e. sdof get bebas dgn redaman
Download
Report
Transcript e. sdof get bebas dgn redaman
STRUKTUR SINGLE
DEGREE OF FREDOM
DENGAN GETARAN
BEBAS DAN EFEK
REDAMAN
EQUATION OF MOTION
DIFERENTIAL
EQUATION OF MOTION
..
.
my + cy + ky = 0
dimana :
m = massa struktur
c = faktor redaman
y = perpindahan
.. .
y, y = kecepatan dan percepatan
sebagai turunan pertama dan kedua
dari perpindahan
TRIAL SOLUTION
Dicoba fungsi yang dapat
memenuhi persaman tersebut
yaitu fungsi eksponensial : y = C
ept
Dengan memasukkan kedalam
pers. Sebelumnya didapat
m Cp2 ept + c Cp ept + k C ept = 0
Karakteristik Equation : ( Same faktor
= C ept)
mp2 + cp + k = 0
PENYELESAIAN PERSAMAAN
AKAR DARI PERSAMAAN KUADRAT
p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m
Sehingga Solusi Umum untuk
persamaan tersebut adalah :
y(t) = C1ept + C2 ept
Dimana C1 dan C2 adalah
konstanta integrasi
SISTEM REDAMAN
1.
2.
3.
ADA TIGA JENIS REDAMAN :
Sistem redaman kritis (Critical
Damped System)
Sistem redaman superkritis
(Overdamped System)
Sistem redaman subkritis
(Underdamped System)
Redaman kritis
Terjadi jika ekspresi dibawah tanda
akar persamaan adalah = 0
( ccr/2m)2 – k/m = 0
ccr = 2 √km
Dimana Ccr = harga redaman kritis
karena frekwensi natural sistem tak
teredam dinyatakan oleh ω = √k/m
maka koefisien redaman kritis
ccr = 2m ω = 2k / ω
Redaman Kritis
Harga akar persamaan adalah sama
yaitu p1 = p2 = - ccr /2m
Sehingga solusi yang dapat
digunakan adalah :
y1(t) = C1 e-(ccr/2m)t dan
y2(t) = C2 t e-(ccr/2m)t
Superposisi dari keduanya :
y(t) = (C1 + C2 t) e-(ccr/2m)t
REDAMAN SUPERKRITIS
(overdamped system)
Terjadi jika c > ccr
Dan ekspresi dibawah tanda akar
adalah bernilai positif. Sehingga
nilai p1 dan p2 nya adalah bernilai
real dan berlainan
Sehingga solusi persamaanya
adalah y(t) = C1 ep1t + C2 ep2t
REDAMAN SUB KRITIS (underdamped
system)
Terjadi jika c < ccr
Karena ekpresi dibawah tanda akar
bernilai negatif sehingga nilai p1
dan p2 akan bernilai imaginer
Untuk penyelesaian persamaan
digunakan persamaan euler yang
menghubungkan fungsi
eksponensial dengan trigonometrik.
Fungsi Trigonometri
Substitusi untuk solusi persamaan :
eix = cos x + i sin x
e–ix = cos x – i sin x
Sehingga solusi umumnya menjadi
y(t) = e-(c/2m)t (A cos wDt +B sin wDt)
A dan B adalah konstanta integrasi
wD adalah frekwensi redaman sistem
FREKWENSI TEREDAM
Nilai Frekwensi Teredam dinyatakan
oleh :
wD = √ (k/m – (c/2m)2)
Atau dapat diekspresikan dalam w dan ξ
wD = w √ (1- ξ2)
Dimana telah diketahui bahwa
ξ = C/Ccr
w = √ k/m
PERPINDAHAN
Solusi Umum Untuk Perpindahan yang
terjadi pada sistem getaran bebas teredam
y(t)= e-(c/2m)t (A cos wDt+Bsin wDt)
Dimana Frekwensi System:
wD =√ { k/m – (c/2m)2}
atau
wD = w √(1-ξ2)
Dengan w = √ k/m ( frekwensi Natural)
ξ = c / cr ( Ratio Redaman)
Dan
c
= adalah redaman yang terjadi
(kondisi subkritis)
Persamaan Gerak dengan Syarat
Kondisi Awal
Apabila ditentukan kondisi awal (Initial Condition) yo dan vo
(perpindahan dan kecepatan awal)
y(t) = e-ξwt (yo cos wDt + vo+wyoξw sin wDt)
Atau y(t) = C e-ξwt cos (wDt –a)
Dimana :
C = √(yo2 + (vo+yoξw)2/wD2)
tan a = (vo+yoξw)/wDyo)
wD adalah frekwensi sistem dengan redaman Apabila
ditentukan kondisi awal (Initial Condition) yo dan vo
(perpindahan dan kecepatan awal)
y(t) = e-ξwt (yo cos wDt + vo+wyoξw sin wDt)
Atau y(t) = C e-ξwt cos (wDt –a)
Dimana :
C = √(yo2 + (vo+yoξw)2/wD2)
tan a = (vo+yoξw)/wDyo)
wD adalah frekwensi sistem dengan redaman
Tugas