Transcript d.sdof get bebas tanpa redaman

Sistem SDOF dengan
getaran bebas
a. TANPA REDAMAN
GETARAN BEBAS TANPA
REDAMAN
 STRUKTUR HANYA MENGALAMI GETARAN
KARENA DIRINYA SENDIRI TANPA ADA
BEBAN LUAR
 TIDAK MENGALAMI EFEK REDAMAN
Penguraian Persamaan Umum Gerak
Sistem Getaran Bebas tak teredam
 Persamaan Umum ;
m.a + k.x = F(t)
Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian :
1. Bagian Utama (Particular Solution) :
m.a + k.x
2. Bagian Pelengkap (Complementary)
F(t) = 0
Untuk penyelesaian dipilih bentuk x = E cos ft
Sehingga :
dx/dt = - fE sin ft
dx2/dt2 = - f2 E cos ft
Jika dimasukkan ke persamaan menjadi : ma+kx=0
- mf2 E cos ft + k E cos ft = K cos ft
- mf2 E + k E = K
E = K / (k - mf2)
Maka Jawab Umum x = K cos ft
K–
mf2
SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
GERAK
 Sehingga Solusi persamaan gerak yang terjadi adalah
:
x = A cos wt + B sin wt
x .= -Aw sin wt + Bw cos wt
dimana w = √ k/m (frekwensi alami)
 Pada gerak ini :
C = 0 karena tidak ada faktor peredam
F(T) = 0 karena getarnya bebas
FREKWENSI ALAMI DAN PERIODE
 Pada getaran bebas tak teredam frekwensi
yg terjadi adalah frekwensi natural (alami)
dimana :
w = √ (k/m)
f = w / 2p
 Kebalikan dari frekwensi natural adalah
Periode yg dinyatakan dalam detik/siklus
T = 1/f = 2p / w
PERPINDAHAN YANG TERJADI

Y= C sin (wt + a )
atau

Y = C cos (wt - b )
 Dimana :
C ={ yo2 + (V0/w)2}1/2
Tan a = yo/ (vo/w)
Tan b = vo/w
yo
Sistem SDOF dengan
getaran bebas
b. DENGAN REDAMAN
SISTEM GETARAN BEBAS DGN REDAMAN
PADA STRUKTUR SINGLE DOF
 Persamaan Umum ;
m.a + c.v +k.x = F(t)
Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian :
1. Bagian Utama (Particular Solution) :
m.a + c.v + k.x
2. Bagian Pelengkap (Complementary)
F(t) = 0
Untuk penyelesaian dipilih bentuk Y = C ept
Sehingga : ma + cv +kx = 0
m Cp2 ept + c Cp ept +k C ept = 0
Dgn menghilangkan faktor yang sama
akan muncul persamaan kareakteristik :
m p2 + c p + k = 0
Dan akar2 persamaan kuadratnya adalah :
p1,p2 = -c/2m + √ {(c/2m)2 – k/m}
Sehingga Solusi Umum persamaan
Gerak yang terjadi
y(t) = C1 ep1t + C2 ep2t
Dimana :
C1 dan C2 adalah konstanta integrasi
yang ditetapkan sebagai kondisi
awal.
REDAMAN YANG TERJADI
 REDAMAN SUB KRITIS
 REDAMAN KRITIS
 REDAMAN SUPERKRITIS
PENYELESAIAN PERSAMAAN
 AKAR DARI PERSAMAAN KUADRAT
p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m
Sehingga Solusi Umum untuk persamaan
tersebut adalah :
y(t) = C1ept + C2 ept
Dimana C1 dan C2 adalah konstanta integrasi
SISTEM REDAMAN
 ADA TIGA JENIS REDAMAN :
1. Sistem redaman kritis (Critical Damped
System)
2. Sistem redaman superkritis
(Overdamped System)
3. Sistem redaman subkritis
(Underdamped System)
Redaman kritis
 Terjadi jika ekspresi dibawah tanda akar
persamaan adalah = 0
( ccr/2m)2 – k/m = 0
ccr = 2 √km
 Dimana Ccr = harga redaman kritis
karena frekwensi natural sistem tak
teredam dinyatakan oleh ω = √k/m
maka koefisien redaman kritis
ccr = 2m ω = 2k / ω
Redaman Kritis
 Harga akar persamaan adalah sama yaitu p1
= p2 = - ccr /2m
 Sehingga solusi yang dapat digunakan
adalah :
y1(t) = C1 e-(ccr/2m)t dan
y2(t) = C2 t e-(ccr/2m)t
Superposisi dari keduanya :
y(t) = (C1 + C2 t) e-(ccr/2m)t
Dimana :
 m = masa beban / sistem
 k = kekakuan struktur
 Y = perpindahan yang terjadi
 Ccr = redaman kritis
 P12 = akar persamaan yang terbentuk
 C12 = konstanta yang terbentuk akibat
penyelesaian persamaan diferensial
 W = frekuensi natural
REDAMAN SUB KRITIS
 Terjadi jk nilai redaman yang terjadi lebih kecil
dari harga kritis (C<Ccr)
 Dan nilai akar persamaan kuadratnya adalah
bilangan kompleks (mengandung bilangan
imaginer)

