Transcript Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali - cm

Revisione
nov. 2016
Logaritmi
e
Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali
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Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
John Napier (1550-1617)
1
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
2
Proprietà del Logaritmo in R
In questo paragrafo, si assuma che {b, q } ∈ (R + \{1}) × R + . Ne segue che,
1.
esponenziando in base b i termini nei membri di u := log b q , segue che b u = b
neutralizzazione (inversione) base-esponente nel membro a destra, che
b
2.
log b q
log b q
, i.e., per
≡ q;
(1)
risulta, ∀ λ ∈ R ,
log b b λ = λ .
(2)
Infatti, esponenziando in base b i membri dell’Eq. (2), si ottiene un’identità ovvia.
Alcuni casi particolari importanti sono:
3.
log b b ≡ log b b 1 = 1 ;
(2.2)
log b (1/b) ≡ log b b −1 = − 1 ;
(2.3)
 + ∞ se b ∈ ( 0 , 1) ,
lim+ log b x = 
x →0
 − ∞ se b ∈ ( 1 , + ∞) ;
(2.4)
sia q k ∈ R + , k ∈ {1 , 2 , 3, … , n } .
Allora,
log b ( ∏ nk = 1 q k ) = ∑ nk = 1 log b q k .
Infatti, posto λk := log b q k , si ha, invertendo, che q k = b
cui, prendendo il logaritmo in base b , si ottiene log b b
4.
λk
∑ nk = 1 λ k
∧ ∏ nk = 1 q k ≡ ∏ nk = 1 b
(3)
λk
=b
∑ nk = 1 λ k
, da
= ∑ nk = 1 λ k ≡ ∑ nk = 1 log b q k ;
risulta, ∀ η ∈ R ,
log b q η = η log b q .
(4)
Infatti, posto λ := log b q , segue che q = b λ , da cui, log b q η ≡ log b b λη = λη = η log b q .
Casi particolari:
log b (1/q ) ≡ log b (q −1 ) = − log b q ;
log b ( f (x ))
2n
≡ 2 n log b | f (x )| ,
(4.1)
(4.2)
∀ {n , x } ∈ Z × D f , purché si abbia D f ⊆ R ∧ f (x ) ≠ 0 ;
5.
sia anche p ∈ R + .
Allora,
log b (p /q ) = log b p − log b q .
Infatti, log b (p /q ) ≡ log b ( pq −1 ) = log b p + log b q −1 = log b p − log b q .
(5)
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
3
Caso particolare (cfr/c l’Eq. (4.1)):
log b (1/q ) ≡ log b 1 − log b q = − log b q ;
6.
(5.1)
sia, anche, { β , Ω } ∈ ( R + \{1}) × R + .
Allora, vale la Proprietà di Contrazione Base-Argomento,
(log b β ) (log β Ω ) = log b Ω .
(6)
 λ := log b β
 β = b λ
, segue che 
, combinando la seconda identità con
Infatti, se si pone 
µ
λµ
 Ω = β ≡ b
 µ := log β Ω
la prima. Quindi, invertendo la seconda identità e sostituendo le espressioni di λ e di µ , si scrive
 log b Ω
che λ µ = 
, i.e., l’Eq. (6).
 (log b β ) (log β Ω )
L’Eq. (6) fornisce una formula importante per il cambiamento β ֏ b di base logaritmica:
log β Ω =
log b Ω
log b β
.
(6.1)
Casi particolari:
●
se Ω ≡ β , si ritrova l’Eq. (2.2),
log β β =
●
log b β
log b β
≡ 1;
(6.1.1)
1
.
log b β
(6.1.2)
se Ω ≡ b , si ha
log β b =
log b b
log b β
≡
Come applicazioni, introdotte le notazioni convenzionali Log ≡ log 10 (logaritmo in base 10 , o di
Briggs) e ln ≡ log e (logaritmo naturale, o di Napier), risultano
●
●
Log Ω
1
, con Log e ≡
≈ 0. 434294481903 ;
Log e
ln 10
ln Ω
1
Log Ω =
, con ln 10 ≡
≈ 2 .302585092994 .
ln 10
Log e
ln Ω =
Inoltre, posta l’identità (6.1.2), nella forma equivalente
( log b β ) (log β b) = 1 ≡ log β β ,
(6.1.3)
dove log b β venga considerato come esponente per l’argomento b nel fattore (base) log β b , si
riscrive l’identità (6.1.3) come log β (b
ritrova b
log b β
≡ β , i.e., l’identità (1).
log b β
) ≡ log β β e, da questa, esponenziando in base β , si
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
●
4
Se b ≡ 1/β , allora, dall’Eq. (6.1), segue che
log β Ω =
log 1/β Ω
≡
log 1/β β
log 1/β Ω
− log 1/β 1/β
= − log 1/β Ω ,
(6.1.4)
mediante la quale, reciprocando gli argomenti del 2º e del 3º membro, si ottiene la catena di
equivalenze (cfr/c Fig. 1, P. 6)
log β Ω ≡ − log β
1
Ω
≡ log 1 /β
1
Ω
≡ − log 1 /β Ω .
(6.2)
Infine, l’invarianza evidente nella scelta della base logaritmica, l’Eq. (6.1) implica infinite possibili
uguaglianze concatenate
log β Ω =
log b Ω
log b β
≡
log c Ω
log c β
≡
log w Ω
log w β
≡….
(6.3)
■■■
____________________
Esercizio 1
1.1
∀ { x , y , z , β } ∈ R + × {(0, 1/x ) ∪ (1/x , + ∞ )} × R + × {(0, 1) ∪ (1, + ∞ )} , si provi che
log x y z = λ ⇒ log β z = λ (log β x + log β y ) ;
1.2
∀ { x , y , z , β } ∈ R + × {(0, x ) ∪ (x , + ∞ )} × R + × {(0, 1) ∪ (1, + ∞ )} , si provi che
log x /y z = µ ⇒ log β z = µ (log β x − log β y ) ;
1.3
∀ { p, q , µ , ν } ∈ {(0, 1) ∪ (1, + ∞)} × R + × ( R \{ 0 }) × R , si provi che
log p µ (q ν ) =
ν
log p q ≡ log p q ν /µ .
µ
■
5
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
Un algoritmo in R per il calcolo approssimato di ln x
Nella valutazione numerica dei logaritmi naturali in R , l’uso della M-espansione (∴ Maclaurin),
+∞
(− 1)n + 1 n
( − 1)n n
ln (1 + t ) = ∑
t ≡ −∑
t ,
n
n
n =1
n =1
+∞
(7)
valida solo per t ∈ ( − 1, 1 ] , è, comunque, da escludersi, a causa della convergenza eccessivamente
lenta verso la somma. Da tale serie, però, se ne può dedurre un’altra più adatta a scopi numerici.
Con la riflessione t ֏ − t , si ha, ora con t ∈ [ −1, 1 ) ,
+∞
tn
.
n =1 n
ln (1 − t ) = − ∑
(8)
Sottraendo membro a membro l’Eq. (8) dall’Eq. (7), risulta, per t ∈ ( − 1, 1) ,
+∞
t 2n + 1
1+t 
ln 
,
 = 2 n∑
= 0 2n + 1
1 −t 
(9)
una serie uniformemente convergente in ogni intervallo compatto [ t 1 , t 2 ] ⊂ ( − 1, 1 ) .
Ora, definito x :=
1+t
x −1
, segue che t =
. Inoltre, ∀ x ∈ R + , si ha che t ∈ ( − 1, 1 ) . Quindi,
1−t
x +1
∀ x ∈ R + , l’Eq. (9) corrisponde all’espansione trasformata
1 x −1


