Transcript 非对称弯曲与特殊梁－第一

第 11 章 非对称弯曲与特殊梁




本章主要研究：
一般非对称弯曲正应力
一般薄壁梁的弯曲切应力
薄壁梁的截面剪心
复合梁与曲梁弯曲应力
§1
§2
§3
§4
§5
§6
惯性积与主惯性矩
非对称弯曲正应力
薄壁梁的弯曲切应力
薄壁梁的截面剪心
复合梁的弯曲应力
曲梁弯曲应力简介
§1 惯性积与主惯性矩
－－附录G
 截面惯性积
 惯性积平行轴定理
 转轴公式与主惯性矩
 截面惯性积
惯性积
当 y 或 z 轴为
截面对称轴时
I yz  0
I yz  A yzdA
[L]4
－截面对 y, z 轴的惯性积
跳过算例
算例
试计算图示截面的惯性积 Iyz
b
y1
I yz   0  0 yzdydz
h( b  z )
y1 
b
b h( b-z )/b
I yz   0  0
I yz
yzdydz
b 2 h2

24
 惯性积平行轴定理
平行轴定理
建立 I yz 与 I y0 z0 的关系
I yz  A yzdA
I yz  A  yC  y0 zC  z0 dA
I y0 z0  A y0 z0dA
A y0dA  0 A z0dA  0
I yz  I y0 z0  AyC zC
注意： ( yC , zC ) －形心C 的坐标
Cy0z0－形心直角坐标系
Oyz－任意直角坐标系
二者平行
跳过算例
算例
试计算惯性积 Iyz
I y0 z0  0
yC  20 mm
zC  -10 mm
I yz  I y0 z0  AyC zC
I yz  0  (20  10-3 m)(-10  10 -3 m)(20  40  10-6 m2 )
I yz  16  10-8 m4
 转轴公式与主惯性矩
转轴公式
建立 I yz 与 I y1z1 的关系
y1  ycos  zsin
z1  zcos  ysin
I y1z1  A ( ycos  zsin )( zcos  ysin )dA
I y1z1 
I y  Iz
sin2  I yz cos2
2
I y1 I y  I z I y  I z


cos2
I z1
2
2
 I yz sin2
：始边y轴，为正
I y1  I z1  I y  I z  I p
主轴与主惯性矩
tan2 
Iyz 
I y  Iz
2
sin2  I yz cos2
2 I yz
Iz  I y
主形心轴
满足惯性积为零的坐标
轴 －主轴 记为 y , z
对主轴的惯性矩 －主惯
性矩
记为 I y , I z
Iy
Iz

0
I y  Iz
2

I y  Iz
2
主形心轴
cos2  I yz sin2
通过形心的主轴－主形心轴
相应惯性矩－主形心惯性矩
跳过算例
算例
确定主形心轴与主形心惯性矩，h=2b
bh3 2b4
I z0 

I y0
36
9
2 2
4
b
h
b
I y0 z0  I yz  yC zC A 
 yC zC A  24
18
2 I y0 z0
2(-b4 / 18)
8
tan2 
 4
4
I z0  I y0 2b / 9  b / 18 7
hb 3 b4


36 18
  -2424'
4
I y 1  b4 2b4  1  b4 2b4 
b
   
cos4848'  sin4848'
  
I z 2  18 9  2  18 9 
18
I y  0.1520b4
I z  0.1258b4
§2 非对称弯曲正应力
 平面弯曲正应力分析
 非对称弯曲正应力一般公式
 平面弯曲正应力分析
假设
 平面假设
 单向受力假设
综合考虑三方面



－中性层曲率半径
  E

E

(a)

A
AdA  0
(b)
 zdA  0
(c)
A
ydA   M z (d)
联立求解式(a)~(d)
详见
结论
 中性轴：
中性轴与主形
心轴 z 重合
 变形与应力：
Mz
Mz y
 
Iz
 EI z
1
中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式－平面弯曲
 非对称弯曲正应力一般公式
非对称弯曲正应力
 应力一般公式
广义弯曲公式推导
 公式的简化
Iy
Mz y

Iz
M y z Mz y


Iy
Iz
z I y Mz
tan  
y Iz M y
0
最
大
应
力
位
于
离
处中
性
轴
最
远
点
a, b

M yz
中性轴方位
斜弯曲
M y  Mcos
M z  Msin
I y Mz I y
tan 
 tan
Iz M y Iz
I y  I z 时，  
中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式－斜弯曲
几个概念及其间关系
 中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式－平面弯曲
 中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式－斜弯曲
斜弯曲＝两个互垂平面弯曲的组合
 几个概念间的关系
对 称 弯 曲 －平面弯曲

