Transcript 水力学

• 第4讲
第五节
重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡
以等角速旋转容器中的相对平衡液体为例，讨论相对平衡液体
问题的一般分析方法。
如图，一盛有某种液体的圆柱形容器，以等
角速度绕其中心铅直轴旋转。液体达到平衡
时。液面为一旋转曲面。将直角坐标系的原点
选在液面中心，并取 z 轴竖直向上与转轴重合。
这时液体中任一质点A受到的单位质量力在三个
坐标轴方向上的分量分别为
fx  ω2 x
fy  ω2 y
fz  g
1
将它们代入欧拉微分方程式得
dp  ρ(ω2xdx  ω2 ydy gdz)
在液体内对上式积分得
2


ω
 ω2 2

2
2
r  gz   C
p  ρ
x  y  gz  C  ρ
 2

 2



式中C为积分常数。将边界条件x=y=z=0时，p=p0代入上式得
C=p0，则液体内部静水压强的分布规律为
2


ω
 ω2 2

2
2
r  gz   p0
p  ρ
x  y  gz  p 0 ρ
 2

 2



(A)
作等角速度旋转的相对平衡液体，其内部静水压强的分布除
与z轴有关外，还同时与x、y轴有关，即
p  f(x.y.z)
2
讨论：
2


 ω2 2

ω
2
2
r  gz   p0
p  ρ
x  y  gz  p 0 ρ
 2

 2



(A)
（1）设液面的 z 轴坐标用zs表示，则将 p=p0 代入上(A)式可得液
面方程为


2 2
ω2 2
ω
r
zs 
x  y2 
2g
2g
表明，液面为一旋转抛物面。因为液体中任一点的水深
ω 2r 2
h  zs  z 
z
2g
，则由上(A)式可得
p  p0  ρgh
可见，在等角速度旋转的相对平衡液体中，铅直方向上的静
水压强分布规律与静止液体中静水压强分布规律相同。
可以证明，在重力和惯性力同时作用的相对平衡液体中，铅直
方向上的静水压强分布规律都与满足上式。
3
（2）将P = 常数代入上(A)式得等压面方程为


ω2 2
ω2r 2
2
x y z 
z hC
2g
2g
该式表明，在等角速度旋转的相对平衡液体中，等压面为一
系列平行于液面的旋转抛物面。
注意，上述规律与水静力学基本方程一样，也必须是在同种
相互连通的平衡液体中才成立。
4
第六节
作用在平面上的静水总压力
平面上静水总压力的计算问题就是确定其大小和作用点。
一、解析法
如图，AB为一与水平面成
角的任意形状倾斜平面，其
左侧承受水压，水面与大气
相通。设该平面面积为A，
形心点为C。取平面AB的延
伸面与水面的交线为ox轴，
方向垂直纸面向里，oy轴沿
着AB平面的倾斜方向向下。为使受压平面AB能展示出来，将其
绕oy轴旋转90。
5
1．静水总压力P的大小
由于受压平面AB两侧都同时
承受着大气压作用，求静水
总压力时，可只计算相对压
强引起的作用。在平面AB上
任取一点M，围绕点M取一
微元面积dA。设M点在水面
下的淹没深度为h，则
dA面上受到的静水压力为根据平行力系的求和原理，整个AB面
上静水总压力P的大小为
P   dP   ρghdA   ρgysinαdA  ρgsinα  ydA
P
A
A
A
6

A
ydA
为受压平面AB对ox轴的静矩。由理论力学可知，其值
等于受压面面积A与其形心点坐标 yc 的乘积。故
P  ρgsinαyc A  ρghc A  pc A
式中pc和hc分别为受压面AB形
心点C处的静水压强和C点在水
面下的淹没深度。
当受压平面形心在液面下
的淹没深度hc 不变时，只要
受压面积不发生变化,静水总
压力P值就不会随受压面的倾
斜角而变化.
7
2．静水总压力P的作用点
静水总压力P的作用线与受压平面的交点称为静水总压力的
作用点，又称为压力中心，常以D表示。
yD的确定 如图，根据理论力
学中的合力矩定理（即合力对
某一轴的力矩等于合力的各分
力对同一轴力矩的代数和），
对ox轴取力矩得
 ydP   yρgysinαdA
 ρgsinα y dA  ρgsinαI
PyD 
P
A
2
x
A