n = 0 2n + 1  x + 1 
+∞
ln x = 2 ∑
2n + 1
.
(10)
Per valutare la qualità algoritmica della rappresentazione (10) di ln x , si può osservare che il suo
resto n - simo, Rn (x ) , si scrive
2k + 1
1 x −1
Rn (x ) = 2 ∑


k = n 2k + 1  x + 1 
2n + 1
2
4
 1

1 x −1
1 x −1
x −1
= 2
+
+
+
…

 .

 2 n + 1 2n + 3  x + 1  2 n + 5  x + 1 
x +1






+∞
(11)
Pertanto, ricordando il valore della somma della serie geometrica, risulta che
x −1
| Rn (x ) | ≤ 2
x +1
2n + 1
2
4
 1

1 x −1
1 x −1
+
+
+ … 





 2n + 1 2n + 1  x + 1  2n + 1  x + 1 

2
x −1
≡
2n + 1 x + 1
=
2n + 1 + ∞
2k
x −1
2
x −1
∑ 
=

2n + 1 x + 1
k =0 x + 1 
1
|x − 1|2n + 1
⋅
.
2 (2 n + 1) x |x + 1|2n − 1
2n + 1
  x − 1 2 
 1 − 
 
 x +1 
−1
(12)
L’espressione (12) fornisce una maggiorazione dell’errore assoluto commesso (per difetto) se, nel
calcolo della somma dell’espansione (10), ci si arresta al termine n - simo.
Ad esempio, per x = 3 , l’Eq. (10) genera la serie numerica
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
6
+∞
1
.
n = 0 2 (2 n + 1)
ln 3 = ∑
(13)
2n
Il valore approssimato di s 5 , la 5a somma ridotta della
serie (13), è
s5 = 1 +
1
1
1
1
+ 4 + 6 + 8
≈ 1.098 4995… .
2 ⋅3 2 ⋅5 2 ⋅7 2 ⋅9
2
Dalla disuguaglianza (12), l’errore assoluto |R5 (x )| che
si commette prendendo s 5 come valore approssimato di
log 3 (per difetto) è minore di
1/(2 8 ⋅ 3 ⋅ 11) < 1.184 × 10 − 4 .
Infatti, il calcolo esatto dà il risultato
ln 3 = 1.098 6122 … .
Fig. 1 – La funzione x ֏ log β x
La disuguaglianza (12) indica che, al crescere di x , il contenimento dell’errore assoluto entro un
ordine di grandezza fissato richiede un numero crescente di termini dell’espansione (10). In tal
modo, l’utilità dell’espansione (10) è limitata a valori ‘non troppo grandi’ di x , e.g., a |x | < 10 .
□
Si può procedere alla determinazione di un algoritmo seriale più efficiente, i.e., più rapidamente
convergente, incominciando a scrivere, con 0 < | p | ≤ q , che p + q ≡ q (1 + p /q ) .
Pertanto, ricorrendo anche all’espansione (10), si ha
ln (p + q ) = ln q + ln (1 + p /q )
1 q −1
= 2∑


n = 0 2n + 1  q + 1 
+∞
2n + 1
(− 1)n + 1
(p /q )n
n
n =1
+∞
+∑
2n + 1
q − 1 +∞  2  q − 1 
( − 1)n
≡2
+ ∑ 
−
q + 1 n = 1  2 n + 1  q + 1 
n (q /p )n

 .

(14)
(14.1)
Ora, conviene sostituire l’M-espansione consueta (e lentissima!) di ln (1 + p /q ) con un’altra che
1+t
p
abbia la stessa somma ma che vi converga più rapidamente. La sostituzione
:= 1 + , i.e., la
1−t
q
1
sua equivalente t :=
( < 1) , rispondono allo scopo, trasformando l’espansione (9) in
2q /p + 1
+∞
1
.
2n + 1
n = 0 (2 n + 1) (2 q /p + 1)
ln (1 + p /q ) = 2 ∑
(15)
Dall’uguaglianza-base (15), si determina l’algoritmo generale cercato in forma semi-razionale,
+∞
1
.
2n + 1
n = 0 (2 n + 1) (2 q /p + 1)
ln (p + q ) = ln q + 2 ∑
(16)
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
7
Il confronto tra le Eq.i (14) e (16) mette in evidenza la rapidità maggiore di convergenza della serie
+∞
1
2n + 1
n = 0 (2n + 1) (2 q /p + 1)
2∑
+∞
( − 1)n + 1
n
n = 1 n ( q /p )
vs. la serie equivalente ∑
.
Una rappresentazione completamente in serie dell’Eq. (16) è fornita ancora dall’Eq. (10),
2n + 1

1 q − 1 
1
ln (p + q ) = 2 ∑
+
 
 .

