Liczba Pi - 6.67Mb - Gimnazjum im. Noblistów Polskich w
Download
Report
Transcript Liczba Pi - 6.67Mb - Gimnazjum im. Noblistów Polskich w
Projekt
„Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! ”
jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków
Europejskiego Funduszu Społecznego
Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013
CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie
• Nazwa szkoły:
Gimnazjum im. Noblistów Polskich w Koźminku
• ID grupy: 98/44_mf_g2
• Opiekun: p. Edyta Trocha
• Kompetencja: Matematyczno - fizyczna
• Temat projektowy: Liczba pi
Semestr/rok szkolny:
Semestr IV, rok szkolny 2011/2012
1.Katarzyna Janiak
2.Kinga Humelt
3.Karolina Trzcińska
4.Ewelina Murawska
5.Kamil Krakus
6.Adrian Wesołowski
7.Kamil Kapłonek
8.Tobiasz Kawecki
9.Szymon Wojciechowski
10.Józef Muszyński
11.Klaudia Antczak
12.Aleksandra Pietura
13.Kinga Jędrzejak
14.Piotr Kostera
15.Tomasz Jaśkiewicz
• Nazwa szkoły:
Gimnazjum im. Królowej Jadwigi we Wschowie
• ID grupy: 98/87_MF_G1
• Opiekun: p. Teresa Czapiewska - Jędrzychowska
• Kompetencja: Matematyczno - fizyczna
• Temat projektowy: W świecie liczb
Semestr/rok szkolny: Semestr III, rok szkolny 2010/2011
1.Agnieszka Gąsiorek.
2. Nicole Kamińska
3. Michał Kroma
4. Wojciech Mały
5. Agnieszka Marciniak
6. Martyna Mielnik
7. Natalia Młynarczak
8. Aleksandra Rybka
9.Oktawia Suda
10. Katarzyna Walner
11. Jarosław
Urbanowicz
„Następnie sporządził odlew
okrągłego morza o średnicy
dziesięciu łokci, o wysokości
5 łokci i o obwodzie 30 łokci.”
Biblia Tysiąclecia
π≈3,141592653589793238462643
383279502884197169...
Już w czasach zamierzchłych
starożytni rachmistrze zauważyli,
że wszystkie koła mają ze sobą coś
wspólnego, że ich średnica i obwód
pozostają wobec siebie w takim
samym stosunku, a liczba ta bliska
jest 3. W Starym Testamencie
obwód był właśnie trzykrotnością
średnicy, a w jednym z najstarszych
tekstów matematycznych- papirusie
Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość
ta była przedstawiana jako
(169)2≈3,160493...
Liczbę Pi poznajemy jako pierwszą
w szkole – jako iloraz obwodu koła i jego
średnicy. „Pi” to również tytuł
i inspiracja niekomercyjnego filmu
Darrena Aronofskiego. Bohater filmu
Max Cohen jest stereotypowym
naukowcem. Zamknięty w sobie,
poświęcający każdą wolną chwilę
matematyce, zaniedbujący doczesną
egzystencję, prowadzi niekończącą się
walkę z migrenowymi halucynacjami oraz
... liczbami. Jego obsesją jest
odnalezienie reguły w chaosie
dziesiętnego rozwinięcia liczby Pi.
•W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków
podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie
pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś
nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek,
czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych.
• Liczba 31415926535897932384626433832795028841
zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego
liczby Pi, jest pierwsza.
•Tak i mnie i tobie poznawana tu liczba cudna dla ogół
przynosi wszystkim pożytek wspaniały
π ≈ 3,14159265358979
•Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi,
wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości
liczby π.
Oto wzory na liczbę pi :
• Babilończycy: π≈3
• Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.):π≈(169)2
≈3,160493...
• Archimedes:π≈227≈3,14
• Chiński matematyk Chang Hing
:14245≈3,1555...
