Transcript Matematica per l`Economia Gruppo L-Z Dipartimento di

Matematica per l’Economia
Gruppo L-Z
Dipartimento di Economia
Universitá degli Studi di Bari
Autovalori e Autovettori
Giovanni Villani
Spazio Vettoriale
Definizione 1 Si definisce vettore formato da
n componenti una n-upla ordinata di numeri
reali.
Definizione 2 Siano x = [x1, x2, · · · xn] e y =
[y1, y2, · · · yn] due vettori di dimensione n e sia
S un insieme non vuoto in cui sono definiti le
operazioni di somma tra vettore:
(x, y) ∈ S × S → x + y ∈ S
e di prodotto tra uno scalare e un vettore:
(ax) ∈ K × S → ax ∈ S
Gli elementi di S sono definiti vettori mentre gli
elementi di K sono definiti scalari. L’insieme
S delle n-uple di numeri reali, per le quali sono
definite le operazioni di somma e di prodotto
per uno scalare costutuisce uno spazio vettoriale n dimensionale su K.
1
Se K = R allora la coppia (R, S) si definisce
spazio vettoriale reale.
Operazioni tra vettori
Siano x e y due vettori di Rn .
somma tra vettori:
Si definisce
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · xn + yn)
Si definisce prodotto di un vettore x per uno
scalare α ∈ R:
αx = (αx1, αx2, · · · αxn)
Si definisce prodotto scalare tra vettori:
< x · y >= x1y1 + x2y2 + · · · xnyn
Due vettori si dicono ortogonali se < x · y >= 0
Si definisce norma di un vettore:
q
√
2
2
||x|| = < x · x > = x2
1 + x2 + · · · xn
Si definisce distanza tra vettori:
||x−y|| =
q
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · · (xn − yn)2
Definizione di Autovalore e Autovettore
Definizione 3 Sia A una matrice quadrata di
ordine n e siano λ ∈ R uno scalare reale e
x 6= 0 un vettore non nullo. Diremo che λ è
un autovalore di A e x un autovettore di A
associato all’autovalore λ se:
Ax = λx
Teorema 1 Condizione necessaria e sufficiente affinchè λ si un autovalore di A è che si
verifichi la seguente condizione:
det(λI − A) = 0
Dimostrazione
Teorema 2 Data una matrice diagonale D o
una matrice Triangolare T , gli elementi della
diagonale sono autovalori di D e di T .
Equazione Caratteristica
Dalla condizione det(λI − A) = 0 si ottiene
un’equazione di grado n, pari all’ordine della
matrice A, che viene definita come equazione
caratteristica:
λn + c1λn−1 + c2λn−2 + · · · cn = 0
dove le n soluzioni sono λ1, λ2, · · · λn e:
• det(A) = λ1 · λ2 · λn ;
• traccia(A) = λ1 + λ2 + · · · λn.
Caso n = 2
!
a11 − λ
a12
=
a21
a22 − λ
λ2 − λ(a11 + a22) + (a11 · a22 − a12 · a21) = 0
det
che può essere riscritta come:
λ2 − λ · traccia(A) + det(A)
Proprietà degli Autovalori
• A e AT hanno gli stessi autovalori;
• Se A è una matrice non singolare con λ
autovalore, allora λ−1 è autovalore di A−1;
• λp è un autovalore di Ap con p ∈ N;
• λ = 0 è un autovalore di A se e solo se
det(A) = 0
Teorema 3 Due matrici quadrate A e B di ordine n si definiscono simili se hanno gli stessi
autovalori. Quindi:
A ∼ B ⇐⇒ B = S −1AS
dove S è una matrice quadrata non singolare
Dimostrare...forse
Vettori Indipendenti
Definizione 4 Supponiamo di avere m vettori
x1, x2, x3, · · · xm di dimensione n. Tali vettori si
definiscono linearmente indipendenti (l.i.) se e
solo se:
m
X
i=1
cixi = 0 ⇐⇒ c1 = c2 = · · · = cm = 0
dove c1, c2, · · · cm sono scalari reali.
Mentre si dicono linearmente dipendenti (l.d.)
se esistono m scalari c1, c2, · · · cm non tutti nulli
tale che:
m
X
cixi = 0
i=1
Proposizione 1 Siano x1, x2, x3, · · · xm m vettori di dimensione n. Essi saranno linearmente
indipendenti se la caratteristica della matrice
dei coefficienti è pari ad m, ossia:
car(Ac) = m
Teorema 4 Data una matrice quadrata di ordine n, gli autovettori associati ad autovalori
distinti sono linearmente indipendenti.
Diagonalizzazione di una Matrice quadrata
Teorema 5 Sia A una matrice quadrata. A è
diagonalizzabile se e solo se ammette n autovettori linearmente indipendenti, ossia se ammette n autovalori distinti.
A di può ridurre in forma diagonale se esistono una matrice P non singolare e una matrice
diagonale D tale che:
A = P −1DP
Allora A e D sono simili ad avranno gli stessi
autovalori.
Forme Quadratiche
Definizione 5 Sia A una matrice simmetrica
e sia x un vettore di dimensione n. Si definisce
forma quadratica:
Q(x) = xT Ax
Una forma quadratica si dice:
•
definita positiva se Q(x) > 0 ∀ x 6= 0 e
quindi Q(x) = 0 solo per x = 0
•
definita negativa se Q(x) < 0 ∀ x 6= 0 e
quindi Q(x) = 0 solo per x = 0
•
semidefinita positiva se Q(x) ≥ 0 ∀ x ed
esiste un x 6= 0 t.c. Q(x) = 0
•
semidefinita negativa se Q(x) ≤ 0 ∀ x ed
esiste un x 6= 0 t.c. Q(x) = 0
•
negli altri casi Q(x) è indefinita.
Il segno degli autovalori della matrice A ci permette di stabilire il segno della forma quadratica:
•
Q(x) è definita positiva ⇔ λi > 0 ∀ i =
1 · · · n;
•
Q(x) è definita negativa ⇔ λi < 0 ∀ i =
1 · · · n;
•
Q(x) è semidefinita positiva ⇔ λi ≥ 0 ∀ i =
1 · · · n;
•
Q(x) è semidefinita negativa ⇔ λi ≤ 0 ∀ i =
1 · · · n;
•
Q(x) è indefinita ⇔ gli autovalori sono sia
positiva che negativi.
Osservazione 1 La matrice Hessiana è una
matrice simmetrica. Viene introdotto nell’ambito della massimazzione di una funzione di n
variabili. Determinare se è definita positiva o
negativa si può ricorrere agli autovalori.
Possiamo affermare che:
x = 0 è di minimo globale se Q(x) è definita
positiva;
x = 0 è di massimo globale se Q(x) è definita
negativa;
x = 0 è di un punto di sella se Q(x) è indefinita.