Transcript t - PowerFolder
Υλικό Φυσικής-Χηµείας
Κοιτάζοντας το παράθυρο, παρατηρούμε τα κύματα.
Κύµατα
Κατά µήκος ενός γραµµικού ελαστικού µέσου διαδίδο νται µε ταχύτητα υ=1m/s δύο κύµατα και τη στιγµή +
O B
t 0 =0, φτάνουν στα σηµεία Ο και Κ, στα άκρα ενός πα ραθύρου, µε (ΟΚ)=4m, το οποίο αποτελεί την περιοχή παρατήρησής µας. Το πλάτος κάθε κύµατος είναι Α=0,6m και το µήκος κύµατος λ=2m.
K
i) Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος, για κάθε κύµα, θεωρώντας τη θέση του σηµείου Ο, ως αρχή του άξονα (x=0) και θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση. ii) Μια σηµειακή µάζα dm=10 -7 kg, βρίσκεται στο σηµείο Β, µε x Β =1m. Να βρεθούν η κινητική της ενέρ γεια και η συνισταµένη δύναµη που δέχεται τις χρονικές στιγµές: α) t 1 =1,25s και β) t 2 =3,6s. iii) Να σχεδιάσετε τη µορφή του ελαστικού µέσου στο παραπάνω παράθυρο τη στιγµή t 3 =5s.
Απάντηση
: i) Τα δυο κύµατα διαδίδονται στο ίδιο µέσον, οπότε έχουν την ίδια ταχύτητα διάδοσης και συνεπώς έχουν και την ίδια περίοδο
υ=λ·f
→
T
=
1 f
= λ υ =
2 1 s
=
2 s
. Εξάλλου το πρώτο κύµα (που διαδίδεται προς τα δεξιά) φτάνει στη θέση x=0, όπου το σηµείο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται προς τα πάνω (θετική κατεύθυν ση), οπότε η εξίσωση της αποµάκρυνσή του ικανοποιεί την εξίσωση:
y O
=
A
⋅ ηµω
t
=
0,6
⋅ ηµ (µονάδες στο S.Ι.) Οπότε η εξίσωση του κύµατος παίρνει τη µορφή:
y 1
=
A
⋅ ηµ
2
π
t 2 x 2
(µονάδες στο S.Ι.) µε t≥0 και x≤υt Πάµε τώρα στο 2 ο κύµα που διαδίδεται προς τα αριστερά. Το σηµείο Κ στη θέση x Κ =4m αρχίζει να τα λαντώνεται προς την αρνητική κατεύθυνση, οπότε η αποµάκρυνσή του δίνεται από την εξίσωση:
y
Κ =
A
⋅ ηµ ( ω
t
+
π
) =
0,6
⋅ ηµ ( π
t
+
π
) (µονάδες στο S.Ι.) Αλλά τότε το κύµα θα φτάσει σε ένα τυχαίο σηµείο Σ, στη θέση x, µετά από χρόνο
t 1
=
d
υ =
4
−
x
και η εξίσωση της αποµάκρυνσής του θα είναι:
1 y 2
=
A
⋅ ηµ ( ω (
t t 1
) +
π
) =
0,6
⋅ ηµ ( π (
t
−
( 4
−
x
) +
π
) →
0
Σ
x K 4 y 2
=
0 , 6
⋅ ηµ
2
π
t 2
+
x 2
−
3 2
(µονάδες στο S.Ι.) µε t ≥ 0 και x ≥ 4-t ii) Το κύµα προς τα δεξιά φτάνει στο σηµείο Β, τη στιγµή
t 1, B
= υ
x
=
1 1 s
=
1 s
ενώ το κύµα προς τ’ αριστερά τη στιγµή
t 2, B
=
4
−
x
υ =
4
−
1 s 1
=
3 s
. Αλλά τότε τη στιγµή t 1 το σηµείο Β ταλαντώνεται µόνο εξαιτίας