•Klaudiusz Ptolomeusz π≈3+860+3360≈3,1416
•hinduski matematyk Ariabhata (V w. n.e.):
π≈ 628322000=3,1416
Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego
średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu
3,1415... Ale dlaczego w przybliżeniu?
Liczba PI" jest liczbą niewymierną
Symbol ten pochodzi od greckich słów:
periferia lub perimetron.
Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów
miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju
to liczba? Wiemy, że jest bardzo bliska
227≈3,14 , ale nie ma tu równości. Bliższa jest
wartości
355113≈3,1415929203..., ale nawet ta liczba nie
określa dokładnej wartości.
Ostatecznie w roku 1882 niemiecki
matematyk Ferdinand Lindemann
rozstrzygnął podstawowy problem
dotyczący liczby i wykazał, że π jest liczbą
przestępną czyli taką, która nie jest
pierwiastkiem żadnego wielomianu
o współczynnikach całkowitych.
Liczba pi jest więc liczbą niewymierną,
taką której rozwinięcie dziesiętne
zachowuje się "byle jak",nie ma w nim
żadnego porządku i nigdy się nie kończy.
Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706
roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard
Euler używając tego zapisu w dziele Analiza.
Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa
"peryferia". Liczba ta nazywana jest również ludolfiną
od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena,
który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie
z dokładnością 35 miejsc po przecinku.
„PI
W ARYTMETYCE”
Pi można wykorzystać również w arytmetyce. Jeśli
liczbę parzystą podzielimy przez nieparzystą, a później
tę samą parzystą przez kolejną nieparzystą, po czym
następną parzystą przez tę samą nieparzystą co
poprzednio (czyli 2/1, 2/3, 4/3, 4/5, 6/5, 6/7 itd. ) to
po wymnożeniu ich wyników otrzymujemy połowę Pi Wielu ludzi pasjonuje się Pi, bo sądzą że można związać
z nią zdarzenia losowe.
MIĘDZYNARODOWY DZIEŃ „PI”
14 marca obchodzony jest międzynarodowy dzień liczby
Pi. Datę święta wyznaczono ze względu na pierwsze
cyfry rozszerzenia dziesiętnego PI (3,14)…
WIERSZ O „PI”
Liczba Pi [Fragment Wiersza Wisławy Szymborskiej]
Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć
dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem
osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem…
1 rok świetlny równa się w przybliżeniu π·107·c (km),
gdzie c oznacza prędkość światła (w kilometrach na
sekundę). Liczba sekund w roku wynosi 365·24·60·60=31
536 000, co w przybliżeniu wynosi π·107·c.
OBLICZANIE LICZBY Π METODĄ MONTE-CARLO
Metoda Monte-Carlo - jest stosowana do modelowania
matematycznego procesów zbyt złożonych , istotną rolę
w metodzie MC odgrywa losowanie (wybór przypadkowy)
wielkości charakteryzujących proces, przy czym
losowanie dokonywane jest zgodnie z rozkładem, który
musi być znany.
Metodą Monte Carlo można obliczyć pole figury
zdefiniowanej nierównością:
Czyli koła o promieniu R i środku w punkcie (0,0).
1.
Losuje się n punktów z opisanego na tym kole
kwadratu - dla koła o R = 1 współrzędne wierzchołków
(-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1).
2. Po wylosowaniu każdego z tych punktów trzeba
sprawdzić, czy jego współrzędne spełniają powyższą
nierówność (tj. czy punkt należy do koła).
Wynikiem losowania jest informacja, że z n wszystkich
prób k było trafionych, zatem pole koła wynosi :
Gdzie P jest polem kwadratu opisanego na kole.
W statystyce matematycznej igła Buffona jest jednym z
najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa
geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733
przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon, a w
1777 podał on jego rozwiązanie. Opisany w problemie
eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą
oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby
π należy do klasy metod Monte Carlo.
