Transcript Typer af vækst

Tegning af en grafen
1) Hvis der skal tegnes i hånden:
Lav et sildeben
n
1
2
3
4
8
12
18
25
Kn
og sæt punkterne ind i et passende koordinatsystem. Brug her
x-aksen til at vise n og y-aksen til at vise Kn.
2) Hvis der skal tegnes på computeren:
Sæt formlen ind i Geogebra.
Tegning af grafen
Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man
følgende udregning; her ser vi samlet på, hvad der sker med
100 kr i en bank, der tilskriver 10 %, hhv. 20 % i rente pr.
år.:
Jo større procentvis tilskrivning –
desto stejlere ”linie”!
Vækst
To typer
1. Stiger med det samme tal hvert år.
Eks. Indeståendet på min bankkonto
stiger med 125 kr. om året
2. Stiger med samme procentsats hvert år
Eks. Indeståendet på min bankkonto
stiger med 2,65 % om året
Hvad forstås ved vækst?
Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt
(procentuelt):
I absolutte tal
Relativt/procentuelt
Indeståendet på min bankkonto
stiger med 125 kr om året
Indeståendet på min bankkonto
stiger med 2,65 % om året
Antal harer på Olsens mark
stiger med 40 dyr årligt
Antal harer på Olsens mark
stiger med 6,4 % årligt
Prisen på havregryn stiger 1 kr.
årligt
Prisen på havregryn stiger 2 %
årligt
Trafikken mellem Køge og Borup Trafikken mellem Køge og Borup
stiger med 1500 biler månedligt stiger med 7,5 % månedligt
Indbyggertallet på Tunø falder
med 50 personer årligt
Indbyggertallet på Tunø falder
med 6 % årligt
Hvad forstås ved vækst?
Skal man afbilde en vækst i absolutte tal grafisk i
et koordinatsystem, bliver der tale om en ret linie
(enheden på x-aksen er tid, f.eks. årstal)
Y=ax+b
Tid
Hvad forstås ved vækst?
Skal man afbilde en vækst i procenter grafisk i et
koordinatsystem, bliver der derimod tale om en
eksponentialfunktion (enheden på x-aksen er igen tid)
Kn = K * (1 + r)n
Tid
Hvad forstås ved vækst?
Kendetegnende ved vækst i absolutte værdier er, at tilvæksten er
den samme for hver periode. Der lægges hele tiden det samme til!
Ved vækst i procenter bliver tilvæksten større og større, desto
længere tid der går. Dette skyldes begrebet ”rentes rente” – der
tages hele tiden procenten af et større tal.
Vækst i procenter
(eksponentiel vækst)
Vækst i absolutte værdier
(lineær vækst)
Tid
Opgave 5
Du vil gerne åbne en bankkonto, hvor du kan indsætte dine 30.000 kr.
Århus bankens tilbud:
Du får 50 kr. hvert år, for at have en konto i deres bank.
f(x) = ax+b
Sparekassen Esbjergs tilbud:
Har en rente på 0,5 % p.a.
Kn = K0 • (1 + r) n
Hvilken bank bør du vælge?
- tegn de to funktioner
-
Potens, rod og eksponent
3
2
Potens
Potens + eksponent
3
2
Eksponent
Potens + eksponent
Rod
3
2
Potens > < kvadratrod
2
X
potens
Modsætningen til potens > < er kvadratroden:
X2
> < 2√
=√
X3
><
∛
(3.
X4
><
∜
(4. potens > < den 4. rod)
Xn
><
n√
(n. potens > < den n’de rod)
(2. potens > < kvadratroden)
potens > < kubikroden)
x
a
Eksponenten
Eksponent: ax
Der vil være et tal sat ind på a’s plads. Du skal nu finde x (eksponenten).
To skrive måder:
Modsætningen til ax > < log (ax )
Log(ax) = x• log (a)
2x > < log(2x)
3x > < log(3x)
log(2x) = x• log (2)
log(3x) = x• log (3)
22 > < log(22)
log(22) = 2• log (2)
32 > < log(32)
log(32) = 2• log (3)
34 > < log(34)
log(34) = 4 • log (3)
Isolering
• Isolering af k0
• Isolering af r
• Isolering af n
Negativ vækst…
På samme måde som vi kan arbejde med positiv vækst, kan
man også arbejde med negativ vækst ved hjælp af
vækstformlen – med en lille ændring, nemlig at
væksten/”renten” nu ikke skal lægges til, men trækkes fra
for hver måned.
Negativ vækst
Ved absolutte tal (samme mængde) fald:
Y = ax+b
Hvor a er et negativt tal
Ved procentmæssigt fald:
Kn = K0·(1-r)
n
Negativ vækst…
Hermed er vækstformlen for negativ vækst:
Kn = K0·(1-r)
n
- hvor:
K0 = startværdien
Kn = værdien efter n år (eller perioder)
r = procentsatsen, der afskrives pr. år (eller periode) i
decimaltal
n = antallet af år (eller perioder), der går
Negativ vækst…
Eksempel:
En mindre sydhavsø har 7.472
indbyggere, men hvert år
udvandrer 3,7 % af folkene på
øen.
Hvor mange indbyggere vil der
være på øen om 12 år?
K0 = 7.472
r = 3,7 % årligt
N = 12
Kn = K0·(1-r/100)n
Kn = K0·(1-r/100)n
Kn = 7.472·(1-3,7/100)12
Kn = 7.472·(1-0,037)12
Kn = 7.472·0,96312
Kn = 7.472·0,6361
Kn = 4.753
Der vil være 4.753 indbyggere på øen om 12 år