(2q /p + 1)2n + 1 
n = 0 2n + 1   q + 1 
+∞
(16.1)
Il vantaggio nell’uso dell’algoritmo (16) o (16.1) consiste nella flessibilità maggiore consentita dalla
presenza di due parametri indipendenti, p e q . Ad esempio,
•
quando p + q ≡ x , allora,
2n + 1

1  x − p − 1 
1
ln x = 2 ∑
+
 
 ,

(2q /p + 1)2n + 1 
n = 0 2n + 1   x − p + 1 
+∞
+∞
1
,
2n + 1
n = 0 (2 n + 1) (2 x /p − 1)
≡ ln (x − p ) + 2 ∑
•
(17.1)
mentre, per p ≡ 1 ∧ q ≡ x , risulta la formula ricorsiva con passo 1
2n + 1

1  x − 1 
1
+
 
2n + 1 


(2 x + 1)
n = 0 2n + 1   x + 1 

+∞
1
≡ ln x + 2 ∑
.
2n + 1
n = 0 (2 n + 1) (2 x + 1)
+∞
ln (x + 1) = 2 ∑
(17.2)
Il calcolo di ln 3 con l’Eq. (17.2), nella quale, la serie sia arrestata a s 5 , migliora la precisione già
di due ordini di grandezza rispetto al calcolo precedente, risultando |R 5 (x )| < 1.14 ⋅ 10 − 6 .
Infine, quando x ∈ ( − ∞, −1 ] , eseguendo la riflessione x
l’espansione semi-razionale in serie
− x , si verifica prontamente che vale
2n + 1