Zadanie Buffona o igle
Francuski hrabia Buffon, znany przyrodnik, rysował
równo linie na papierze, potem rzucał igłę i sprawdzał ile
razy przecina ona narysowane linie. Okazało się, że w
stosunku liczby przecięć do liczby rzutów też jest
zakodowane Pi…
METODA APROKSYMACJI LICZBY
Aproksymacja to proces określania rozwiązań przybliżonych
na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym.
Jeśli nieznany jest obwód koła, to w przybliżeniu można go ustalić, obliczając
obwód wielokąta wpisanego w okręg i obwód wielokąta opisanego na tym samym
okręgu. Obwód koła, równy 2
r, jest zawsze dłuższy niż obwód wielokąta
wpisanego, a krótszy niż obwód wielokąta opisanego na tym okręgu
Pierwszym matematykiem, który tę metodę
z powodzeniem praktykował, był
Archimedes. Do swoich obliczeń
wykorzystał on wielokąt o 96 bokach
i uzyskał w ten sposób przybliżenie
sięgające dwóch miejsc po przecinku – =
3,14.
Liu Hui
Jeszcze dokładniejszy wynik
osiągnął chiński matematyk Liu Hui
w III w. n.e. Z prawdziwie chińską
cierpliwością rozpoczął on od
wpisywania w okrąg wielokąta o 192
bokach, aż doszedł do wpisywania
wielokąta o 3072 bokach i otrzymał
wartość liczby = 3,14159.
WZORY Z ZASTOSOWANIEM LICZBY
Długość okręgu:
l = 2r
r = promień
Długość łuku:
Ł
360
2r
Pole wycinka kołowego:
Pole koła:
P = r2
r = promień
P
360
2
r
WZORY Z ZASTOSOWANIEM LICZBY
Objętość kuli:
4 3
V r
3
r = promień
Pole elipsy:
P ab
a = ½ długości osi
wielkiej
b = ½ długości osi małej
• Pole powierzchni kuli:
P 4r 2
• Obwód elipsy:
ab
O 3
ab
2
• a = ½ długości osi wielkiej
• b = ½ długości osi małej
DŁUGOŚĆ OKRĘGU – PRZYKŁAD
Policzmy długość
okręgu dla r = 3
l 2r
l 2 3
l 6 18,84 j
r
POLE KOŁA – PRZYKŁAD
Liczymy
pole koła
dla r = 3
P r 2
P 32
P 9 28,26 j 2
r
POLE WYCINKA KOŁOWEGO – PRZYKŁAD
Liczymy pole wycinka
kołowego dla r = 3 i α = 90o
2
r
360
90
2
P
3
360
1
P 9
4
1
P 2 4,71 j 2
4
P
r
OBJĘTOŚĆ KULI – PRZYKŁAD
Liczymy
objętość kuli
dla r = 3
V
V
V
V
4 3
r
3
4 3
3
3
4
27
3
36 113,04 j 3
r
POLE POWIERZCHNI KULI – PRZYKŁAD
Liczymy pole
kuli dla r = 3
P 4r 2
P 4 32
P 36 113,04
P 36 113,04 j 2
r
POLE ELIPSY – PRZYKŁAD
b
a
Dla a = 6,25 i b = 4
P ab
P 6,25 4
P 25 78,5
Wykorzystanie liczby Pi
Walec
Walec ma dwie podstawy, które są kołami.
Powierzchnia boczna walca „po rozwinięciu” jest
prostokątem
Wysokością walca jest każdy odcinek o końcach
należących do obu podstaw i równoległy do odcinka
łączącego środki podstaw.
STOŻKI
Oto stożek i jego siatka.
Objętość stożka wynosi
V= 1/3 Sh
S - pole powierzchni podstawy stożka
H - wysokość stożka
KULE
Kulą nazywamy bryłę powstałą z obrotu półkola dokoła prostej
zawierającej jego średnicę.