I x  y 2 dA
为受压面AB对ox轴的惯性矩，则
A
8
ρgsinαI x
ρgsinαI x
Ix
yD 


P
ρgsinαyC A y C A
若令IC为受压面AB对通过其形心C并与ox轴平行的直线为轴的惯性
矩，则根据理论力学中的惯性矩平行移轴定理得
I x  I C  y2C A
I C  y 2C A
IC
y


y

所以 D
C
yC A
yC A
式中的yD和yC分别表示从静水
总压力的作用点D和受压平面
的形心C沿着受压平面到自由
液面的距离
上式就是计算yD的常用公式，因为式中的
IC
yC A
总是正值，故
9
yD>yC。这说明静水总压力P的作用点D总是位于受压平面
的形心点C之下
xD的确定 作用点D的横坐标xD的确定方法与yD类似。在
工程实际中，受压平面常常具有纵向（即平行于oy轴方
向）对称轴。这时，总压力的作用点D必位于该对称轴
之上。故当yD确定之后，总压力作用点D的位置就完全
确定了，可无需计算.
常见受压平面的面积A，形心yC和惯性矩IC的计算公式
见下表
10
受压平面形状
面积A
形心置yC
惯性矩IC
ba
a
2
ba3
12
ba
2
2a
3
ba3
36
πd 2
4
d
2
πd 4
64
πd 2
8
2d
3π
l (a  b)
2
l a  2b
(
)
3 a b
9π 2  64 4
d
1152π
l 3 a 2  4ab  b2
(
)
36
a b
11
说明，上述公式只适用于受压平面一侧有同种液体，并且液面
相对压强为零（即为自由液面）的情况。当不符合这些条件时，
应注意正确使用这些公式。
例如，若受压平面一侧为同种液体，但液面的相对压强不为零，
公式中的hc应取受压平面形心点C在测压管液面下的淹没深度，
式中的yC和yD则应取受压平面的形心点C和静水总压力的作用点
D沿受压平面到测压管液面的距离.
二、图解法
图解法就是利用静水压强分布图求解平面上静水总压力的
方法。计算底边与液面平行的矩形平面上的静水总压力时，采
用此法很方便。
12
如图为与水平面成角的
矩形平面闸门，其宽度为
b，高为l，上边缘与自由
水面齐平，闸前水深为H。
现讨论该闸门上静水总压
力P的计算问题。
1．静水总压力P的大小
P  ρgh C A  ρg
H
1
l b  ρgH l b
2
2
1
式中 ρgH l 恰好为闸门上静水压强分布图的面积,令为Sp，则
2
P  SPb  V
该闸门上静水总压力P的大小等于作用其上的静水压强分布图
的面积Sp与闸宽b的乘积，即为静水压强分布体的体积V。
13
2．静水总压力P的作用点
静水总压力P的作用线必
通过静水压强分布体的形
心并与矩形闸门的纵向对
称轴相交，这一交点即为
的作用点D。
如图闸门上静水压强分
布图为直角三角形 ，故作
2
yD  l
3
或D点的淹没深度为
用点D到自由水面的距离为
2
2
hD  yD sinα  l sinα  H
3
3
IC
l bl 3 /12 2
 l
这一关系也可由解析法得到 yD  y C  y A  2  l
3
C
 lb
2
14
例2-6 某倾斜矩形闸门AB，转轴位于A端，如图。已知闸门的倾
角α=60，门宽b=2.5m，门长l = 4m，门顶在水面下的淹没深
度h1=3m。若不计闸门自重和轴间摩擦阻力，试求闸门开启时
所需竖直向上的提升力T。
【解】（1）先求作用于闸门上的静水总压力P
矩形平面上的静水总压力，可采用
解析法和图解法两种方法求解。
① 解析法
P的大小
l
P  ρgh C A  ρg(h 1  sinα ) l b
2
4
 9.8(3  sin60 )  4  2.5  463.74kN
2
P的作用点
yD  y C 
IC
yC A
15
式中 yC 
h1
l
3
4
 
