako rozdíl mezi hodnotami v páru měření (pro jedno x)
Seřadit podle absolutních hodnot, přiřadit pořadová čísla, vyjádřit součty pořadových čísel pro
minusové a plusové odchylky, porovnat menší z obou součtů s tabulkovou hodnotou, …