Transcript مثال
الفصل األول التبرير والبرهان 1-1 التبرير االستقرائى والتخمين الرياضى التبرير االستقرائى :هو العملية التىى يىتم مىن خاللهىىا اختيىىار مىىقف موادىىل مصىىققف للوصىىول الى هذا األقماء العام . • التخمين :هو إصقار اقماء مام ( بهقل تعليمى ) يرتكز ملى معطيات ومعلومات معروفة . مثال :اكتبى تخمينا صول العىقق المثلثىى التىالى ( : ابقأ من اليسار ) . • الصظى :يتشكل كل مثلث بإضافة صل من النقاط . • تزقاق األمقاق بمققار 2,3,4,5 • التخمين :العقق المثلثى التالى يزيق بمققار 6 • من سابقه لذلك سيكون 15 + 6أو 21 • التصقق :نرسم مثلثا يلى المثلثات أماله يصقق التخمين . مثىال :النقىاط P, Q , R :تصقىق PR = 12,QR= 15, PQ = 9 اكتبى تخمينا وارسمى الشكل الذى يوضح تخمينك • • • • المعطيىىات :النقىىاط P, Q , Rتصقىىق 12,QR= 15, PQ = 9 تصققى مىن دياسىات القطىل المسىتقيمة وألن ≠ PQ + PR QRفإن النقاط الثالث التقل ملى استقامة واصقف. التخمين :النقاط P, Q ,Rليست ملى استقامة واصقف . التصقق :ارسمى المثلث PQRوهذا يوضح التخمين . = PR يبنى اإلقمىاء ملىى مالصظىات أو امثلىة ربمىا تكىون ى كثيىىر مىىن األصيىىان صىىصيصة ولكىىن فىىى بع ى الصىىاالت التكىىىون صىىىصيصة ولنفىىىى االقمىىىاء أو التخمىىىين يكفىىىى امطىاء مثىال يكىون االقمىىاء فيىه ييىر صىصيح والمثىىال الىىذى يكىىون فيىىه االقمىىاء ييىىر صىىصيح يسىىمى مثىىاال مضاقا مثىىىىىىىىال :باالمتمىىىىىىىىاق ملىىىىىىىىى التمثيىىىىىىىىل البيىىىىىىىىان المجىىاورأ أمىىط مثىىاالء مضىىا ءاقا لالقمىىاء أو التخمىىين التال الصل : 2-1 المنطق العبارة هى جملة خبرية إما أن تكون صصيصة فقط أو خطىىف فقىىط وال تصتمىىل اى وضىىل ثالىىث وتختلىل العبىىارف مىىن التخمىىين أو اإلقمىىاء ألن التخمىىين يصتمىىل أن يكىىون صىىصيصا فىىى بعىى الصىىاالت وخطف فى صاالت أخرى . تسىىمى صىىصة أو خطىىف العبىىارف المنطقيىة بقيمىىىىة الصىىىىوال لتلىىىىك العبىىىىارف ويرمىىىىز للعبىىىىارف المنطقيىىىىة برمىىىىز مثىىىىل Pأو q فمىىىىىثال يرمىىىىىز للعبىىىىىارف " أيهىىىىىا مقينىىىىىة سعوقية " بىالرمز ( . Pمبىارف صىصيصة ) • ونف العبارف المنطقية يفيق معنىى مضىا ءاقا لمعنىى العبارفأ وديمة الصوال لها مكس ديمة الصوال للعبارف .فمثال نفى العبارف Pامىاله هىو لىيس P صيث ك • صيىىث :لىىيس Pنفىىى العبىىارف أيهىىا ليسىىت مقينىىة سعوقية( .مبارف خاطئة) • • • • • • ويمكن ربط مبارتين أو أكثر لتكون مبارف مركبة .فمثالأ إذا كانت أيها مقينة سعوقيةp : . أيها مقينة سياصيةq: . فإنه يمكن ربط العبارتين بفقاف الربط“ و” للصصول ملى مبارف مركبة ه : qو :pأبها مقينة سعوقية وه مقينة سياصية. هذا مثال ملى تكوين مبارف مركبة من العبارتين qو pباستعمال اقاف الربط المنطقى "و" وتسمى العبارتان pو qمركبت العبارف المركبة وتكون مبارف الوصل صىصيصة فقىط منىقما تكىون جميل مركباتهىا مبىارات صىصيصة .