Transcript Controlli Automatici / Fondamenti di Automatica 6 crediti

Esame di “FONDAMENTI DI AUTOMATICA” (6 crediti) /
“CONTROLLI AUTOMATICI”
Prova scritta – 1 giugno 2016
SOLUZIONE
ESERCIZIO 1.
Per il sistema del tipo
con:
Si calcolino gli autovalori della parte raggiungibile-controllabile.
RISPOSTA:
La matrice di raggiungibilità del sistema considerato è:
che risulta essere di rango 3, cioè pieno. Pertanto, il sistema è completamente
raggiungibile e gli autovalori da determinare sono tutti quelli della matrice A. Il polinomio
caratteristico di tale matrice risulta:
I cui autovalori sono pertanto:
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ESERCIZIO 2.
Dato il sistema:
con
Si progetti un osservatore identità
che abbia il
massimo numero di autovalori in -4.
RISPOSTA:
La matrice dinamica dell’osservatore risulta:
Nella quale si può notare una struttura triangolare a blocchi, tale per cui l’unica sottomatrice i cui autovalori sono modificabili per progetto è la 2x2 evidenziata in verde.
Uguagliando i coefficienti del polinomio caratteristico di tale matrice con quelli di un
polinomio di secondo grado avente radici in -4, si ottiene:
e quindi:
K = [ arb.
arb.
-54/5
-11
arb.]T
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ESERCIZIO 3.
Per il sistema:
con
si determini la funzione di risposta impulsiva.
RISPOSTA:
L’esponenziale della matrice A risulta:
Pertanto la risposta impulsiva risulta:
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ESERCIZIO 4.
Dato lo schema a blocchi della seguente figura:
determinare l’intervallo dei valori di K per i quali il sistema complessivo risulti
asintoticamente stabile
RISPOSTA:
Il denominatore del sistema ad anello chiuso, ottenuto risolvendo la retroazione tra il
blocco dipendente da K e il parallelo di 2/(s+1) con un ramo unitario negativo, risulta:
s3 + 4 s2 + (3 - 2 K) s + 2 K
Applicando a quest’ultimo il criterio di Routh si ottiene la condizione:
0 < K < 1,2
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ESERCIZIO 5.
Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi:
Si calcolino i valori di
assestamento Ta
Ke
tali per cui il sistema ad anello chiuso risulti avere tempo di
= 2 secondi e pulsazione naturale
= 1,2 rad/s.
RISPOSTA:
Il denominatore del sistema ad anello chiuso risulta essere del secondo grado, ma con
coefficiente del termine di grado massimo diverso dall’unità. Per poterlo confrontare con il
tipico denominatore di un sistema del secondo ordine è quindi necessario normalizzare
tale coefficiente, ottenendo:
Uguagliando i coefficienti di grado 1, considerando che:
Ta = 3 / ( δ ωn ) = 2 Î δ ωn = 3
si ottiene:
= 2/5
Imponendo inoltre il vincolo sulla pulsazione naturale si ottiene:
ωn = 1,2 Î ωn2 = 1,44 = (1 + K2) / (2 )
Î K = 0,152
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ESERCIZIO 6.
Si determini la trasformata di Laplace del seguente segnale nel dominio del tempo f(t):
RISPOSTA:
F(s) = e-s ( 1/s2 ) – e-2s ( 2/s ) – e-3s ( 1/s2 )
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ESERCIZIO 7.
Dato il sistema costituito dal seguente diagramma a blocchi:
si determini il valore di K che rende y(t)
Æ 0,1 per t Æ , imponendo u(t) = 0
ed applicando un gradino unitario al segnale d(t) (cioè: d(s) = 1 / s).
RISPOSTA:
K = 72
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ESERCIZIO 8.
Si tracci l’andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema con poli (x) e zeri (o)
della funzione di trasferimento d’anello come indicato in figura:
K>0
K<0
×
×
×
×
×
×
°
×
°
×
°
×
°
×
°
×
°
×
RISPOSTA:
K>0
K<0
×
×
×
×
×
°
×
°
×
×
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ESERCIZIO 9.
Si determini la funzione di trasferimento del seguente schema a blocchi:
u
+
-
y/u=
D
E
y
-
B
RISPOSTA:
+
A
+
+
C
AED
1 + D + AB + ABD + ABCED
Lo schema può essere semplificato spostando la diramazione immediatamente
successiva ad A a monte della struttura contenente D (in retroazione unitaria) ed D, in
modo analogo a quanto mostrato nell’esempio della slide 89 della dispensa FdA-2.1FunzioniTrasferimento_2015). La nuova diramazione preleverà il segnale Y e lo
moltiplicherà per la funzione (1+D)/(ED). Tale nuova diramazione sarà in parallelo con il
ramo di retroazione comprendente C, fino al punto in cui tali rami si sommeranno prima di
entrare in B e chiudere l’anello.
Risulta pertanto un anello di retroazione con ramo diretto = AED / (1 + D) e ramo di
feedback = B * [C + (1+D)/ED], che ridotto ad una unica FdT ed opportunamente
semplificato porta alla soluzione indicata.
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ESERCIZIO 10.
Dato il seguente diagramma di Bode delle ampiezze:
si determinino le funzioni di trasferimento G(s) e Gc(s) , supposte entrambe a fase
minima.
RISPOSTA:
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