Transcript Απάντηση - Υλικό Φυσικής

Υλικό Φυσικής-Χηµείας
Ταλαντώσεις
Δυο σώματα αφήνονται να κινηθούν.
∆υο σώµατα Σ1 και Σ2, ίδιας µάζας m=2kg, συ-
Σ2
Σ1
γκρατιόνται σε λείο κεκλιµένο επίπεδο απέχοντας
κατά D=1,5m από την κορυφή του Ο. Το Σ1 είναι
δεµένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς
O
ϑ
ϑ
O
k=20Ν/m µε φυσικό µήκος l0=1,2m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε στήριγµα στη βάση του επιπέδου,
όπως στο σχήµα. Σε µια στιγµή (t0=0) αφήνουµε ταυτόχρονα τα σώµατα να κινηθούν.
i) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση κάθε σώµατος.
ii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σωµάτων, τη στιγµή t1 που αποκτούν ίσες επιταχύνσεις για πρώτη
φορά.
iii) Πόσο απέχει κάθε σώµα από την κορυφή Ο του επιπέδου τη στιγµή t2 που µηδενίζεται για πρώτη φορά
η ταχύτητα του σώµατος Σ1;
iv) Να παρασταθεί γραφικά η ταχύτητα κάθε σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο, µέχρι τη στιγµή t2, στο
ίδιο διάγραµµα.
Το κεκλιµένο επίπεδο έχει κλίση θ, µε ηµθ=0,3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2 και π2≈10.
Απάντηση:
i) Στο διπλανό σχήµα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάµεις που ασκούνται στο
D
σώµα Σ1 (οι ίδιες δυνάµεις, εκτός της δύναµης του ελατηρίου ασκούνται και στο σώµα Σ2). Στην αρχική θέση το ελατήριο έχει επιµηκυνθεί κατά ∆l = D - l 0 = 1,5m − 1,2m = 0,3m , συνεπώς η δύνα-
r
N
∆lr
Fελ
r
wx
O
ϑ
ϑ
r
wy
r
w
µη του ελατηρίου, µε φορά προς τα κάτω έχει µέτρο:
Fελ = k ⋅ ∆l = 20 ⋅ 0,3N = 6 N .
Από το 2ο νόµο του Νεύτωνα παίρνουµε:
Για το Σ1: ΣFx1=mα1 → a1 =
mgηµθ + Fελ
F
6

= gηµθ + ελ = 10 ⋅ 0,3 + m / s 2 = 6m / s 2 .
m
m 
2
Για το Σ2: ΣFx2=mα2 → a 2 =
mgηµθ
= gηµθ = 3m / s 2 .
m
ii) Το σώµα Σ2 κινείται µε σταθερή επιτάχυνση α2 εκτελώντας ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση.
Αντίθετα το σώµα Σ1 έχει µεταβλητή επιτάχυνση, αφού µεταβάλλεται η
l0
δύναµη του ελατηρίου. Έτσι στη θέση που το ελατήριο αποκτά το φυσικό
r
wx
του µήκος, το Σ1 θα έχει την ίδια επιτάχυνση µε το Σ2.
Ναι αλλά τι κίνηση εκτελεί το σώµα Σ1; Προφανώς η κίνηση είναι ΑΑΤ,
αλλά δεν αφήνεται να εννοηθεί από την εκφώνηση, συνεπώς θα χρειαστεί
απόδειξη… Πάµε µε βάση το διπλανό σχήµα:
Θ.Ι.
∆l 1
r
Fελ
x
r
wx
r
Fελ′
T .Θ.
Παίρνουµε το σώµα Σ1 στη θέση ισορροπίας του, όπου:
www.ylikonet.gr
1
Υλικό Φυσικής-Χηµείας
Ταλαντώσεις
ΣFx=0 ή wx=k·∆ l 1 (1)
Στην τυχαία θέση έχουµε:
r
(1)
ΣFx = − kx
ΣFx=wx- Fελ′ = wx − k (∆l 1 + x ) →
Οπότε το σώµα Σ1 εκτελεί ΑΑΤ και θα αποκτήσει επιτάχυνση α2=α1 όταν βρεθεί σε απόσταση 0,9m από
την κορυφή του επιπέδου και ισοδύναµα σε αποµάκρυνση µέτρου:
x1 = ∆l 1 =
wx mgηµθ 2 ⋅10 ⋅ 0,3
=
=
m = 0,3m
k
k
20
Θετική ή αρνητική η αποµάκρυνση αυτή; Αυτό είναι δική µας επιλογή!!!. Έστω λοιπόν ότι ορίζουµε ως
θετική φορά, την φορά κίνησης προς τα κάτω. Τότε το Σ1 ξεκινά την ταλάντωσή του από την ακραία
αρνητική θέση του σε αποµάκρυνση x=-Α= (∆l + ∆l 1 ) = 0,6m και η εξίσωση της αποµάκρυνσής του
θα είναι: x=Α·ηµ(ωt+φ0), όπου µε αντικατάσταση t=0 και x=-0,6m παίρνουµε:
-0,6=0,6·ηµφ0 → ηµφ0 =-1 ή ϕ 0 =
Ενώ ω =
3π
2
k
20
=
rad / s = 10rad / s ≈ π rad/s .
m
2
Αλλά τότε η παραπάνω εξίσωση παίρνει τη µορφή:
3π 