فمىثال العبىارف ايهىىىا مقينىىىة سىىىعوقية والعبىىىارف " ايهىىىا مقينىىىىة صىىصيصة " ايضىىا لىىذلك تكىىون مبىىارف الوصىىل " ايها مقينة سعوقية وهىى كقينىة " ييىر صىصيصة . مثال :استعملى العبارات التالية لكتابة مبارف مركبة باستعمال األقاف "و" ثم أوجقى ديمة الصوال لها : الصل : • 1 : Pمن المصرم هو أول أيام السىنة الهجريىة . • -5 + 11 = -6 : q • : rالمثلث مكون من ثالثة أضالع . • وتكىىىىون مبىىىىارف الفصىىىىل صىىىىصيصة إذا كانىىىىت إصىىىىقى مركباتهىىىا ملىىىى األدىىىل صىىىصيصة .وتكىىىون خطىىىف منىىىقما تكون جميل مركباتها خطف. • فعنقما يكون أصمق ال يقرس الكيمياء وال يقرس األقل العرب فإن ديمة الصوال للعبارف p v qخطف . يمكىىن تمثيىىل مبىىارف الوصىىل باسىىتعمال أشىىكال ىىنأ فلىىو مىقنا إلى العبارف الموجوقف ف بقايىة الىقرس مىل مجمومىة المىقن العربية السياصيةأ فإن منطقىة التقىاطل فى أشىكال ىن (ملىى اليسار) تمثل المقن السعوقية السياصية ومنها أبها. ويمكن استعمال أشكال ن لتوضيح أ<< مبارف الفصل >> فإذا كانت: : Pفاطمة تسكن ف مقينة سعوقية : qفاطمة تسكن ف مقينة مربية سياصية. : Pvqفاطمىىىة تسىىىكن فىىى مقينىىىة مربيىىىة سىىىياصية أو فاطمىىىة تسكن ف مقينة سعوقية. مىىىن الطىىىرق المناسىىىبة لتنظىىىيم دىىىيم الصىىىوال للعبارات المنطقية اسىتعمال مىا يسىمى بجىقول الصوال. مثال كىىونى جىىقول صىىوال لكىىل مىىن العبىىارات المركبىىة التالية : 3-1 العبارات الشرطية • تكىىىىون العبىىىىارف الشىىىىرطية ملىىىىى صىىىىورف ( إذا كىىىىان ......فىىإن )....ويمكىىن كتابىىة المثىىال التىىالى لتوضىىيح ذلك ملى الصورف . • " إذا اشىىتريت سىىيارف فإنىىك تصصىىل ملىىى ملىىى 6000 لاير " مثال :صققى الفر والنتيجة فى كل مبارف : • ) Aإذا ودعىت النقىاط A , B , Cملىى الخىط eفإنهىا تكىون ملىى استقامة واصقف . • النتيجة :النقاط ملى استقامة واصقف . مثال الفر والنتيجة ف كل مبىارف أ ثىم صققى ْ اكتبها ملى صورف (إذا كان ...فإن ).... الصل : • • • • الزاوية الت دياسها أكبر من 90ه زاوية منفرجة. الفر :زاوية دياسها أكبر من 90 النتيجة :ه زاوية منفرجة. إذا كان دياس الزاوية أكبر من 90فإنها زاوية منفرجة. مثال صققى ديمة الصوال للعبارف التالية لكل شرط من الشروط: ) Aصصلتى ملى القرجة 100أ والمقرسة وضعت لىك تقىقير ممتاز. الصل : الفر صصيح لصصولك ملىى القرجىة 100والنتيجىة صىىصيصةأل ألن المىىقرس أمطىىاك تقىىقيرامتيازأ وبمىىا أن ومق المقرسة صصيح فإن العبارف الشرطية صصيصة. بالعبارف الشرطية المعطاف مبارات شرطية أخرى تسمى العبارات الشرطية المرتبطة. امتبر العبارف الشرطية التاليىة ":اذا كانىت تسىىكن فىىى مقينىىة الىىقمام فإنىىك تقطىىن ف ىى المملكة العربية السعوقية " • الفىىر :تسىىكن ف ى مقينىىة الىىقمام والنتيجىىة تقطىىن ف ى المملكىىة العربيىىة السىىعوقية.إذا بىىقلت الفىىر بالنتيجىىة والنتيجة بىالفر فإنىك تصصىل ملىى العبىارف الشىرطية: "إذا كنىىت تقطىىن فىى المملكىىة العربيىىة السىىعوقية فإنىىك تسىىكن ف ى مقينىىة الىىقمام" .