1  x + 1 
1
ln (1 − x ) = 2 ∑
−
 


(2 x − 1)2n + 1 
n = 0 2n + 1   x − 1 
+∞
1
≡ ln ( − x ) − 2 ∑
.
2n + 1
n = 0 (2 n + 1) (2 x − 1)
+∞
(18)
Osservazione
Le somme delle M-espansioni (7) e (8) sono note, anche, come la Funzione di Mercator (Kauffman, Niklaus, 16201687) e, rispettivamente, l’opposta della Associata, o anti-Associata, della Funzione di Mercator (v. P. 13).
■■■
8
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
Il Logaritmo Naturale in C
1.
Definizione generale
Sia z ∈ C \{ 0} . Ora, distinguendo la funzione ln , definita in R + , dal suo prolungamento in C ,
indicato con Ln , vale la definizione generale
Ln z := ln |z | + i (θ + 2 k π ) ≡ Re ( Ln z ) + i Im ( Ln z ) ,
(19)
∀ k ∈ Z , essendo
|z | := ((Re z )2 + (Im z )2 )1 / 2 ,
θ ≡ tan −1 (Im z /Re z ) ∈ ( − π /2 , π /2) , l’intervallo principale di θ ≡ arg z .
2.
Logaritmo naturale generale di una potenza complessa
Sia {z 1 , z 2 } ∈ {C \{ 0 }} × C . La rappresentazione algebrica del logaritmo naturale generale di z 1 2
z
corrisponde, formalmente in C , all’infinità numerabile rispetto a k ∈ Z dei valori complessi
( θ 1 ≡ arg z 1 )
Ln z 1 2 ≡ z 2 Ln z 1 = (Re z 2 + i Im z 2 ) ( ln |z 1| + i (θ 1 + 2kπ ))
z
= ln |z 1| ⋅Re z 2 − (θ 1 + 2kπ ) ⋅ Im z 2 + i ((θ 1 + 2kπ ) ⋅ Re z 2 + ln |z 1| ⋅Im z 2 ) ,
(20)
In particolare, l’Eq. (20) fornisce le formule, valide ∀ {z , λ } ∈ (C \{ 0 }) × R , con θ ≡ arg z ,
Ln z i λ = − λ ((θ + 2kπ ) − i ln |z | ) ,
Ln e i λ = − λ (2 kπ − i ) .
(20.1)
(20.2)
Nelle Eq.i (20), (20.1) e (20.2), il numero complesso ottenuto per k = 0 rappresenta il cosiddetto
logaritmo principale di z .
L’estensione in C della formula per il cambiamento della base logaritmica in R è immediata:
Log z 2 z 1 =
Ln z 1
Ln z 2
≡
ln |z 1| + i (θ 1 + 2 k 1π )
ln |z 2| + i (θ 2 + 2 k 2 π )
,
(21)
con {k 1 , k 2 } ⊂ Z ∧ θ r ≡ arg z r , r = 1 , 2 .
3.
L’algoritmo inverso:
la Potenza Complessa generale di un numero complesso
Con le stesse definizioni precedenti, si calcola la potenza generale per {z 1 , z 2 } ⊂ (C \{ 0 }) × C :
z
z12 ≡ e
z
Ln z 1 2
= |z 1|
≡e
Re z 2
e
z 2 Ln z 1
=e
(Re z 2 + i Im z 2 ) ( ln|z 1 | + i (θ 1 + 2k π ))
− (θ 1 + 2kπ )⋅Im z 2
( cos ((θ 1 + 2kπ ) ⋅ Re z 2 + ln |z 1| ⋅Im z 2 ) +
↳
↲
+ i sin ((θ 1 + 2kπ ) ⋅ Re z 2 + ln |z 1| ⋅Im z 2 )) .
(22)
Pertanto, la variazione di k ∈ Z genera un’infinità numerabile di immagini numeriche nel piano
complesso, la k - esima essendo posta alla distanza dall’origine (modulo)
ρ (k ) := |z 1 |k ≡ |z 1|
z2
Re z 2
e
− (θ 1 + 2kπ )⋅Im z 2
.
(23)
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
9
− (θ + 2kπ )⋅Im z
2
Il fattore di polidromìa e 1
nell’Eq. (22) descrive le accumulazioni delle immagini
numeriche intorno all’origine ( k → + ∞ ) e intorno al punto all’infinito ( k → − ∞ ).
Il valore complesso nell’Eq. (22) corrispondente a k ≡ 0 si dice Potenza Principale di grado z 2 ,
vs. la base z 1 :
z
z12
k =0
= |z 1|
Rez 2
e
− θ 1 ⋅Im z 2
( cos (θ 1 ⋅ Re z 2 + ln |z 1| ⋅Im z 2 ) +
↳
↲
+ i sin (θ 1 ⋅ Re z 2 + ln |z 1| ⋅ Im z 2 )) .
(24)
La formula (22) costituisce la sintesi più generale delle operazioni di elevamento a potenza e di
estrazione di radice complesse. Infatti, si verifica facilmente che le Formule di De Moivre e le loro
estensioni al caso di una potenza razionale qualsiasi non ne sono che applicazioni particolari.
□
Come risultato d’uso frequente, si consideri z 1 ≡ z ≡ a + ib ∧ z 2 ≡ 1/2 , i.e., il calcolo in C di
2
2 1/ 2
radici quadrate. Sia ϕ := arg z ∈ [ 0 , 2π ) , da cui, ϕ /2 ∈ [ 0 , π ) , e |z | := ρ ≡ (a + b ) .
Allora, essendo cos ϕ ≡ a /ρ , risultano
cos (ϕ /2 ) = ± ((1 + cos ϕ )/2)1 / 2 ≡ ± ( 2 /2 ) (1 + a /ρ )1/ 2 ,
(25)
sin (ϕ /2 ) = + ((1 − cos ϕ )/2)
(26)
1/2
≡ + ( 2 /2 ) (1 − a /ρ ) .
1/2
Segue, con k = 0, 1 , che
z 1 / 2 ≡ (a + ib )1 / 2 = ρ 1 / 2 ( cos (ϕ /2 + kπ ) + i sin (ϕ /2 + kπ )) ,
Dopo aver individuato il quadrante del piano complesso in cui è situata l’immagine di z e, quindi,
il quadrante terminale di ϕ / 2 (∴ il 1º oppure il 2º), si trova, con le Eq.i (25) e (26),
•
per k = 0 ,
z 01/ 2 = ρ 1 / 2 ( cos (ϕ /2) + i sin (ϕ /2)) = ( 2 /2 ) ( ± (ρ + a )1 / 2 + i (ρ + a )1 / 2 ) ;
•
per k = 1 ,
z 11/ 2 = ρ 1/ 2 (cos (ϕ /2 + π ) + i sin (ϕ /2 + π )) = ρ 1/ 2 (− cos (ϕ /2) − i sin (ϕ /2)) ≡ − z 01/ 2 .
Pertanto, la formula generale cercata è costituita dalla coppia di numeri complessi opposti
{z 1/ 2 } ≡ {( 2 /2 ) ( ± (ρ + a )1 / 2 + i ( ρ − a )1/ 2 , − ( 2 /2 ) ( ± (ρ + a )1/ 2 + i ( ρ − a )1/ 2 } ,
(27)
nella quale, l’ambiguità del segno delle parti reali ± ( ρ + a )1/ 2 dipende dal quadrante cartesiano (di
Argand-Gauss) terminale di ϕ / 2 : + , se è il 1º quadrante, o − , se è il 2º quadrante.
■■■
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
10
Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali
A. La Funzione Log-integrale in R
La funzione trascendente integrale
x
dt
⌠
λ: x ֏ 
⌡0 ln t
(28)
ha come dominio massimale l’insieme D = [ 0 , 1) ∪ ( 1 , + ∞ ) .
x
Infatti, per t → 0 + , ( lnt )−1 = o (1) e, quindi, è integrabile in Uδ + (0) , con lim+ ∫ ( ln t ) −1dt = 0 .
x →0
±
Per t → 1 , ( lnt )
∫
x
0
−1
0
è un infinito di ordine 1 vs. l’infinito principale |t − 1| −1 e, pertanto,
(ln t ) −1dt diverge in Uδ (1) , presentando, come funzione, un asintoto verticale per x = 1 .
Ora, nel limite t → 1 ± , si ha, dall’Eq. (28), ( ln t ) −1 ~
t +1
1
, da cui, secondo Cauchy, è
~
2 (t − 1) t − 1
corretto il risultato
lim+ ∫
ε →0
1+ε
1−ε
1+ε
(ln t ) −1dt = lim+ ln |t − 1|
1−ε
ε →0
= 0.
In altri termini, per x > 1 , il Valore Principale à-la Cauchy (C ) dell’integrale (28) è idoneo a
definire, come prolungamento analitico in (1 , + ∞) , la cosiddetta Funzione Log-integrale,
x
dt
⌠
li : x ֏ li (x ) := 
⌡0 ln t
,
(29)
C
La quale trova applicazione in problemi vari di Elettrodinamica e nella teoria della distribuzione
asintotica dei Numeri Primi.
Per x → + ∞ , si determina il valore infinito
+∞
lim li (x ) = ⌠

x → +∞
⌡0
dt
.
ln t
(29.1)
Tenuto conto della variazione di segno di lnt nell’intervallo di integrazione ( 0 , + ∞ ) , il segno
dell’infinito (29.1) può essere determinato nel modo seguente:
eseguita la separazione additiva
+∞
⌠

⌡0
1
dt
dt ⌠ + ∞ dt
= ⌠
+
≡ J1 + J2 ,

⌡0 ln t ⌡1 ln t
ln t
si ponga t := 1 /u in J 2 , da cui si calcolano ln t = − ln u e
J2 ≡ ⌠

⌡1
+∞
∫
1
+∞
1
1
(dt ) ֏
dt
⌠ du
⌠ dt
,
= − 2
≡ − 2
ln t
⌡0 u ln u
⌡0 t ln t
dopo una ridefinizione ininfluente della variabile di integrazione.
Pertanto, dall’identità
+∞
⌠

