Transcript 水力学
• 第4讲
第五节
重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡
以等角速旋转容器中的相对平衡液体为例,讨论相对平衡液体
问题的一般分析方法。
如图,一盛有某种液体的圆柱形容器,以等
角速度绕其中心铅直轴旋转。液体达到平衡
时。液面为一旋转曲面。将直角坐标系的原点
选在液面中心,并取 z 轴竖直向上与转轴重合。
这时液体中任一质点A受到的单位质量力在三个
坐标轴方向上的分量分别为
fx ω2 x
fy ω2 y
fz g
1
将它们代入欧拉微分方程式得
dp ρ(ω2xdx ω2 ydy gdz)
在液体内对上式积分得
2
ω
ω2 2
2
2
r gz C
p ρ
x y gz C ρ
2
2
式中C为积分常数。将边界条件x=y=z=0时,p=p0代入上式得
C=p0,则液体内部静水压强的分布规律为
2
ω
ω2 2
2
2
r gz p0
p ρ
x y gz p 0 ρ
2
2
(A)
作等角速度旋转的相对平衡液体,其内部静水压强的分布除
与z轴有关外,还同时与x、y轴有关,即
p f(x.y.z)
2
讨论:
2
ω2 2
ω
2
2
r gz p0
p ρ
x y gz p 0 ρ
2
2
(A)
(1)设液面的 z 轴坐标用zs表示,则将 p=p0 代入上(A)式可得液
面方程为
2 2
ω2 2
ω
r
zs
x y2
2g
2g
表明,液面为一旋转抛物面。因为液体中任一点的水深
ω 2r 2
h zs z
z
2g
,则由上(A)式可得
p p0 ρgh
可见,在等角速度旋转的相对平衡液体中,铅直方向上的静
水压强分布规律与静止液体中静水压强分布规律相同。
可以证明,在重力和惯性力同时作用的相对平衡液体中,铅直
方向上的静水压强分布规律都与满足上式。
3
(2)将P = 常数代入上(A)式得等压面方程为
ω2 2
ω2r 2
2
x y z
z hC
2g
2g
该式表明,在等角速度旋转的相对平衡液体中,等压面为一
系列平行于液面的旋转抛物面。
注意,上述规律与水静力学基本方程一样,也必须是在同种
相互连通的平衡液体中才成立。
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第六节
作用在平面上的静水总压力
平面上静水总压力的计算问题就是确定其大小和作用点。
一、解析法
如图,AB为一与水平面成
角的任意形状倾斜平面,其
左侧承受水压,水面与大气
相通。设该平面面积为A,
形心点为C。取平面AB的延
伸面与水面的交线为ox轴,
方向垂直纸面向里,oy轴沿
着AB平面的倾斜方向向下。为使受压平面AB能展示出来,将其
绕oy轴旋转90。
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1.静水总压力P的大小
由于受压平面AB两侧都同时
承受着大气压作用,求静水
总压力时,可只计算相对压
强引起的作用。在平面AB上
任取一点M,围绕点M取一
微元面积dA。设M点在水面
下的淹没深度为h,则
dA面上受到的静水压力为根据平行力系的求和原理,整个AB面
上静水总压力P的大小为
P dP ρghdA ρgysinαdA ρgsinα ydA
P
A
A
A
6
A
ydA
为受压平面AB对ox轴的静矩。由理论力学可知,其值
等于受压面面积A与其形心点坐标 yc 的乘积。故
P ρgsinαyc A ρghc A pc A
式中pc和hc分别为受压面AB形
心点C处的静水压强和C点在水
面下的淹没深度。
当受压平面形心在液面下
的淹没深度hc 不变时,只要
受压面积不发生变化,静水总
压力P值就不会随受压面的倾
斜角而变化.
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2.静水总压力P的作用点
静水总压力P的作用线与受压平面的交点称为静水总压力的
作用点,又称为压力中心,常以D表示。
yD的确定 如图,根据理论力
学中的合力矩定理(即合力对
某一轴的力矩等于合力的各分
力对同一轴力矩的代数和),
对ox轴取力矩得
ydP yρgysinαdA
ρgsinα y dA ρgsinαI
PyD
P
A
2
x
A
I x y 2 dA
为受压面AB对ox轴的惯性矩,则
A
8
ρgsinαI x
ρgsinαI x
Ix
yD
P
ρgsinαyC A y C A
若令IC为受压面AB对通过其形心C并与ox轴平行的直线为轴的惯性
矩,则根据理论力学中的惯性矩平行移轴定理得
I x I C y2C A
I C y 2C A
IC
y
y
所以 D
C
yC A
yC A
式中的yD和yC分别表示从静水
总压力的作用点D和受压平面
的形心C沿着受压平面到自由
液面的距离
上式就是计算yD的常用公式,因为式中的
IC
yC A
总是正值,故
9
yD>yC。这说明静水总压力P的作用点D总是位于受压平面
的形心点C之下
xD的确定 作用点D的横坐标xD的确定方法与yD类似。在
工程实际中,受压平面常常具有纵向(即平行于oy轴方
向)对称轴。这时,总压力的作用点D必位于该对称轴
之上。故当yD确定之后,总压力作用点D的位置就完全
确定了,可无需计算.
常见受压平面的面积A,形心yC和惯性矩IC的计算公式
见下表
10
受压平面形状
面积A
形心置yC
惯性矩IC
ba
a
2
ba3
12
ba
2
2a
3
ba3
36
πd 2
4
d
2
πd 4
64
πd 2
8
2d
3π
l (a b)
2
l a 2b
(
)
3 a b
9π 2 64 4
d
1152π
l 3 a 2 4ab b2
(
)
36
a b
11
说明,上述公式只适用于受压平面一侧有同种液体,并且液面
相对压强为零(即为自由液面)的情况。当不符合这些条件时,
应注意正确使用这些公式。
例如,若受压平面一侧为同种液体,但液面的相对压强不为零,
公式中的hc应取受压平面形心点C在测压管液面下的淹没深度,
式中的yC和yD则应取受压平面的形心点C和静水总压力的作用点
D沿受压平面到测压管液面的距离.