تسىىمى هىىذه العبىىارف مكىىس العبارف الشرطية المعطاف. • ويصىىاا المعكىىوس والمعىىاكس اإليجىىاب باسىىتعمال نف ى الفر ونف النتيجة . مثال اكتل مكسأ ومعكىوسأ والمعىاكس اإليجىاب للعبىارف التاليىةأ وصىىقا ق مىىا إذا كانىىت كىىل مبىىارف صىىصيصة أو خطىىف .إذا كانىىت ء العبارف خطف ففمطِ مثاالء مضاقا ا: الصل : " الزاويتان المتجاورتان ملى مستقيم متكاملتين " أوالأ اكتل العبارف ملى صورف “إذا كان ...فإن .”... العبىىىارف الشىىىرطية :إذا كانىىىت الزاويتىىىان متجىىىاورتين ملىىىى مسىىىتقيم فإنهمىىىا زاويتان متكاملتان .وه مبارف صصيصة. لكتابة مكس العبارف الشرطية بقال الفر والنتيجة. مكس العبارف الشرطية :إذا كانت الزاويتىان متكىاملتين فإنهمىا متجاورتىان ملى مستقيم .وه مبارف خطف. زاويتان متكاملتانأ ولكنهما يير متجاورتين ملى مستقيم. • معكوس العبىارف الشىرطية :إذا كانىت الزاويتىان ييىر متجىاورتين ملىى مستقيم فإنهما يير متكاملتين .وهذه مبارف خطفأ والمثال المضىاق هىو المثال نفسه أماله .فالزاويتان يير متجاورتان ملى مسىتقيم ولكنهمىا متكاملتان. • ويكتىىىل معكىىىوس العبىىىارف الشىىىرطية مىىىن طريىىىق نفىىى الفىىىر ونفىىى النتيجىىة ف ى العبىىارف الشىىرطية .أمىىا المعىىاكس اإليجىىاب فيتشىىكل بنف ى الفر ونف النتيجة ف مكس العبارف الشرطية. • المعاكس اإليجابى :إذا كانت الزاويتان يير متكاملتين فإنهما يير متجاورتين ملى مستقيم وهذه العبارف صصيصة 4-1 التبرير االستنتاجى التبرير االسىتنتاجى :ممليىة االسىتنتاا التىى يتبعهىا األطبىىاء فىىى تصقيىىق ميىىار الجرمىىة مىىن الىىقواء لكىىل مىىىىري ملىىىىى مكىىىىس التبريىىىىر االسىىىىتقرائى الىىىىذى يسىىىتعمل أمثلىىىة إلنشىىىاء التخميىىىر أو اإلقمىىىاء فىىىإن التبريىىر االسىىتنتاجى يسىىتعمل صقىىائق أو تعىىاريل أو خصائص للوصول الى نتائج منطقية . الىىىذس يسىىىتعمل للصصىىىول ملىىىى النتىىىائج مىىىن مبىىىارات شىىىرطية صىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىصيصة يسىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىىمى دانون الفصل المنطق . منىىىق تطبيىىىق دىىىانون الفصىىىل المنطقىىى تفكىىىق مىىىن صىىىصة الشروط دبل اختبار دبل اختبار النتائج. مثىىال :العبىىارف الشىىرطية أقنىىاه صىىصيصة .صىىقق مىىا إذا كانىىت النتيجىىة صصيصة أم خطف بناء ملى المعطيات المعطاف مل تبرير إجابتك. القيىىاس المنطقىىى :طريقىىة أخىىرى للصصىىول ملىىى النتىىائج ه ى استعمال دانون القيىاس المنطقىى والىذس يشىابه خاصىية التعىقس لعالدة المساواف مثال :استعمل دانون القياس المنطق لتصقيق ما إذا كان ممكنىا ء الوصىىول إلىىى نتيجىىة صىىصيصة مىىن كىىل مجمومىىة مىىن العبىىارات التالية: الصل • )A ( )1إذا كان رمز الماقف pbفإنها ماقف الرصاص . ( )2إذا كانت الماقف هى الرصاص فإن مققها الذرى هو 82 لتكن : pرمز الماقف pb : qماقف الرصاص : rالعقق الذرى 82 العبارف الشرطية (p q : )1 العبارف الشرطية (q r :)2 وبمىىىا أن العبىىىارتين الشىىىرطيتين صىىىصيصتان فإنىىىه باسىىىتعمال دانون القياس المنطق نستنتج أن p → r.