  5.46m
sinα 2 sin60  2
bl 3 2.5 43
IC 

 13.33m4
12
12
A  bl  2.5  4  10m2
13.33
yD  5.46 
 5.70m
5.46  10
②图解法
P的大小
首先画出闸门AB上的静水压强分布图，如上图.
门顶A点的静水压强 ρgh1  9.8  3  29.4kPa
门底B点的静水压强 ρgh2  ρg(h1  l sin60)  9.8(3  4sin60)  63.35kPa
面积为
S
1
1
(ρ gh1  ρgh 3 )l   (29.4  63.35)  4  185.5kN/m
2
2
16
P  Sb  185.5  2.5  463.75kN
则静水总压力P为
P的作用点
如图，将闸门AB上的静水压强分布图分解为三角形和矩形
两部分，并假设这两部分对闸门AB产生的作用力分别为P1和P2
P2  ρgh1l b  29.4  4  2.5  294kN
P1  P  P2  463.75  294  169.75kN
根据合力矩定理，对A轴取力矩得
2
l
P  AD  P1  l  P2 
3
2
2
l
2
4
P1  l  P2 
169.75   4  294 
3
2
3
2  2.24m
AD 
P
463.75
故
yD 
h1
3
 AD 
 2.24  5.70m
sin60 
sin60 
17
（2）求竖直向上的拉力T
在不计闸门AB的自重和轴间摩擦阻力时，该闸门所受的力
为：静水总压力P和提升力T。当提升力T对A轴的力矩大于等
于压力P对A轴的力矩时，闸门AB才能被开启。
令
T
T l cosα  P  AD
P  AD 463.75  2.24

 519.4kN
l cosα
4  cos60 
即竖直向上的提升力 T  519.4kN
时闸门才能被开启
18
例2-7 平面AB如图所示。已知其宽度b=1m，倾角α=45°，左
侧水深h1=3m，右侧水深h2=2m。试求作用在平面AB上的静水
总压力大小及其作用点。
【解】 对于两侧具有同种
液体的受压平面，采用图解
法计算较为简单、方便，其
求解过程如下：
（1）总压力P 的大小
画出AB平面上的静水压强
分布图。该压强分布图由三
角形AEA'和矩形EFBA'组成，图中
h h
32
AA  1 2 
 1.414m
sinα
sin45 
AB 
h2
2

 2.828m
sinα sin45 
所以压强分布图的面积为
19
1
ρg(h 1  h2 )AA  ρg(h 1  h2 )AB
2
1
  9.8  (3  2)  1.414  9.8  (3  2)  2.828  34.643kN/m
2
S
静水总压力P 的大小为
P  Sb  34.64  1  34.64kN
（2）总压力P的作用点
设三角形和矩形压强分布图对平面AB所产生的作用力分别为P1
和P2. 则
PyD  P1yD1  P2 yD2
2
2
AB
2.828
 AA 
 1.414  2.828m
AA   1.414  0.943m, yD 
2
2
3
3
P2  ρg(h1  h2 )AB  b  9.8(3  2)  2.828  1  27.714kN
yD1 
2
P1  P  P2  34.64  27.714  6.926kN
yD 
P1yD1  P2 yD2
P
6.926  0.943  27.714  2.828

 2.45m
34.64
20
小结：
（1）平面壁静水总压力计算的解析法
P的大小
P的作用点
P  ρgsinαyc A  ρghc A  pc A
JC
yD  yC 
yC A
（2）平面壁静水总压力计算的图解法
作业4：
21