Transcript liczba_Pi
TA NIEZWYKŁA LICZBA π LICZBA π • HISTORIA • MNEMOTECHNIKA • CIEKAWOSTKI HISTORIA Liczba π została odkryta dość wcześnie, bo już w starożytności, kiedy to zauważono, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą bliską liczbie 3 (a więc niezależną od wielkości koła). l 3 d l obwód d średnica Od tej chwili starano się odkryć dokładną wartość stosunku obwodu koła do jego średnicy. Stała ta okazała się liczbą niewymierną, a zatem liczbą, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone, nieokresowe i której nie można przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. 3,14159265358979323846… Niewymierność tej liczby udowodnił w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Nie możemy podać dokładnej wartości tej liczby, a jedynie mniej lub bardziej dokładną wartość przybliżoną. Najczęściej stosowane przybliżenia tej liczby to: 3,14 22/7 Liczba π to najstarsza odkryta liczba tego typu. Liczy sobie około 4000 lat. Symbol π, jakim oznacza się tę liczbę, Został jednak wprowadzony znacznie później, bo w roku 1706, przez matematyka angielskiego Wiliama Jonesa. Oznaczenie to początkowo nie zdobyło uznania ani rozgłosu wśród matematyków. Rozpowszechnił je dopiero wybitny fizyk i matematyk szwajcarski Leonhard Euler. jest szesnastą literą greckiego alfabetu i pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód. Liczba π nazywana bywa często stałą Archimedesa lub ludolfiną. Archimedes (III w. p.n.e.) – matematyk i fizyk grecki – był prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby π, który oszacował ją z dokładnością do 2 miejsc po przecinku. Do oszacowania wartości liczby π Archimedes użył metody bazującej na zależnościach geometrycznych. Obwód koła o średnicy 1 równy jest liczbie π. W koło wpisujemy dowolny wielokąt foremny, a następnie wielokąt ten opisujemy na kole. Obliczając obwody tych wielokątów i ich średnią arytmetyczną otrzymujemy wartość zbliżoną do obwodu koła a więc do liczby π. Im więcej boków będzie liczyć nasz wielokąt tym lepsze przybliżenie liczby π uzyskamy. Archimedes wykonał obliczenia dla 96 – kąta i uzyskał przybliżenie z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Przez następne wieki metoda Archimedesa była najlepszą metodą pozwalającą uzyskiwać coraz bardziej dokładne przybliżenia liczby π. Metoda ta była często i z powodzeniem wykorzystywana, niezależnie od prac Archimedesa, przez późniejszych matematyków, którzy poszukiwali kolejnych przybliżeń liczby π. Nazwa „ludolfina” pochodzi od imienia matematyka holenderskiego Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby π z dokładnością do 35 cyfr po przecinku. Ludolf van Ceulen, pracując nad obliczeniem wartości liczby π, stosował metodę Archimedesa (wieloboków foremnych). Uzyskane rezultaty opublikował w 1596 roku w książce „O kole”, w której podał wartość π z dokładnością do 20 miejsc po przecinku. Nie zatrzymał się jednak na tym, pracował dalej i pod koniec życia obliczył π z dokładnością do 35 miejsca po przecinku; użył do tego wieloboku o ilości boków równej 262 czyli ponad milion. Całe swoje życie poświęcił pracy nad coraz lepszym przybliżeniem wartości liczby PI. Wartość, którą uzyskał, π z 35-a cyframi po przecinku, została wyryta na jego płycie nagrobkowej. Jak wynika z powyższych przykładów, od momentu, gdy odkryto liczbę będącą ilorazem obwodu koła przez jego średnicę, najwybitniejsi uczeni łamali sobie głowy nad znalezieniem jej coraz bardziej dokładnych przybliżeń (określeniem jak największej ilości liczb występujących po przecinku). Historia obliczeń liczby π jest bardzo ciekawa. Pierwsze zapiski na temat liczby π znaleziono w starożytnym Egipcie. I to właśnie Egipcjanie podali jedno z pierwszych jej przybliżeń. Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą dla odmiany ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e., pojawia się wartość 3,125. Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie matematycznym Rhinda zatytułowanym „Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach” znajdują się rozwiązania zadań matematycznych, zawierające odniesienia do wartości liczby π, przybliżonej przez ułamek 44/34, co wynosi 3,1604. W biblijnej Drugiej Księdze Kronik pochodzącej z V – IV wieku p.n.e. znajduje się relacja: „Następnie sporządził odlew okrągłego „morza” o średnicy dziesięciu łokci, wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci” (2 Krn 4,2). Z tego opisu wynika, iż wykonawca owego „morza” przyjął oszacowanie π = 3. Wśród wybitnych postaci starających się na przestrzeni wieków oszacować liczbę π, oprócz wspomnianych już – Archimedesa i Ceulena, znajdziemy między innymi Ptolemeusza, Bhâskarę, Piotra Metiusa, Françoisa Viete’a , Leonharda Eulera i Gotfrieda Wilhelma Leibnitza. Francois Viete Ptolemeusz Gotfried Wilhelm Leibnitz Z biegiem czasu uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości liczby PI, sięgające kilkuset miejsc po przecinku. 1853 rok Wiliam Rutherford 440 miejsc po przecinku 1874 rok Wiliam Shanks 527 miejsc po przecinku Wiliam Shanks 1946 rok – Ferguson – 620 miejsc po przecinku, z tym że on, w końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949 r. aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. Przy pomocy komputera ENIAC obliczono wówczas 2037 miejsc po przecinku. ENIAC – pierwszy komputer cyfrowy W 2009 roku Fabrice Bellard obliczył π z dokładnością do 2699999990000 miejsc po przecinku. Obliczenia ze sprawdzeniem zajęły mu 131 dni. W 2010 roku obliczono 2 000 000 000 000 000 cyfrę liczby π i wynosi ona zero. Obliczenia trwały 23 dni. Oczywiście ludzie ciągle bili i bić będą rekordy w wyznaczaniu kolejnych przybliżeń liczby π. Nim się do tego zabierzemy, warto pamiętać, że w praktyce wystarcza nam osiem cyfr tego rozwinięcia. Liczba π pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. Współczesna matematyka bez liczby π po prostu nie istnieje. MNEMOTECHNIKA Termin mnemotechnika (z gr. mnéme 'pamięć' + technika - gr. technikós 'wykonany zgodnie ze sztuką' od téchne 'sztuka') oznacza ogół technik służących lepszemu zapamiętywaniu oraz przypominaniu sobie informacji na drodze skojarzeń. Księga Guinnessa zawiera listę ludzi którzy zapamiętali najwięcej cyfr liczby π. Zapamiętanie kilkunastu początkowych cyfr po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby π, nie jest sprawą łatwą, lecz tutaj matematyce przychodzi na pomoc poezja. W przypadku liczby pi najczęściej używaną sztuczką mnemotechniczną jest zapamiętanie wierszyka, w którym liczba liter kolejnego słowa to kolejna cyfra liczby pi. Znane są takie wierszyki w różnych językach, m.in. angielskim, francuskim, rosyjskim. Witold Rybczyński nadał takim wierszykom nazwę "pi-emat" Oto niektóre z polskich wierszy: 1 Kuć i orać w dzień zawzięcie, Bo plonów niema bez trudu! Złocisty szczęścia okręcie, kołyszesz... Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota to potęga ludu! 3,14159 26535 8979 32384 6264 Był to pierwszy polski wiersz tego typu, nieco toporny, napisany przez Kazimierza Cwojdzińskiego w 1930 roku i zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr poświęconemu nauczaniu matematyki. Należy także pamiętać, że tekst powstał przed reformą ortografii z 1936 roku. Wówczas pisano nie ma w znaczeniu 'nie posiada' i niema w znaczeniu 'nie jest'. 2 3, 14159 Jaś o kole z werwą dyskutuje 26535 bo dobrze temat ten czuje 8979 zastąpił ludolfinę słowami wierszyka czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika? 32384626 Oto i wiem i pomnę doskonale... Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła. 3 Raz w maju, w drugą niedzielę Pi liczył cyfry pan Felek. Pomnożył, wysumował, Cyferki zanotował, Ale ma ich niewiele... 3, 14159 26535 89 79 3238 4 Podczas zmagań sportowych na Mundialu w Argentynie ułożono wiersz, który pozwala zapamiętać 30 cyfr po przecinku: Już i Lato i Deyna strzelili do bramki obcej dwa karne Lubański dostrzegł mistrza Szarmacha gdy on tak wypuścił cios szacha że zdobyć musi cel gry krzyknął Gol na Mundial! Argentyna. 