مبىارف شىرطية pbفىىإن مىىققها صىىصيصة .أس أنىىه إذا كىىان رمىىز المىىاقف الذرس 82 مثال • مثال :بين ما إذا كانىت العبىارف( )3نتيجىة للعبىارتين ( )1و ( )2من دانون الفصل المنطق أو دانون القيىاس المنطقى أ أس دىىانون اسىىتعمل .أمىىا إذا لىىم تكىىن وإذا كانىىت كىىذلك اكتبىىى ا ناتجىىة مىىن أس مىىن القىىانونين المىىذكورين فىىاكتبى " :لىىيس صصيصا " الصل ( )1الزاويتان المتقابلتان بالرأس متطابقتان. ( )2إذا كانت الزاويتان متطابقتين فإن لهما القياس نفسه. ( )3ذا كانت الزاويتان متقابلتين بالرأس فإن لهما القياس نفسه. • :Pالزاويتان متقابلتان بالرأس . • : qالزاويتان متطابقتان . • : rالزاويتان لهما القياس نفسه . • العبارف ( ) 3ف المثال أمىاله صىصيصة وهى نتيجىة اسىتعمال دىانون القياس المنطق . 5-1 المسلمات والبراهين الصرف المسىىىىىلمة :مبىىىىىارف تقبىىىىىل ملىىىىىى انهىىىىىا صصيصة وتعتبر المباقئ األساسىية صىول النقىىىىىىىاط والمسىىىىىىىتقيمات والمسىىىىىىىتويات مسلمات . مثال يراق توصيل خمسة أجهزف صاسىول بعضىها مىل بعىىى بصيىىىث يوصىىىل كىىىل جهىىىاز مىىىل األربعىىىة األخرى .كم وصلة نصتاا؟ الصل افهمىىىى :هنىىىاك خمسىىىة أجهىىىزف صاسىىىولأ وكىىىل جهىىىاز موصل باألربعة األخرى. خططى :ارسمى شكال يوضح الصل. صىىل :لىىتكن A, B, C, D, Eخمىىس نقىىاط ليسىىت ملىىى اسىىىتقامة واصىىىقفأ وكىىىل نقطىىىة تمثىىىل جهىىىازا مىىىن األجهىىىزف الخمسة .صلى كل نقطة بكل نقطة من النقاط األخرى. بين كل نقطتين توجق دطعىة مسىتقيمة واصىقفأل فالقطعىة AB تمثل الوصلة Aوالجهاز Bوالجهاز Aلوصلة بين الجهاز وملى ذلك يمكن رسم مشر دطل مستقيمة . تصققىى AB, AC , AD , AE , BC , BD , BE , : CD , CE , Dكل منها تمثل وصىلة .ومليىه يوجىق مشىر وصالت. تستعمل المفرقات ييىر المعرفىةأ والمفىرقات المعرفىة والمسىىىلمات والخصىىىائص الجبريىىىة للمسىىىاواف إلثبىىىات صىىصة مبىىارات أو تخمينىىات أخىىرىأ وف ى صىىال إثبىىات صصة العبارف أو التخمين تسمى نظريةأ وه بىقورها تستعمل لتبرير صصة مبارات أخرى. سول تىقرس مىقف طىرق إلثبىات صىصة مبىارات أو تخمينات ف الهنقسة. البرهان :هو قليل منطق أ بصيث إن كىل مبىارف تكتبها تكون مبررف بعبىارف سىبق إثبىات صىصتها. ومن أنوامه البرهان الصر .وف هذا النىوع مىن البرهىىان تكتىىىل فقىىىرف توضىىح فيهىىىا لمىىىاذا يكىىىون التخمين لوضل معطى صصيح . 6-1 البرهان الجبرى الجبر نظام مكون من مجمومات من األمقاق والعمليىىىات مليهىىىا والخصىىىائص تمكنىىىك مىىىن إجىىىىراء هىىىىذه العمليىىىىات .والجىىىىقول التىىىىال يلخص مقف خصائص ملى األمقاق الصقيقيىة الت ستقرسها ف الجبر. تسىىتعمل خصىىائص مالدىىة المسىىاواف لتبريىىر خطوات صل المعاقالت .