弯曲 
平面弯曲（M 矢量 // 主形心轴时）
 非对称弯曲 

 斜 弯 曲（M矢量不 // 主形心轴时）
非对称弯曲分析计算步骤
 确定截面形心、主形心轴与主形心惯性矩
 内力分析，求出 My 与 Mz
 确定中性轴方位，以确定最大正应力点位置
 计算最大弯曲正应力
§3 薄壁梁的弯曲切应力
 薄壁梁弯曲切应力公式
 例题
 薄壁梁弯曲切应力公式
y、z 轴－主形心轴
假设
 切应力平行与中心线切线
 切应力沿壁厚均匀分布
弯曲切应力公式
推导
详见
FS Sz ( )
 ( s) 
I z ( s)
Sz-截面  对 z 轴的静矩
Iz- 整个截面对 z 轴的惯性矩
 例 题
例 3-1 确定工字形截面梁的剪流分布
解：1. 翼缘剪流计算
qf 
FS Sz ( ) FS
h F h
     S
Iz
2
2Iz
Iz
2. 腹板剪流计算
FS Sz ( y )
qw 
Iz
h
h
 1h


y
Sz ( y )  b   1 
  
2
2
 2 2
FS  bh  1  h2
2 
qw ( y)  
   y 
Iz  2
24


y

3. 剪流方向判断
FS  0  dM  0
dF2  0
dF1  0
w 与 FS 同向
f 指向腹板
4. 剪流分布图
qw,max

FS h(4b  h 1 )

8Iz
下翼缘的剪流均指
向腹板；上翼缘的剪流
均背离腹板

腹板上的剪流与剪
力 FS 同向

“视”截面如管道，
“视”剪流如管流，连
续流动；由qw推及其他
例 3-2 确定闭口薄壁圆截面梁的切应力分布
解：1. 问题分析
2. 切应力分析
切应力分布对称于 y 轴，A 处切
应力为零,等价于开口薄壁截面
 ( ) 
FS Sz ( )
I z
I z  R03
Sz ( )   ydA


Sz ( )   R0cos  R0d  R02sin
0
FS Sz ( ) FS sin

 ( ) 
R0
I z
 max 
FS
R0
§4 薄壁梁的截面剪心
 剪心概念
 剪心位置的确定
 剪心概念
现象与问题
剪心演示
要使梁仅弯不
扭，横向载荷
(F,q) 应满足何
种条件？
点击
画面
平面弯曲的外力条件
 梁  z 轴发生平面弯曲
FSy S z ( )
qy ( s) 
Iz
Fsy位置： ez=?
根据合力矩定理：
FSyez   q y ( s) ds
l
ez 
 Sz ( ) ds
l
Iz
要使梁  z 轴发生平面
弯曲, 外力 ( F, q ) 作用
线 ‖y 轴，并距其 ez 处
 梁 y 轴发生平面弯曲
FSz S y ( )
qz ( s ) 
Iy
Fsz位置：ey=?
根据合力矩定理:
ey
S ( ) ds


l
y
Iy
要使梁  y 轴发生平面弯曲，外力
( F, q )作用线 ‖z 轴，并距其 ey 处
剪心概念
 剪心定义
剪力 Fsy, Fsz 作用
线的交点E (ey, ez)
 剪心性质
ey
S ( ) ds


l
y
ez
S ( ) ds


l
z
Iz
 剪心位置仅与截面的形状及尺寸有关，与外
力无关，属于截面几何性质
Iy
 当横向外力作用线通过剪心时，梁将只弯不
扭，故剪心又称弯心
问题回顾
何以伴随扭转？
存在附加扭力偶矩
对称截面的剪心
单对称截面
剪心位于对称轴上
双对称截面
剪心与形心重合
 剪心位置的确定
槽形截面剪心
 剪心位于 z 轴
 确定 ez
设梁绕 z 轴发
生平面弯曲
FSy Sz ( )
q( ) 
Iz
FSy
h

  1 
Iz
2
2
 h  h h  6b 1 
Iz 
 2b 1   
12
12
 2
 h3
2
FSy 1h
q( ) 
2Iz
b
F1   q( )d
0
F1 
3FSy 1b 2
h(h  6b 1 )
根据合力矩定理：
FSyez  F1h
F1 h
ez 
FSy
3 1b 2
ez 
h  6b 1
圆弧形薄壁截面剪心
q( ) 
剪心位于z 轴， ez=？
FSy Sz ( )
Iz
π R03
Iz 
2
q( ) 
2FSysin
π R0

S ( )   R0cos  R0d  R0 sin
0
π
4FSy R0
FSyez  R0  q( )R0d 
0
π

3
4 R0
ez 
π
§5 复合梁的弯曲应力
 复合梁弯曲正应力
 转换截面法
 例题
 复合梁弯曲正应力
复合梁
由两种或两种以上材料所
构成的整体梁－复合梁
复合梁弯曲基本方程
平面假设与单向
受力假设成立
平面假设中性层(轴)
y