⌡0
1
dt
⌠ t2 −1
≡  2 dt ,
ln t
⌡0 t ln t
∫
0
1
( − du /u 2 ) , e, quindi,
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
11
nella quale è (t 2 − 1)/(t 2 ln t ) > 0 , ∀ t ∈ ( 0 , 1) , si conclude che lim li (x ) = + ∞ .
x → +∞
−1
Inoltre, si ha li (x ) < 0 per x ∈ (0 , 1) ed essendo t ֏ ( ln t ) e x ֏ li (x ) entrambe funzioni
monotone, segue che li (x ) possiede una sola radice, µ , per x ∈ ( 1, + ∞ ) . Numericamente, si
ottiene il valore µ ≈ 1. 451369234883381 , noto come la Costante di Soldner-Ramanujan.
Nella maggior parte delle questioni numeriche, la necessità di un’espansione in serie di li (x ) è
risolta riportando la rappresentazione integrale (28) alla Funzione Integro-esponenziale (†)
+∞
Ei : ξ ֏ Ei ( − ξ ) := − ⌠

⌡ξ
−ξ
e −u
ew
du ≡ ⌠
dw ,

u
⌡− ∞ w
( w := − u ) e alla sua espansione in serie vs. l’argomento − lnx . Infatti, dalla sostituzione t := e −u ,
risulta (e.g., si veda il documento PDF dell’autore: Esercizi di Calcolo Integrale in una variabile
reale, IL-1)
+∞
x
−u
dt
⌠ e du ≡ − Ei (− ln x )
⌠
li (x ) = 
֏ 
⌡0 ln t
⌡− ln x u
+∞
(ln x )k
.
k = 1 k ⋅k !
= γ + ln (|ln x | ) + ∑
(30)
Grafico della funzione f : x ֏ li (x )
Inoltre, quando |ln x | ≫ 1 , è possibile ricavare una espansione asintotica di li (x ) . Integrando perparti n volte la rappresentazione (28), si ottiene
____________________
(†)
Si consulti, e.g., N. N. LEBEDEV, Special Functions and Their Applications, Eq.i (3.1.6) e (3.4.6), DOVER PUBL., INC. (1972).
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
x
n
⌠ dt = x ∑ k ! + R (x ) ,

n
⌡0 ln t
ln x k = 0 (ln x )k
12
(31)
dove risulta, chiaramente, |Rn (x )| = O (|ln x | − n − 1 ) .
La derivazione (sotto il segno di integrale) di li (x ) ,
x
d
∂
1 dx
1 d0
1
li (x ) = ⌠
(ln t ) −1dt +
⋅ − lim
⋅
=
,

⌡0 ∂x
lnx
dx
ln x dx t → 0 ln t dx
indica che la Funzione Integro-logaritmica decresce per x ∈ ( 0, 1 ) ma cresce per x ∈ ( 1, + ∞ ) . In
d
d
d
particolare, si ha lim+
li (x ) = 0 − mentre è lim∓
li (x ) = ∓ ∞ e lim
li (x ) = 0 + .
x → + ∞ dx
x → 0 dx
x → 1 dx
Infine, dalla seconda derivazione di li (x ) ,
1
d2
,
li (x ) = −
2
dx
x (ln x )2
si rileva l’assenza di punti di flesso e la concavità dell’insieme graf ( li ) in tutto D .
■
13
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
+
B. La Funzione Poli-logaritmica (di ordine n ∈ Z + ) in
R
Nidificando la rappresentazione integrale della Associata di Mercator – nota comunemente come
Funzione Uni-logaritmica, Li1 , o Integro-logaritmica del 1o ordine (v. Osservazione, P. 5) –
x
1
⌠ dt
x ֏ Li1 (x ) := ln
≡ − ln (1 − x ) ≡ 
,
1−x
⌡0 1 − t
(32)
si definisce la Funzione Di-logaritmica, o Integrale di Spence (William, 1777-1815),
x
x
Li1 (t )
ln (1 − t )
⌠
⌠
x ֏ Li 2 (x ) := 
dt ≡ − 
dt ,
⌡0
t
t
⌡0
(33)
Si tratta di una funzione trascendente, non rappresentabile in termini di funzioni elementari. Il
dominio massimale D di Li2 coincide con quello della sua rappresentazione integrale in R .
Indicato, per comodità, λ (t ) := − ( ln (1 − t ))/t ≡ Li1 (t )/t , si trova,
per t ≡ x → − ∞ , che λ (t ) ~ 0 + . Così, λ (t ) è integrabile in U ( − ∞ ) , essendovi limitata;
per t → 0 ± , che λ (t ) → 1 ∓ (e.g., con la Regola di de l’Hôspital). Quindi, λ (t ) , mantenendosi
limitata e ∈ C ( Uδ (0) ) , è integrabile in Uδ (0) ;
per t → 1 − , che λ (t ) ~ − ln (1 − t ) e, pertanto, che diventando un infinito di ordine < 1 vs.
l’infinito principale (1 − t )−1 , λ (t ) è integrabile in senso generalizzato in Uδ − (1) ;
per t ∈ [1, + ∞ ) , che λ (t ) non è definita.
Allora, il dominio di Li 2 (x ) è D = ( − ∞ , 1 ] per il quale l’aggiunta dei punti x ( ≡ t ) = 0 ∧ 1 è
ininfluente vs. l’operazione di integrazione poiché essi costituiscono un insieme di misura nulla.
La formula di Leibniz di derivazione sotto il segno di integrale fornisce la funzione derivata 1a,
x ֏
x
d
∂
dx
d0
Li 2 (x ) = ⌠
λ (t )dt + λ (x ) ⋅ − lim λ (t ) ⋅