ومجمومة الخطوات الجبر اية الت تستعمل لصل المسائل تشكل ما يسمى المنادشة االستنتاجية. • إن المثىىال ( )1أمىىاله هىىو إثبىىات ملىىى صىىصة العبىىارف الشرطية “إذا كان 3(x-2)=42فإن "x=16 • والصىىظ أن العمىىوق مىىن اليمىىين هىىو تفصىىيل الطريقىىة خطىىوف خطىىوف والت ى تقىىوق إلىىى الصىىلأ والعمىىوق مىىن ىىىرر كىىىىل خطىىىىوف .ويسىىىىتعمل فىىىى اليسىىىىار يصتىىىىوس مبى ا الهنقسة نموذا مشابه لبرهان التخمينات والنظريات. • إن البرهان ذا العموقين يصتىوس العبىارات مرتبىة فى مموق والتبريرات مرتبة ف مموق مواز. البرهىىىىىان الهنقسىىىىىى :إن ديىىىىىاس الزوايىىىىىا وأطوال القطل المستقيمة ه أمقاق صقيقية. ومليه فإنه يمكن استعمال خصائص األمىقاق الصقيقيىىىة فىىى إثبىىىات العالدىىىات بىىىين الزوايىىىا والقطل المستقيمة. مثال ديىىاس الزاويىىة المتكونىىة مىىن مقربىى السىىامات والىىقدائق منىىق السىىامة الثانيىىة يسىىاوس 60وإذا كانىىت الزاويىىة المتكونىىة منىىق السىىىامة الثانيىىىة تطىىىابق الزاويىىىة المتكونىىىة منىىىق تمىىىام السىىىامة العاشىىىرفأ ففثبىىىت أن ديىىىاس .الزاويىىىة المتكونىىىة منىىىق السىىىامة العاشرف يساوى . 60 7-1 إثبات مالدات بين القطل المستقيمة جمل القطل المستقيمة :ملمت كيل تقيس القطىل المسىىىتقيمة باسىىىتعمال المسىىىطرفأ بوضىىىل صىىىفر المسىىىطرف ملىىىى أصىىىق طرفىىى القطعىىىة المسىىىتقيمة ودراءف التقريج المقابل للطرل اآلخر من القطعىة المسىىىتقيمةأ فيمثىىىل هىىىذا التىىىقريج طىىىول القطعىىىة المستقيمة .وهذا يوضح مسلمة المسطرف. تطابق القطل المستقيمة • تعلمىىت فىى الجبىىر خصىىائص المسىىاواف .أمىىا خاصىىية فتىىنص ملىىى أن كىىل كميىىة تسىىاوس نفسىىها. النعكىىاس ا وخاصىىىىىية التماثىىىىىل للمسىىىىىاواف تىىىىىنص ملىىىىىى أنىىىىىه إذا كانت a=bفإن . b = a • أمىىا خاصىىية التعىىقى للمسىىاواف فتىىنص ملىىى أنىىه ألى ثالثة أمقاق a, b , cإذا كىان a = bو b = cفىإن a = cوخصىائص المسىاواف هىذه تشىبه الخاصىئص التالية للتطابق . 8-1 إثبات مالدات الزوايا تىىذكر أنىىك منىىق ديىىاس الزوايىىا باسىىتعمال المنقلىىة تضىىل المنقلىىة بصيث إن أصق ضلع الزاوية ينطبق ملى صفر المنقلىةأ ثىم تقىرأ التقريج ملى المنقلة المنطبق ملى ضلل الزاويىة اآلخىر .ولرسىم زاويىىة معلىىوم دياسىىها ملىىى نصىىل مسىىتقيم معطىىى ضىىل المنقلىىة بصيىىث يكىىون طىىرل نصىىل المسىىتقيم منىىق مركىىز المنقلىىة ويم ىر بعالمة الصفر ملى المنقلىةأ ثىم مى اين نقطىة منىق القيىاس المصىقق للزاويىىة لتصقيىىق الضىىلل الثىىان لهىىا .تؤكىىق مسىىلمة المنقلىىة وجىىوق نصىىل مسىىتقيم وصيىىق يمكىىن رسىىمه إلنشىىاء زاويىىة ملىىى نصىىل مستقيم معطى وبقياس مصقق مسب ءقا. الزوايا المتطابقة والزوايا القائمة إن الخصائص الجبرية الت تنطبىق ملىى تطىابق القطىىىل لمسىىىتقيمة وتسىىىاوس دياسىىىاتها صىىىصيصة ملى تطابق الزوايا وتساوس دياساتها.