x = 0,6 ⋅ηµ  πt +
 (S.Ι.)
2 

Με αντικατάσταση x1=-0,3m (θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου) βρίσκουµε:
3π 
3π 
1


− 0,3 = 0,6 ⋅ηµ  πt1 +
 → ηµ  πt1 +
=− →
2 
2 
2


πt1 +
3π
π
5
=1
= 2kπ + π + k→
t1 = s
2
6
3
πt1 +
3π
π
1
=1
= 2kπ − k→
t1 = s
2
6
3
Προφανώς για πρώτη φορά θα έχουµε t1 = 1 s , οπότε για τις ταχύτητες έχουµε:
3


Για το Σ1: υ1 = Aω ⋅ συν  πt1 +
3π 
 1 3π 
 = 0,6π ⋅ συν  π +

2 
 3 2 
π 
υ1 = 0,6π ⋅ηµ   ≈ 1,6m / s
3
1
3
Για το Σ2: υ 2 = a 2 ⋅ t1 = 3 ⋅ m / s = 1m / s.
iii) Η ταχύτητα του Σ1 µηδενίζεται για πρώτη φορά τη στιγµή t 2 =
1
1
m
2
T = 2π
=π
s ≈ 1s , αφού το
2
2
k
20
σώµα βρίσκεται στην ακραία κάτω θέση του σε αποµάκρυνση x2=0,6m έχοντας συσπειρώσει το ελατήριο
www.ylikonet.gr
2
Υλικό Φυσικής-Χηµείας
Ταλαντώσεις
κατά ∆l 2 = ∆l 1 + A = 0,3m + 0,6m = 0,9m , το οποίο έχει πια µήκος 0,3m, όση και η απόσταση του Σ1
από την κορυφή Ο του επιπέδου.
Εξάλλου το Σ2 έχει µετατοπισθεί κατά:
∆x2=
1 2 1
a2t 2 = 3 ⋅12 m = 1,5m
2
2
Οπότε έχει φτάσει στην βάση του κεκλιµένου επιπέδου!
iv) Με βάση τα προηγούµενα η ταχύτητα του Σ1 δίνεται από την εξίσωση:


υ1 = Aω ⋅ συν  πt +
3π 
 = 0,6π ⋅ηµ (πt ) (S.Ι.)
2 
Και η γραφική της παράσταση είναι η κόκκινη γραµµή στο διάγραµµα. Αντίθετα η ταχύτητα του Σ2 δίνεται από την εξίσωση:
υ 2 = a 2t = 3t (S.Ι.)
Και η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία µε γαλάζιο χρώµα.
υ m/s
3
0,6π
0,0
0,5
1 t (s )
[email protected]
www.ylikonet.gr
3