⌡0 ∂x
dx
dx t → 0
dx
Li1 (x )
ln (1 − x )
= −
≡
,
x
x
(34)
che è > 0 ∀ x ∈ D . Quindi, Li2 non possiede estremanti ed è crescente in tutto D . Essendo, poi,
lim d Li 2 (x )/dx = + ∞ , allora, graf ( Li 2 ) ha tangente verticale nel punto di arresto (1 ; Li 2 (1)) .
x →1−
Dal calcolo della funzione derivata 2a di Li2 , è facile verificare che, ∀ x ∈ D , si ha
x ֏
d2
ln (1 − x )
1
Li 2 (x ) =
−
> 0,
2
2
dx
x
x (x − 1)
(35)
i.e., che Li2 è una funzione convessa.
Anche circa la Funzione Di-logaritmica, le questioni più strettamente computazionali necessitano,
almeno, di una sua rappresentazione in serie.
Ricordando che la legittimità dello scambio tra le operazioni di somma infinita e di integrazione in
ogni intervallo compatto [ 0 , x ] richiede che, in tale intervallo, l’espansione di λ (t ) in serie sia
uniformemente convergente, risulta, allora, per x ∈ ( − 1 , 1 ] ,
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
14
x
+∞
xk
⌠ 1 + ∞ ( − 1)k + 1
Li 2 (x ) = − 
∑
( − t )k dt = … = ∑ 2 ,
k =1 k
⌡0 t k = 1 k
(36)
mentre, nel caso in cui x ∈ ( − ∞, − 1 ] , è necessaria la scomposizione preliminare seguente:
ln (1 − t ) ≡ ln (( − t ) (1 − 1/t )) = ln ( − t ) + ln (1 − 1/t )
+∞
(− 1)k + 1
1
(− 1/t )k ≡ ln ( − t ) − ∑ k .
k
k =1
k =1 k t
+∞
= ln ( − t ) + ∑
(37)
Quindi, per x ∈ ( − ∞, − 1 ] , tenendo presente il risultato espresso dall’Eq. (36), si scrive
−1
x
x
x
+∞
ln (1 − t )
⌠ ln (1 − t ) dt ≡ Li (− 1) −  ⌠ ln (− t ) dt + ∑ 1 ⌠ dt 
Li 2 (x ) = − ⌠
−
dt


 k +1 

2
⌡0
⌡−1
t
t
k = 1 k ⌡−1 t
 ⌡−1 t

k
k
+∞
+∞
+∞
(− 1)
1
1
( − 1)
= ∑ 2 − (ln ( − x )) 2 − ∑ 2 k + ∑ 2
2
k =1 k
k =1 k x
k =1 k
2
+∞
π
1
1
(38)
= −
− ( ln (− x ))2 − ∑ 2 k .
6 2
k =1 k x
La rappresentazione (38) costituisce il prolungamento analitico in R – l’unico – della restrizione
(36) di Li2 (x ) a ( − 1, 1 ] ⊂ Χ .
Oltre all’ovvio Li 2 (0) ≡ 0 , si trova il valore particolare (cfr/c la Serie di Fourier)
1
π2
.
≡
ζ
(
)
=
2
2
6
k =1 k
+∞
Li 2 (1) ≡ ∑
(39.1)
Inoltre, ricordando che η (x ) := (1 − 2 1 − x ) ζ (x ) , entrambe le Eq.i (36) e (38) danno
(− 1)k
π2
.
≡
−
η
(
2
)
=
−
2
12
k =1 k
+∞
Li 2 (− 1) ≡ ∑
(39.2)
Al solito, i simboli convenzionali ζ e η indicano, rispettivamente, la Funzione Zeta di Riemann e
la Funzione Eta di Dirichlet.
Dalla definizione (33), si ricavano alcune identità funzionali per Li2 :
Li 2 (x ) + Li2 (1 − x ) = π 2 /6 − ( ln x ) ⋅ ln (1 − x ) ;
(40.1)
Li2 (x 2 ) = 2 ( Li2 (x ) + Li 2 (− x )) ;
(40.2)
Li 2 (− 1/x ) + Li2 ( − x ) = − π 2 /6 − (ln x )2 /2 ;
(40.3)
Li2 (x ) + Li2 (y ) + Li2 (z ) = (1/2) ( Li 2 (− xy /z ) + Li 2 (− yz /x ) + Li 2 (− zx /y )) ,
(40.4)
con la condizione, nell’Iden. (40.4), che 1/x + 1/y + 1/z = 1 .
Per una verifica, e.g., dell’Iden. (40.1), si consideri la rappresentazione integrale di Li2 (1 − x ) ,
1−x
Li 2 (1 − x ) ≡ − ⌠

⌡0
La posizione t := 1 − u genera la trasformazione
Così, con un’integrazione per-parti, si ha
∫
1−x
0
ln (1 − t )
dt .
t
(dt ) ֏
∫
x
1
( − du ) dell’operatore integrale.
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
x
15
x
d (1 − u )
⌠ ln u
⌠
Li 2 (1 − x ) = − 
(− du ) ≡ −  ln u ⋅
1−u
⌡1 1 − u
⌡1
x
x
du
ln (1 − u )
x
= − ln (1 − u ) ⋅ ln u 1 + ⌠
= ⌠
du − ln (1 − x ) ⋅ ln x
 ln (1 − u ) ⋅

⌡1
⌡1
u
u
e, dopo un’ultima ridefinizione, u t , della variabile di integrazione, si scrive
x
x
ln (1 − t )
⌠ ln (1 − t ) dt − ln (1 − x ) ⋅ ln x
Li 2 (x ) + Li 2 (1 − x ) = − ⌠
dt
+


⌡0
⌡1
t
t
x
1
ln (1 − t )
ln (1 − t )
≡ −⌠
dt − ⌠
dt − ln (1 − x ) ⋅ ln x


⌡0
⌡x
t
t
1
ln (1 − t )
= −⌠
dt − ln (1 − x ) ⋅ ln x ≡ Li 2 (1) − ln (1 − x ) ⋅ ln x