3,1415 9265 35 8979 323846 26433 83279 CIEKAWOSTKI 1. Liczba 31415926535897932384626433832795028841, zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi, jest pierwsza. 2. Koncentracja cyfr liczby pi jest prawie równa, jednak na pierwszych 30 miejscach po przecinku nie występuje cyfra 0. 3,141592653589793238462643383279 3. Na ciekawy fakt zwrócili uwagę badacze piramidy Cheopsa. Stwierdzili oni, że iloraz otrzymany z podziału sumy dwóch boków podstawy piramidy przez jej wysokość jest równy 3,1416, co jest zadziwiająco dokładnym przybliżeniem liczby . Trudno jednak z całą pewnością stwierdzić, czy jest to tylko przypadek, czy też efekt świadomych obliczeń ówczesnych uczonych wykorzystujących znajomość wartości liczby. 4. Pi nierzadko pojawia się i w filmach. W "Pi" Darrena Aaronofskyego genialny matematyk Max Cohen próbuje rozszyfrować tajny kod, dający władzę nad materialnym i duchowym światem. Aaronofsky nie ustrzegł się zresztą błędu w samej liczbie, co ochoczo wytknęli mu widzowie - długi sznur liczb na początku filmu przedstawiających pi jest błędny od dziewiątego miejsca po przecinku, dodatkowo w filmie jest mowa o 216-cyfrowej liczbie, jednak po przeliczeniu jej cyfr okazuje się, że jest ich "aż" 218. 5. Nie sposób nie wspomnieć o odkryciu polskiej noblistki Wisławy Szymborskiej, która w jednym z wierszy „Liczba Pi” zasugerowała, że w rozwinięciu liczby pi można znaleźć dowolną liczbę naturalną (np. dowolny numer telefonu, koszuli, liczbę mieszkańców etc.). W 2008 roku okazało się to być prawdą! Od tej pory wszystkie liczby, które mają taką cechę (tzn. ich rozwinięcia zawierają wszystkie liczby naturalne, jak np. najprostsza z takich liczb 0,1234567891011121314...), nazywa się "liczbami Szymborskiej". 7. Wzmianka o pi i o jej boskiej naturze pojawia się również w książce Umberto Eco - "Wahadło Foucaulta”. 8. Liczba π weszła także do języka potocznego w postaci różnych powiedzonek: "pi razy oko”, „pi razy drzwi”. 8. Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby Pi. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat. 9. Liczba pi inspiruje też zwykłych ludzi, którzy starają się ustanowić nowe rekordy w zapamiętywaniu jej rozwinięcia. Na przykład 60 – letni Japończyk Akira Haraguchi w 2006 roku wyrecytował z pamięci 100 tysięcy cyfr składających się na liczbę pi. Zajęło mu to 16,5 godziny. Haraguchi rozpoczął recytację w środę o 9 rano i do 100-tysięcznej liczby po przecinku doszedł o pierwszej dwadzieścia osiem w czwartek. Haraguchi robił sobie co dwie godziny pięciominutowe przerwy na odpoczynek i małą przekąskę w postaci kulek z ryżu. 10. Liczba pi od tysiącleci fascynuje naukowców. Ma swoich wielu wielbicieli. Nic dziwnego, że doczekała się swojego dnia, a nawet kilku. 14 marca obchodzimy Światowy Dzień Liczby π (amerykański sposób liczbowego zapisu tej daty to 3.14), a następnie 22 lipca – dzień aproksymacji liczby π (europejski sposób zapisu tej daty to ułamek 22/7=~3.1428, znany był już około półtora tysiąca lat temu w Chinach, jako przybliżenie, zresztą bardzo dobre, liczby π). Pierwsze obchody Dnia Liczby Pi miały miejsce 14 marca 1988 roku (14 marca jest to również dzień urodzin Alberta Einsteina i polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego) w muzeum nauki Exploratorium w San Francisco. Od roku 1988, z okazji tego niezwykłego święta, ludzie, którym bliska jest matematyka i jej popularyzowanie organizują prelekcje poświęcone różnym dziedzinom i problemom matematyki, konkursy matematyczne. Młodzież szkolna i studenci przygotowują okolicznościowe gazetki, quizy, przedstawienia, konkursy recytatorskie piematów, itp. Pi ma swoje święto również 26 kwietnia, czyli w dniu, w którym Ziemia pokonuje od nowego roku 2 radiany swojej orbity (długość orbity podzielona przez ten dystans wynosi właśnie pi). Kolejny dzień to 10 listopada, który jest 314 dniem roku (w roku przestępnym to święto obchodzone jest 9 listopada). MATERIAŁY ŹRÓDŁOWE: [1] www.swiatmatematyki.pl [2] www.serwis-matematyczny.pl [3] www.edulandia.pl [4] pl.wikipedia.org