www.ylikonet.gr
1
Υλικό Φυσικής-Χηµείας
του πρώτου κύµατος και η εξίσωση της αποµάκρυνσής του είναι:
y 1
=
0 , 6
⋅ ηµ
2
π
t 2 x 2
=
0 , 6
⋅ ηµ
2
π
t 2 1 2
=
0 , 6
α) Τη στιγµή t 1 οι εξισώσεις για ταχύτητα και επιτάχυνση θα είναι: ⋅ ηµ ( π
t
− π ) (S.Ι.) υ
1
= ω Α ⋅ συν
2
π
t 2 x 2
=
0 , 6
π ⋅ ηµ
2
π
t 2 1 2
=
0 , 6
π ⋅ συν ( π
t
− π ) και
Κύµατα a 1
= − ω
2 A
⋅ ηµ
2
π
t 2 x 2
= −
0 , 6
⋅ π
2
⋅ ηµ ( π
t
− π ) ≈ −
6
⋅ ηµ ( π
t
− π ) Με αντικατάσταση t 1 =1,25s παίρνουµε: υ
1
=
0 , 6
π ⋅ συν (
1 , 25
π − π ) =
0 , 6
π ⋅ συν π
4
=
0 , 3
π
a 1
= −
6
⋅ ηµ π
4
= −
3 2 m / s 2 2 m / s
και Οπότε για την σηµειακή µάζα: Κ
1
Σ
F
= =
1 2 dm
⋅ υ
1 2 dm
⋅
a 1
= =
1 2 10
−
7 10
−
7
⋅ ( −
3
⋅ (
0 , 3
π
2
)
m / 2
)
2 s 2 J
= = −
3 9
⋅
10
−
8 J 2
⋅
10
−
7
και
N
Όπου το (-) σηµαίνει ότι έχει φορά προς τα κάτω. β) τη στιγµή t 2 το σηµείο Β ταλαντώνεται εξαιτίας και των δύο κυµάτων (t 2 >t 2,Β ), οπότε από την αρχή της επαλληλίας για τη συµβολή των δύο κυµάτων παίρνουµε:
y
=
y 1
+
y 2
=
0 , 6
⋅ ηµ
2
π
t 2 x 2
+
0 , 6
⋅ ηµ
2
π
t 2
+
x 2
−
3 2
→
y
=
2
⋅
0 , 6
⋅ συν
2
π
t 2
−
x 2
−
t 2 2
−
x 2
+
3 2
⋅ ηµ
2
π
t 2
−
x 2
+
t 2 2
+
x 2
−
3 2
→
y
=
1 , 2
⋅ συν
2
π
3 x
⋅ ηµ
2
π
4 2 y
=
1 , 2
⋅ ( − ηµπ
x t 2 3 4
=
1 , 2
⋅ συν
3
π − π
x 2
⋅ ηµ συνπ
t
) = −
1 , 2
⋅ ηµπ
x
⋅ συνπ
t
(1) π Θέτοντας στην (1) x=1m παίρνουµε:
y
= −
1 , 2
⋅ ηµπ ⋅ συνπ
t
=
0 3
π
2
→ Το σηµείο Β δηλαδή δεν ταλαντώνεται µετά τη συµβολή των δύο κυµάτων συνεπώς και τη στιγµή t 2 , θα έχουµε για τη σηµειακή µάζα Κ 2 =0 και ΣF=0! iii) Τη στιγµή t 3 =5s, σε όλο το «παράθυρο» έχουµε συµβολή των δύο κυµάτων, αφού η περιοχή «καλύπτε ται» σε χρονικό διάστηµα ∆
t
=
(OK) υ
=
4 s
. Έτσι µε αντικατάσταση στην (1) t=t 3 παίρνουµε:
www.ylikonet.gr
2
Υλικό Φυσικής-Χηµείας y
= −
1 , 2
⋅ ηµπ
x
⋅ συνπ
t
= −
1 , 2
⋅ ηµπ
x
⋅ συν
( 5
π
)
=
1 , 2
⋅ ηµπ
x
Με γραφική παράσταση, όπως στο σχήµα:
y 1 , 2 ( m ) Κύµατα 0 , 0 1 2 3 4 x ( m )
−
1 , 2
Σχόλιο:
Σε όλη την παραπάνω αποδεικτική πορεία αντιµετωπίσαµε το πρόβληµα, σαν ένα πρόβληµα συµβολής. Με όρους «στάσιµου κύµατος», θα µιλάγαµε για δεσµούς στις θέσεις x=0, 1, 2, 3 και 4m, οπότε προφανώς το σηµείο Β είναι σε θέση δεσµού και παραµένει ακίνητο…
www.ylikonet.gr
3