P = 4πr2 - pole powierzchni kuli
gdzie:
πr2 - pole koła wielkiego Pkw (największego przekroju kuli)
r - promień kuli i koła wielkiego
Możesz zapamiętać, że powierzchnia kuli jest równa
powierzchni czterech kół wielkich:
P = 4Pkw = 4πr2
V = 4/3πr3 - objętość kuli
ROZWIĄZYWALIŚMY ZADANIA:
ZADANIE 1
Do garnka o średnicy 24 cm i wysokości 12 cm wody. Oblicz, ile
litrów wody nalano do garnka.
r = 12cm
h = 12 cm
V=∏r²*h
V = 144 ∏ cm ³
V ~ 452,16cm ³
452,16 cm ³ ~ 4,5 l
Do garna nalano około 4,5 litra wody.
ZADANIE 2
Zakończenie wieży jest stożkiem o promieniu podstawy r = 3,5 m i
tworzącej l = 6m. Ile metrów kwadratowych należy kupić na pokrycie
zakończenia wieży, jeżeli na skrawki i spojenia trzeba doliczyć 10%?
Pc = Pp + Pb
Pp = π r ²
Pb = π * r * l
Pp = 12,25 ∏ ~ 38,45 cm ²
Pb = 21 ∏ ~ 65,95
Pc = 38,45 + 65, 95
Pc ~ 104,4 + 10 % pc ~ 114,84 m ²
Na pokrycie zakończenia wieży należy kupić około 114,84m ².
ZADANIE 3
Mama upiekła dwa ciasta: tort w kształcie walca o średnicy 30 cm i wysokości 6 cm
oraz babkę w kształcie półkuli o promieniu 12 cm . Z obu ciast wykroiła kawałki równe
ich 1/12. Czy otrzymane w ten sposób porcje ciasta mają równe objętości?
Tort:
V=πr²*h
Babka:
V= 4/3 π r ³
V = 225 π ~ 706,5 cm ³
V= 4/3 1728 π
V~ 4239 cm ³
V~ 4/3 5425,92 cm ³
1/12 = 353,25 cm ³
V~ 7234,56 cm ³ / 2
V ~ 3617,28 cm ³
1/12 = 301,44 cm ³
Otrzymane porcje ciasta nie mają równych objętości.
ZADANIE 4
Namiot indiański (wigwam) ma kształt stożka o średnicy podstawy 8
m i wysokości o 25% krótszej od promienia. Ile metrów
sześciennych powietrza znajduje się w namiocie (wynik zaokrąglij do
0,1 m ³) ?
V = 1/3Pp * h
Pp = π r ²
Pp = 16 π
Pp = 50,24 m ²
V = 16,7 * 3
V = 50,1 m ³
W namiocie znajduje się 50,1 m ³ powietrza.
ZADANIE 5
Ile kul o promieniu 5 cm można pomalować 3 litrami farby, jeśli
wiadomo, że 1 litr tej farby wystarcza na pomalowanie 9m ²
powierzchni?
Pc= 4 π r ²
r= 5cm= 0,05 m
r2=0,25m
Pc= 4*0,25*3,14
Pc=3,14m2
Pc kuli to 3,14m2
27 / 3,14= 8,599
Trzema litrami farby można pomalować 8 kul.
Dokonywaliśmy również pomiarów brył przestrzennych
i obliczaliśmy ich pola powierzchni i objętości.
Wykonujemy doświadczenie
zmierzającego do empirycznego
wyznaczenia przybliżonej
wartości Pi.
Mierzymy średnice płyty
kompaktowej, talerza i obudowę
od wentylatora.
ALGORYTMY
Dzięki programowi „Eli” stworzyliśmy algorytm, który
obliczał pole i obwód koła.
BIBLIOGRAFIA
http://pl.wikipedia.org/wiki/Pi
http://www.math.edu.pl/liczba-pi
http://www.serwismatematyczny.pl/static/st_liczby_pi.php
http://swietopi.pl/
http://pl.wikipedia.org/wiki/Pi
http://www.racjonalista.pl/
http://www.matematyka.wroc.pl
POZDRAWIAMY !!!!!!