二、图解法
图解法就是利用静水压强分布图求解平面上静水总压力的
方法。计算底边与液面平行的矩形平面上的静水总压力时,采
用此法很方便。
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如图为与水平面成角的
矩形平面闸门,其宽度为
b,高为l,上边缘与自由
水面齐平,闸前水深为H。
现讨论该闸门上静水总压
力P的计算问题。
1.静水总压力P的大小
P ρgh C A ρg
H
1
l b ρgH l b
2
2
1
式中 ρgH l 恰好为闸门上静水压强分布图的面积,令为Sp,则
2
P SPb V
该闸门上静水总压力P的大小等于作用其上的静水压强分布图
的面积Sp与闸宽b的乘积,即为静水压强分布体的体积V。
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2.静水总压力P的作用点
静水总压力P的作用线必
通过静水压强分布体的形
心并与矩形闸门的纵向对
称轴相交,这一交点即为
的作用点D。
如图闸门上静水压强分
布图为直角三角形 ,故作
2
yD l
3
或D点的淹没深度为
用点D到自由水面的距离为
2
2
hD yD sinα l sinα H
3
3
IC
l bl 3 /12 2
l
这一关系也可由解析法得到 yD y C y A 2 l
3
C
lb
2
14
例2-6 某倾斜矩形闸门AB,转轴位于A端,如图。已知闸门的倾
角α=60,门宽b=2.5m,门长l = 4m,门顶在水面下的淹没深
度h1=3m。若不计闸门自重和轴间摩擦阻力,试求闸门开启时
所需竖直向上的提升力T。
【解】(1)先求作用于闸门上的静水总压力P
矩形平面上的静水总压力,可采用
解析法和图解法两种方法求解。
① 解析法
P的大小
l
P ρgh C A ρg(h 1 sinα ) l b
2
4
9.8(3 sin60 ) 4 2.5 463.74kN
2
P的作用点
yD y C
IC
yC A
15
式中 yC
h1
l
3
4
5.46m
sinα 2 sin60 2
bl 3 2.5 43
IC
13.33m4
12
12
A bl 2.5 4 10m2
13.33
yD 5.46
5.70m
5.46 10
②图解法
P的大小
首先画出闸门AB上的静水压强分布图,如上图.
门顶A点的静水压强 ρgh1 9.8 3 29.4kPa
门底B点的静水压强 ρgh2 ρg(h1 l sin60) 9.8(3 4sin60) 63.35kPa
面积为
S
1
1
(ρ gh1 ρgh 3 )l (29.4 63.35) 4 185.5kN/m
2
2
16
P Sb 185.5 2.5 463.75kN
则静水总压力P为
P的作用点
如图,将闸门AB上的静水压强分布图分解为三角形和矩形
两部分,并假设这两部分对闸门AB产生的作用力分别为P1和P2
P2 ρgh1l b 29.4 4 2.5 294kN
P1 P P2 463.75 294 169.75kN
根据合力矩定理,对A轴取力矩得
2
l
P AD P1 l P2
3
2
2
l
2
4
P1 l P2
169.75 4 294
3
2
3
2 2.24m
AD
P
463.75
故
yD
h1
3
AD
2.24 5.70m
sin60
sin60
17
(2)求竖直向上的拉力T
在不计闸门AB的自重和轴间摩擦阻力时,该闸门所受的力
为:静水总压力P和提升力T。当提升力T对A轴的力矩大于等
于压力P对A轴的力矩时,闸门AB才能被开启。
令
T
T l cosα P AD
P AD 463.75 2.24
519.4kN
l cosα
4 cos60
即竖直向上的提升力 T 519.4kN
时闸门才能被开启
18
例2-7 平面AB如图所示。已知其宽度b=1m,倾角α=45°,左
侧水深h1=3m,右侧水深h2=2m。试求作用在平面AB上的静水
总压力大小及其作用点。
【解】 对于两侧具有同种
液体的受压平面,采用图解
法计算较为简单、方便,其
求解过程如下:
(1)总压力P 的大小
画出AB平面上的静水压强
分布图。该压强分布图由三
角形AEA'和矩形EFBA'组成,图中
h h
32
AA 1 2
1.414m
sinα
sin45
AB
h2
2
2.828m
sinα sin45
所以压强分布图的面积为
19
1
ρg(h 1 h2 )AA ρg(h 1 h2 )AB
2
1
9.8 (3 2) 1.414 9.8 (3 2) 2.828 34.643kN/m
2
S
静水总压力P 的大小为
P Sb 34.64 1 34.64kN
(2)总压力P的作用点
设三角形和矩形压强分布图对平面AB所产生的作用力分别为P1
和P2. 则
PyD P1yD1 P2 yD2
2
2
AB
2.828
AA
1.414 2.828m
AA 1.414 0.943m, yD
2
2
3
3
P2 ρg(h1 h2 )AB b 9.8(3 2) 2.828 1 27.714kN
yD1
2
P1 P P2 34.64 27.714 6.926kN
yD
P1yD1 P2 yD2
P
6.926 0.943 27.714 2.828
2.45m
34.64
20
小结:
(1)平面壁静水总压力计算的解析法
P的大小
P的作用点
P ρgsinαyc A ρghc A pc A
JC
yD yC
yC A
(2)平面壁静水总压力计算的图解法
作业4:
21