⌡0
t
= π 2 / 6 − ln (1 − x ) ⋅ ln x , i.e., l’Iden. (40.1).
Ancora, l’identità (40.1) fornisce un valore interessante in corrispondenza di x = 1 / 2 ,
1
π2 1
1
=
− (ln 2)2 ≡ η (2) − (ln 2)2 ,
k 2
12 2
2
k =1 2 k
+∞
Li 2 (1/2) ≡ ∑
(41)
dal quale, aiutandosi con l’Eq. (39.2), si deduce elementarmente la somma della serie
1 + (− 2)k
(ln 2)2
=
−
≈ − 0.2402265069 .
2k k 2
2
k =1
+∞
∑
(41.1)
____________________
La definizione della Funzione Tri-logaritmica, Li 3 ,
segue, per nidificazione integrale, da quella di Li2 ,
x
Li 2 (t )
x ֏ Li 3 (x ) := ⌠
dt .

t
⌡0
(42)
Le proprietà di Li 3 in ( − ∞, − 1 ] sono generate da
quelle di Li2 , combinando l’Eq. (38) con l’Eq. (42).
In modo analogo, si procede sequenzialmente con le
Funzioni Poli-logaritmiche di ordini successivi,
x
Li n − 1 (t )
x ֏ Li n (x ) := ⌠
dt .

t
⌡0
(42)
Dall’Eq. (36), per induzione, si arriva all’espansione
valida ∀ n ∈ Z + ma ristretta all’intervallo compatto
[ − 1, 1 ] ⊂ Χ ,
Fig. 3 – La funzione x ֏ Li 2 (x )
+∞
xk
.
n
k =1 k
Lin (x ) = ∑
(43)
La serie (43), uniformemente convergente in [ − 1, 1 ] , generalizza le Eq.i (39.1) e (39.2), risultando
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
16
+∞
1
≡ ζ (n ) ,
n
k =1 k
Li n (1) = ∑
(43.1)
(− 1)k
≡ − η (n ) .
n
k =1 k
+∞
Lin ( − 1) ≡ ∑
(43.2)
Dunque, per x = ± 1 , i valori della Funzione Poli-logaritmica di ordine n corrispondono alle
somme, rispettivamente, della Serie ζ di Riemann e della Serie η di Dirichlet di ordine n .
Inoltre, ( 0 ; 0 ) ∈ graf ( Lin ) . Si ha, infatti, ∀ n ∈ Z + ,
Lin (0) = 0 .
(43.3)
Dagli sviluppi precedenti, è pure evidente che una rappresentazione integrale multipla per Lin (x ) è
data, in forma iterata (nidificata), da
x
t
t
t
t
n −1
dt n − 2 ⌠ 3 dt 2 ⌠ 2 dt 1 ⌠ 1 Li1 (t )
⌠ dt n − 1 ⌠
Lin (x ) = 
…
dt ,

 t 
t
t
t
t
⌡
⌡0 n − 1 ⌡0
⌡0 2 ⌡0 1 0
n −2
x
t
t
t
(44)
t
n −1
dt n − 2 ⌠ 3 dt 2 ⌠ 2 dt 1 ⌠ 1 ln (1 − t )
⌠ dt n − 1 ⌠
≡ −
…
dt ,