 1  E1 
E1 y
 2  E2 
E2 y


z 轴位于中性轴
A  1dA1  A  2dA2  0
1

A1
2
y 1dA1   y 2dA2  M
A2
E1  ydA1  E2  ydA2  0
A1
A2
S1  nS2  0 －确定中性轴位置
1


M
M

－确定中性层曲率
E1 ( I1  nI 2 ) E1 I z
式中：n=E2 / E1－弹性模量比
I1 ,I2－截面A1, A1对中性轴 z 的惯性矩
弯曲正应力公式
ME1 y
1 
E1 I1  E2 I 2
ME2 y
2 
E1 I1  E2 I 2
或写作
My
My
1 
2  n
Iz
Iz
正应变沿截面高度线性分布，但正应力
分布出现非连续，呈现分区线性分布
 转换截面法
截面转换
 当 n = E2/E1 时，将
截面 2 的横向尺寸乘以
n，得 “等效截面”
 静矩等效
Sz ,eq  S1  nS2
由 Sz ,eq  0
 惯性矩等效
 中性轴通过等效截面的形心 C
I z ,eq  I1  nI 2  I z
结论：通过等效截面确定中性轴位置与弯曲刚度 E1 I z
复合梁弯曲应力分析计算步骤
 计算弹性模量比 n
 画等效截面图
 由等效截面的形心，确定中性轴位置
 按等效截面计算惯性矩 I z
 计算弯曲正应力
My
1 
Iz
My
2  n
Iz
 例题
例 5-1 图示截面复合梁，
M=30kN.m，Ew=10GPa，
Es=200GPa，求木与钢横
截面上的弯曲正应力
解： 1. 模量比计算
选钢为基本材料
Ew 10 1
n 

Es 200 20
2. 等效截面几何性质
y0.183 m
I z  2.39105 m4
3. 横截面上的应力
My1
Iz
M ( h - y)

Iz
 96.7 MPa
 s,max 
 s,max
 w, max
nM y

 11.5 MPa
Iz
§6 曲梁弯曲应力简介
 曲梁弯曲应力
 大曲率梁与小曲率梁
 曲梁弯曲应力
曲梁
未变形时轴线即为曲线的杆件－曲杆
以弯曲为主要变形的曲杆－曲梁
曲梁弯曲正应力
 分析原理与方法
根据平面与单向受力
假设，并综合考虑几
何、物理与静力学三
方面，进行分析
 应力分布特点
 中性轴不通过横截面形心
  沿截面高度按双曲线规律分布
 横截面内、外侧边缘处的正应力最大
 应力计算
My

Sz
 中性层曲率半径:
r

A
A
dA

积分计算查
阅表10-1
 r y
 Sz－截面对中性轴 z 的静矩
Sz  Ae
e  Rr
 大曲率与小曲率梁
大、小曲率梁
 R / c  10 的曲梁 －大曲率梁
 R / c  10 的曲梁 －小曲率梁
小曲率梁应力
可近似认为：
My

Iz
 正应力沿截面高度线性分布
 中性轴通过截面形心
谢 谢

E

(a)
 dA  0 (b)  zdA  0 (c) 
A
 (a)(b)
A
A
 dA  0
A
中性轴通过截面形心
E
  ( z cos   y sin  ) (e)

I yz  0
 (e)(c)
  /2
中性轴与主形心轴 z重合
 
 (f)(d)
ydA   M z (d)
Mz

 EI z
1
Ey

Mz y
 Iz
(f)
 Fx  0,  ( s ) ( s )dx  dF
1 dF
 ( s) dx
MS z ( )
My
F   dA  
dA 
Iz
Iz
1 dM Sz ( )
 ( s) 
 ( s) dx I z
 ( s) 
FS Sz ( )
 ( s) 
I z ( s)
Sz-截面  对 z 轴的静矩
Iz- 整个截面对 z 轴的惯性矩
广义弯曲公式推导
试验表明：平面假设与单向受力假设成立
1）几何方面
平面假设
令
应变呈平面分布
  ay  bz  c
2）物理方面
当   p时，   E
  y z
3）静力学方面

A
  ydA    zdA    dA  0
 dA  0
A
A
A
 0


A
y dA   M z
 I z   I yz   M z
A
z dA  M y
 I yz   I y  M y

M z I y  M y I yz
I y Iz  I
2
yz
, 
M y I z  M z I yz
I y I z  I yz2
I yz   yzdA
A
面积A对y, z轴的惯
性积
广义弯曲正应力公式
 
M z I y  M y I yz
I y Iz  I
2
yz
y
M y I z  M z I yz
I y Iz  I
中性轴方位
设中性轴与+y轴夹角为φ
则中性轴过形心，且
 M z I y  M y I yz
tan    
 M y I z  M z I yz
2
yz
z
广义弯曲正应力公式
 
M z I y  M y I yz
I y Iz  I
2
yz
y
M y I z  M z I yz
I y Iz  I
中性轴方位
设中性轴与+y轴夹角为φ
则中性轴过形心，且
 M z I y  M y I yz
tan    
 M y I z  M z I yz
2
yz
z