p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m (complex value)
 Dimana persamaan euler utk menghubungkan
PD dgn pers trigonometrik adalah
eix = cos x + i sin x
e-ix = cos x – i sin x
Solusi Persamaan Gerak Redaman
Subkritis
 Dengan mensunstitusikan akar p1 dan p2 maka
y(t)= e-(c/2m)t (A cos wDt + B sin wDt)
 Dimana Frekwensi System:
atau
Dengan
wD =√ { k/m – (c/2m)2}
wD = w √(1-ξ2)
w = √ k/m ( frekwensi Natural)
ξ = c / cr ( Ratio Redaman)
Dan
c
= adalah redaman yang terjadi
(kondisi subkritis)
Persamaan Gerak dengan Syarat
Kondisi Awal
 Apabila ditentukan kondisi awal (Initial
Condition) yo dan vo (perpindahan dan
kecepatan awal)
y(t) = e-ξwt (yo cos wDt + vo+wyoξw sin wDt)
Atau y(t) = C e-ξwt cos (wDt –a)
Dimana :
C = √(yo2 + (vo+yoξw)2/wD2)
tan a = (vo+yoξw)/wDyo)
wD adalah frekwensi sistem dengan redaman
Periode Redaman Getaran
 Amplitudo getaran tidak konstan tapi berkurang
dengan interval yang sama yang disebut periode
getaran

TD = 2p / wD = w √(1-ξ2)
 Harga koefisien redaman untuk struktur
lebih kecil sekitar 2 sampai 20% dari
redaman kritis atau
 Nilai ξ = 0,2 dan wD = 0,98 w
PENGURANGAN LOGARITMIS
 Pengurangan Logaritmis Merupakan Ratio
antara dua puncak amplitudo yang
berturutan dari suatu getaran bebas

d = ln y1/y2
 Sehingga untuk y(t) = C e-ξwt cos (wDt –a)
dan y1 = C e-ξwt1
y2 = C e-ξwt(t1+Td)
Maka
d = ln y1/y2 = ξwtD
atau
d = 2pξ / √ (1- ξ2)
utk ξ yg sangat kecil maka d = 2pξ
REDAMAN SUPERKRITIS
 Koefisien redaman yang terjadi lebih besar
dari redaman kritis
c > ccr
Sehingga nilai akar persamaan ( P1,2) bernilai real
dan berbeda
Maka perpindahan yang terjadi adalah
y(t) = C1 e p1t + C2 e p2t
CONTOH
 Sebuah Struktur memiliki W = 10 N,
kekakuan 20 N/m, dua amplitudo berturutan
y1=1,0 dan y2=0,85
 Hitung
a. Frekwensi Natural
b. Pengurangan Logaritmis
c. Ratio Redaman
d. Koefisien Redaman
e. Frekwensi teredam
Penyelesaian (Satuan Menyesuaikan)
 Frekwensi Natural
W = 10 N, kekakuan 20 N/m
w = √ (k/m) = √ 20x10 /10
ccr = 2 √km
d = 2p
 Pengurangan Logaritmis
d = 2pξ
d = ln y1/y2 = y1= ln (1,0/0,85)
y1=1,0 dan y2=0,85
 d = ln y1/y2
 Ratio Redaman
ξ = c / cr
d = 2pξ shg ξ = d /2p
 Koefisien Redaman
ccr = 2 √km dan ξ = C/Ccr shg C = ξ xCcr
 Frekwensi Teredam
wD = w √(1-ξ2)