tn − 2
t
⌡0 t n − 1 ⌡0
⌡0 t 2 ⌡0 t 1 ⌡0
nelle n variabili di integrazione t , t 1 , t 2 , …, t n − 1 . Chiaramente, se t 1 ∈ ( − ∞, − 1 ] (quindi, anche
{t 2 , t 3 , …, t n − 1 , x } ⊂ ( − ∞ , − 1 ] ), l’integrazione deve essere avviata dall’Eq. (38).
Per x = ± 1 , l’Eq. (44) fornisce, rispettivamente, una rappresentazione integrale n - pla di ζ (n ) e
una di − η (n ) .
■
____________________
Esercizio 2
Si verifichino esplicitamente le identità seguenti relative alla Funzione Tri-logaritmica (le identità specificamente
funzionali sono valide solo per x ∈ [ − 1, 1 ] ):
Li 3 (x ) + Li3 (1 − x ) + Li3 (1 − 1/x ) = ζ (3) +
1
π2
1
(ln x )3 +
ln x − (ln x )2 ln (1 − x ) ;
6
6
2
Li 3 (x 2 ) = 4 ( Li 3 (x ) + Li 3 ( − x )) ;
Li 3 ( − x ) − Li 3 ( − 1/x ) =
(45.1)
(45.2)
1
(ln x ) ((ln x )2 + π 2 ) ;
6
(45.3)
7
1
π2
ln 2 ;
ζ (3) + (ln 2)3 −
8
6
12
4
2
2
Li 3 ( 2 − φ ) = ζ (3) + (ln φ )3 − π 2 ln φ ,
5
3
15
Li 3 (1/2) =
(45.4)
(45.5)
Essendo ζ (3) ≈ 1.2020569031595942853 mentre φ := (1 + 5 )/2 indica la cosiddetta costante aurea (o Numero di
Fidia). Incidentalmente, si notino le identità interessanti seguenti:
2 − φ ≡ 1 − 1/φ = (3 − 5 )/2
e
ln φ ≡ csch − 1 2 ≈ 0. 48121182505960344749 .
■
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
17
Esercizio 3
Procedendo come con l’Eq. (38), si verifichi sequenzialmente che, per x ∈ ( − ∞, −1] , valgono i prolungamenti analitici
(reali) in serie di funzioni uniformemente convergenti – unici in intervalli compatti –
Li 3 (x ) = −
π2
6
ln ( − x ) −
+∞
1
1
( ln ( − x ))3 + ∑ 3 k ;
6
k =1 k x
(46.1)
Li 4 (x ) = −
+∞
7π 4 π 2
1
1
−
( ln ( − x ))2 −
( ln ( − x )) 4 − ∑ 4 k ;
360 12
24
k =1k x
(46.2)
Li 5 (x ) = −
+∞
7π 4
π2
1
1
ln ( − x ) −
( ln ( − x ))3 −
( ln ( − x ))5 + ∑ 5 k ;
360
36
120
k =1k x
(46.3)
Fig. 4 – La funzione x ֏ Li 3 (x )
Li 6 (x ) = −
+∞
31π 6 7π 4
π2
1
1
−
( ln ( − x ))2 −
( ln ( − x )) 4 −
( ln ( − x ))6 − ∑ 6 k ;
15120 720
144
720
k =1k x
(46.4)
Li 7 (x ) = −
+∞
31π 6
7π 4
π2
1
1
ln ( − x ) −
( ln ( − x )) 3 −
( ln ( − x ))5 −
( ln ( − x ))7 + ∑ 7 k ;
15120
2160
720
5040
k =1k x
(46.5)
Li 8 (x ) = −
+∞
127π 8
31π 6
7π 4
π2
1
1
−
( ln ( − x ))2 −
( ln ( − x )) 4 −
( ln ( − x ))6 −
( ln ( − x ))8 − ∑ 8 k .
604800 30240
8640
4320
40320
k =1k x
↳ (46.6)
■
Esercizio 4
La Funzione Poli-logaritmica si incontra, e.g., nel calcolo di certi integrali connessi ai diagrammi di Feynman, relativi
a correzioni quanto-elettrodinamiche del rapporto giromagnetico dell’elettrone, e di integrali di densità (distribuzioni)
quantistiche di insiemi di particelle libere, identiche e in equilibrio statistico.
4.1 Nella rappresentazione di un ‘gas’ di fermioni liberi, identici e in equilibrio statistico, dopo averne discusso le
condizioni di integrabilità, si calcoli l’integrale, parametrico in {λ , µ } ⊂ R ,
+∞
⌠
I FD (λ , µ ) := 
⌡0
xλ
e
x+µ
+1
dx ;
4.2 si calcoli l’integrale analogo, relativo a un ‘gas’ di bosoni liberi, identici e in equilibrio statistico,
+∞
⌠
I BE (λ , µ ) := 
⌡0
xλ
ex +µ −1
dx .
Logaritmi e Funzioni Integrali Logaritmiche Speciali –
18
Soluzione (†)
4.1 Circa l’insieme dei valori del parametro λ , per i quali, I FD (λ , µ ) è convergente ( I FD (λ , µ ) < + ∞ ), definita,
per brevità, φ λ , µ (x ) := x λ /(e x + µ + 1) l’espressione integranda, si osserva che,
se x ∈ U ( + ∞) , è φ λ , µ (x ) = o (1) di ordine > ω ∈ (1, + ∞) vs. l’infinitesimo principale 1 /x e, pertanto, che
φ λ , µ (x ) è integrabile in U( + ∞) ∀ λ ;
se x ∈ Uδ + (0) , allora, φ λ , µ (x ) ~ x λ /(e µ + 1) , i.e., φ λ , µ (x ) risulta integrabile solo se λ ∈ R 0+ .
Quindi, I FD (λ , µ ) < + ∞ solo per λ ∈ R + .
Poiché I FD (λ , µ ) non è rappresentabile in forma chiusa mediante funzioni elementari, l’integrazione in serie
appropriata inizia dividendo sia il numeratore che il denominatore di φ λ , µ (x ) per e x + µ :
φ λ , µ (x ) ≡
≡
+∞
x λ e − (x + µ )
λ − (x + µ )
=
x
e
∑
( − e − ( x + µ ) )k =
1 + e − (x + µ )
k =0
+∞
+∞
k =1
k =1
+∞
∑ ( − 1)k e − (k + 1) µ x λ e − (k + 1) x
k =0
∑ ( − 1)k − 1 (e − µ )k (x λe − k x ) ≡ − ∑ ( − e − µ )k (x λe − k x ) .
(47)
Nell’intervallo di integrazione [ 0, + ∞ ) , il fattore (1 + e − (x + µ ) ) − 1 corrisponde alla somma della Serie Geometrica
di ragione variabile r µ (x ) ≡ − e − (x + µ ) sse x > − µ . Ciò implica che, ∀ x , deve essere µ > 0 .
Essendo x λe − k x ≤ x λ = o (1) in Uδ + (0) , la rappresentazione (47) di φ λ , µ (x ) è uniformemente convergente in
[ 0, + ∞) , per il criterio di Weierstrass. Quindi, è lecito scambiare l’ordine delle operazioni di somma infinita e di
integrazione e scrivere
+∞
I FD (λ , µ ) = − ∑ ( − e − µ ) k − 1 ∫
k =1
+∞
0
x λ e − k x dx .
Con la sostituzione x := t /k , il cui elemento differenziale è d x = dt /k , si ha
(− e − µ ) k − 1
k λ +1
k =1
+∞
I FD (λ , µ ) = − ∑
∫
+∞
0
t (λ +1 ) − 1e − t dt = − Γ (λ + 1)
(− e − µ ) k − 1
.
k λ +1
k =1
+∞
∑
Ora, poiché µ > 0 , ne segue che | − e − µ | < 1 e, quindi, dall’Eq. (43), risulta
I FD (λ , µ ) = − Γ (λ + 1) Li λ + 1 ( − e − µ ) ;
(48)
4.2 il controllo di convergenza dell’integrale bosonico I BE (λ , µ ) porta a conclusioni identiche. Con procedimento di
calcolo analogo a quello per I FD (λ , µ ) , si trova facilmente che, ∀ λ ∈ R + ∧ µ > 0 ,
I BE (λ , µ ) = Γ (λ + 1) Li λ + 1 (e − µ ) .
(49)
Osservazioni
●
●
Il fatto che λ ∈ R corrisponde all’estensione della definizione della Funzione Poli-logaritmica all’ordine reale
relativo. Tale proprietà trova fondamento nel prolungamento in C di Li (x ) ֏ Li (z ) e, quindi, delle Funzioni
(analitiche) ζ di Riemann (e sue associate) e η di Dirichlet, tutte correlate a Li .
Nelle Eq.i (48) e (49), il parametro esponenziale e − µ ≡ z − 1 corrisponde al reciproco della fugacità, z , del ‘gas’
quantistico vs. la statistica rispettiva, fermionica (F-D) o bosonica (B-E).
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(†) Un integrale simile è risolto nel documento PDF dell’autore: Esercizi di Calcolo Integrale in una variabile reale, IS-2.