Transcript Bartek Graczyk i Maciek Combrzyński
Metryki
Co to jest ?
Gdzie używamy tego pojęcia?
Jakie są rodzaje ?
Jak powstają kule w metrykach ?
Spis treści: • Podstawowe pojęcia • Rodzaje metryk • Pokaz powstawania kul w różnych metrykach
Przestrzeń Euklidesowa
(łac.
Przestrzeń euklidesowa
świata rzeczywistego
geometria
: przestrzeń o geometrii euklidesowej. Są one naturalnymi elementami modeli = mierzenie ziemi) i stanowią dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych (jednak nie nadają się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach). Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest
prostą euklidesową
, zaś dwuwymiarowa –
płaszczyzną euklidesową
. Do przestrzeni euklidesowej jesteśmy przyzwyczajeni. Wykorzystujemy ją w szkole.
Kula
to : zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość r (
promień kuli
) od wybranego punktu O (
środek kuli
).
Kula
Koło
Koło
: zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej płaszczyźnie (
środka koła
) nie przekracza pewnej wartości (
promienia koła
). Jest to kula w metryce euklidesowej na płaszczyżnie.
Odległość:
Odległością
w niepustym zbiorze
X
elementów
a, b
należących do
X
nazywamy funkcję, która każdej parze przyporządkowuje taką liczbę
d(a, b)
, że :
1a) d(a, b)
jest większa lub równa 0
1b) d(a, b) = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy
a = b
(odległość wyraża się liczbą nieujemną oraz jest równa zeru tylko wtedy, gdy elementy się pokrywają)
2 ) d(a, b)
– odległość z
jest symetryczna.
a
do
b
jest taka sama jak z
b
do
a
. Mówimy, że
odleglość 3) d(a, b)
jest mniejsza lub równa
d(a, c) + d(c, b)
– to odległość z
a
większa niż suma odległości z
a
do
c
i z
c
do
b
do . Tą własność nazywamy
b nierównością trójkąta .
jest nie
Przestrzeń metryczna:
Przestrzeń metryczna
– zbiór z określonym pojęciem odległości (nazywanej
metryką
) między jego elementami.
Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę obiektów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).
Metryki w matematyce :
- metryka euklidesowa - metryka Friedmana-Lemaître'a-Robertsona-Walkera - metryka Hausdorffa - metryka Mahalanobisa - metryka miejska - metryka Minkowskiego - metryka pomiarowa - metryka probabilistyczna - metryka Schwarzschilda
Metryka Euklidesowa
Metryka Euklidesowa
"zwykła" odległość punktów na płaszczyźnie. to
Odległość:
Odległość
– wartość metryki. Potocznie rozumie się pod tą nazwą metrykę euklidesową. Kula w metryce euklidesowej
Metryka „miejska”
Metryka Manhattan
, inaczej
metryka miasto
lub
miejska
. Odległość dwóch punktów w tej metryce to suma wartości bezwzględnych różnic ich współrzędnych. Wobraźmy sobie, że z jakichś powodów możemy poruszać się jedynie w kierunkach wschód-zachód oraz północ południe. Wtedy droga, jaką będziemy przebywać z jednego punktu do drugiego, wyniesie właśnie tyle, ile mówi o niej metryka miasto.
Metryka „kolejowa”
Metryka kolejowa, centrum
– metryka na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce jest sumą euklidesowych ich odległości od punktu 0 = (0,0) lub – w przypadku, kiedy prosta łącząca te punkty przechodzi przez punkt – zwykła euklidesowa odległość.
Wyobraźmy sobie na przykład labirynt, którego korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście z jednego punktu. Wtedy, aby dojść z jednego punktu do drugiego, musimy najpierw dojść do skrzyżowania (centrum), by skręcić w odpowiedni korytarz. Nie będziemy więc pokonywać rzeczywistej odległości między tymi punktami, lecz właśnie taką, jaką dyktuje nam metryka centrum.
Kula w metryce euklidesowej P ( 6, 6 ) R = 6 2 2 P ( 6 , 6 )
Kula w metryce „miejskiej” P ( 6, 6 ) R = 6 2 2 P ( 6 , 6 )
Kula w metryce „kolejowa” Środek kuli w węźle R = 4 2
Kula w metryce „kolejowej” Środek kuli poza węzłem R = 6 1